关于置信区间与假设检验的研究

关于置信区间与假设检验的研究

摘要：关于置信区间与假设检验的问题主要从以下几个方面进行研究：定义，解决方法，在实际问题中的应用以及二者的区别与联系等。其中引入了许多数理统计中的思想，对解决实际问题有很大帮助。

关键词：置信区间；假设检验；正态总体

About confidence interval and hypothesis test research Abstract: About confidence interval and hypothesis testing problems mainly from the following aspects: definition, the solution actual problem, in the application and the difference and relationship, etc. The introduced many mathematical statistics of the thought, to solve practical problems are of great help.

Key words: confidence interval；hypothesis testing；normal population

一．引言

置信区间与假设检验是统计推断的两类重要问题，在解决实际问题时都有着广泛的应用，二者既有区别又有联系，本文就置信区间与假设检验这两个问题进行探究，从而了解二者如何解决统计方面的问题，并简单归纳总结二者的区别与联系。

二．研究问题及成果

1置信区间

1.1定义

（注：置信区间的长度θ̅−θ反映了估计精度，θ̅−θ越小, 估计精度越高；α反映了估计的可靠度, α越小, 越可靠，α越小, 1-α越大, 估计的可靠度越高,但这时, θ̅−θ往往增大, 因而估计精度降低

；α确定后, 置信区间的选取方法不唯一, 常选最小的一个）

表示

（如图a所示），

（a）

1.2利用枢轴量法求置信区间

○1是待估参数μ和统计量X的函数

○2不含其他未知函数

○3服从与未知参数无关的已知分布

服从以上三条性质的量Q称为枢轴量(或主元)

利用枢轴量法求置信区间的步骤:

○1根据待估参数构造枢轴量Q，一般可由未知参数的极大似然估计量改造得到

○2对于给定的置信水平1-α，利用枢轴量Q的分布的上分位点求出常数a，b，使

（，比如

取a，b分别为Q的上1- α/2和上α/2分位点估计的精度最高。）○3利用不等式的恒等变形，将○2中不等式变形即可得到置信区间

1.3

1.3．1

（1）

○1方差

枢轴量Q=~，则置信度为1-α的置信区间为

因为，且

所以由有（见图b）

图（b）标准正态分布的双侧α分位点

再由置信区间定义可知，即为所求均值μ的置信度为1-α的置信区间，常写成

例：已知某种灯泡的寿命X（单位：小时）服从正态分布N(μ,8).现从这批灯泡中取10个，测得其寿命分别为

1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200若α=0.05，试求期望μ的置信区间。

解：由样本得X=1147，n=10，α=0.05，查表得zα/2=z0.05=1.96.由于

+

σ2已知，故μ的置信区间为，即11471.75

−

即（1145.25,1148.75）为所求置信区间

○2方差

由于σ2未知，故考虑到S2是σ2的无偏估计，将中的，则，（参见图c）

图（c）t分布的双侧α分位点

即

例.

由式

（2）方差σ2的置信区间

○1均值μ已知，

取枢轴量Q=∑(X i−μ

σ)2

n

i=1

～χ2(n)

由概率 P[χ2

1−α

2(n)<∑(X i−μ)

2

n

i=1

σ2

<χ2α

2

(n)]1-α得 2的置信度为1-α

得σ2的置信度为1-α的置信区间为[∑(X i−μ)2

n i=1

χ2α

2(n)

,∑(X i−μ)2

n

i=1

χ2

1−α2

(n)

]

○2均值μ未知

因为，，，即得（参见图d）

图（d）χ2分布的双侧α分位点

例．求例3中

1.3.2

(X 1,X 2,…X n )为取自总体N(μ1,σ12)的样本，(Y 1,Y 2,…Y n )为取自总

体N(μ2,σ22)的样本,X ,S 12; Y ,S 22分别表示两样本的均值与方差，

置信度为1-α (1)

○

1

或

，

取其

○

2 均为未知，但

此时

取

○3均为未知，但m ，n<50 则

σ12n

+

σ22m

≈

S 12n

+

S 22m

，推出

(X−Y)−(μ12

√12

n +22

m

～N(0,1)

因为X , Y 相互独立，因此μ1−μ2的置信区间为[(X −Y)+z α2

√S 12n +S

22

m

]

○

4均为未知，但n=m

令Z i =X i =Y i ,i=1,2…，n,可以将它们看成来自正态总体Z ～N

（μ1+μ2，σ12+σ22）的样本

Z =X −Y ，

S Z 2=1

n−1∑[(X i −Y i )−(X −Y)]2n i=1

仿单个正态总体公式[X −t α2

(n −√n

, X +t α2

(n −1)

√n

]

此时μ1−μ2的置信区间为[(X −Y )+t α2

(n −Z √n

]

（2）

在

下，

即

1.4非正态总体均值的区间估计

若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地视X ～N (μ,σ2

n )

若σ2已知，则μ的置信度为1-α的置信区间可取为X+z