K2.08-逆z变换：幂级数和部分分式展开

j1
z
j1
z
4 z (2 j2) 4 z (2 j2)
1
e
j
2
4
z
j
(z 2 2e 4 )
1
e
j
2
4
(z 2
z
j
2e 4 )
14
逆z变换：幂级数和部分分式展开
（1）| z | 2 2, f (k)为因果序列
f
(k
)
[
1
e
j 2
(2
j
2e 2
)k
1
j
e2
(2
2e
j
2
)k
]
(k
)
F(z) F0(z) zNF0(z) z2NF0(z)
F0(z)(1
zN
z2N
)
F0(z) 1 zN
| z |1
21
F1 ( z )
1 3
1 3
z 1
1 3
z 2
1 3
z 3
F2
(
z)
1 12
z3
1 6
z
2
1 3
z
于是，得原序列：
f
(k
)
,
1, 12
1, 6
1, 3
1 ,
3
1, 3
1 ,
3
1, 3
k 0
上述方法求逆z变换，原序列通常难以写成闭合形式。
8
逆z变换：幂级数和部分分式展开
2、部分分式展开法
F(z)
za
10
逆z变换：幂级数和部分分式展开
例1 已知象函数 F (z)
z2
(z 1)(z 2)
，分别求f(k)。
(1) | z | 2; (2) | z | 1; (3)1 | z | 2
解：
F(z) 1 z 2 z
3 z 1 3 z 2
(1) |z|>2，因果序列 f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
3
3
(2) |z|>1，反因果序列 f (k) [ 1 (1)k 2 (2)k ] (k 1)
3
3
(3) 1<|z|<2，双边序列 f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
11
逆z变换：幂级数和部分分式展开
z(z3 4z2 9 z 1)
例2
F
(z)
(z
1 )( z
f
(k)
1
(k)
1 (
2k
1
3k
)
(k)
1
(k)
(2k1
3k 1) (k)
6
23
6
19
逆z变换：幂级数和部分分式展开
<方法2>
F(z)
1
1 1
(z 2)(z 3) z 2 z 3
z1( z z ) z2 z3
由移位性质：
f (k) 2k1 (k 1) 3k1 (k 1)
(3k1 2k1)(k 1)
2 j c
z 逆变换的计算方法：
（1）反演积分法（留数法）； （2）幂级数展开法；有局限性 （3）部分分式展开法； （4）用 z 变换性质求逆 z 变换。组合使用
2
逆z变换：幂级数和部分分式展开
一般而言，双边序列 f(k)可分解为因果序列 f1(k)和反因
果序列 f2(k)两部分，即
f (k) f2 (k) f1(k) f (k) (k 1) f (k) (k)
1)2
(k
)
18
逆z变换：幂级数和部分分式展开
3、用性质求逆z变换
例1 F (z)
1
, | z | 3，求原函数 f(k)。
(z 2)(z 3)
解： <方法1>
F(z)
1
1 1 1 6 2 3
z z(z 2)(z 3) z z 2 z 3
F(z) 1 1 z 1 z 6 2 z2 3 z3
已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z) 分解为F1(z)和F2(z)，分别求对应的原序列f1(k)和f2(k)， 根据线性性质，将两者相加原序列 f(k)。
1、幂级数展开法
根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数
分别是z-1和z的幂级数; 其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
F(z)
1)( z
2
2 2)(z 3)
1 | z | 2
求 f(k)。
2
解：
F(z) z 2z z z z 1 z 1 z 2 z 3 2
由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足|z|>1 ，后两 项满足|z|<2 。
f (k) (1)k (k) 2 (k) (2)k (k 1) (3)k (k 1)
z2
z2
(z 1)(z 2) z2 z 2
其收敛域如下，分别求其对应的原序列 f(k)。 (1) | z | 2; (2) | z | 1; (3) 1 | z | 2。
4
逆z变换：幂级数和部分分式展开
解: (1) 收敛域在半径为2的圆外，故 f(k)为因果序列。
将F(z) (分子分母按z 的降幂排列) 展开为z -1的幂级数：
若 | z | ，则 f (k) 2 | k1 | k cos( k ) (k 1)
13
逆z变换：幂级数和部分分式展开
例：F (z)
z2
z 4z
8
(1) | z | 2 2 ，求 f(k)；
(2) | z | 2 2 ，求 f(k)。
解：F (z)
z
[z (2 j2)][z (2 j2)]
F(z)
Fa
z Fb z
K11z (z a)r
K12 z (z a)r1
....
K1r z (z a)
Fb z
K1i
(i
1 1)!
d i1 dz i来自百度文库1
[(
z
a)r
F(z)] z
za
z F(z)展开式中含 (z a)r 项(r>1)，则逆变换为：
若z>a ，对应原序列为因果序列：
z (z 1)3 (z 1)3 (z 1)2 z 1
K11
(z
1)3
F(z) z
z 1
2
;
K12
d dz
(z
1)3
F (z) z
z 1
3;
K13
1 2
d2 d z2
(z
1)3
F(z) z
z1
1.
F(z)
2z (z 1)3
3z (z 1)2
z
z 1
f
(k
)
2 2!
k
(k
1)
3k
1
(k
)
(k
B(z) A( z )
bm zm bm1zm1 ..... b1z b0 zn an1zn1 ..... a1z a0
,m
n
(1) F(z)均为单极点，且不为0
其中 所以：
F (z) K0 K1 .... Kn
z
z z z1
z zn
Ki
z
zi
F
z
z
z zi
F(z)
K0
n i1
Ki z z zi
9
逆z变换：幂级数和部分分式展开
F(z)
K0
n i1
Ki z z zi
根据收敛域，将上式划分为F1(z)(z>)和
F2(z)(z<)两部分，由如下已知变换对，来求原函数。
(k ) 1
ak (k ) z , | z || a |
za ak (k 1) z , | z || a |
F(z) z2 z2 z 2
1 z 1 3z 2 5z 3
则： f (k) 1, 1, 3, 5,
k 0
5
逆z变换：幂级数和部分分式展开
(2) F(z)的收敛域在半径为1的圆内，故f(k)为反因果序列。 将F(z) (分子分母按z 的升幂排列) 展开为z 的幂级数。
F z z2 z2
相应地，其z变换也分为两部分
其中
F (z) F2 (z) F1(z), | z |
F1(z) Z[ f (k) (k)] f (k)zk , | z | k 0 1
F2 (z) Z[ f (k) (k 1)] f (k)zk , | z | k
3
逆z变换：幂级数和部分分式展开
k(k 1).....(k r 2) akr1 (k)
(r 1)!
16
逆z变换：幂级数和部分分式展开
以z>a 为例：
当 r=2 时，为 kak1 (k )
z
当 r=3 时，为 1 k(k 1)ak2 (k)
(z a)r
2
推导记忆：
Z [ak (k)] z
za
两边对a求导得:
Z
[kak 1
4
4
1 (2
2) [e e ] k
j( k ) 42
j ( k ) 42
(k)
4
1 (2
2)k
cos(
k
) (k)
2
42
（2） | z | 2 2, f (k) 为反因果序列
f (k) 1 (2
2)k
cos(
k
) (k
1)
2
42
15
逆z变换：幂级数和部分分式展开
(3) F(z)有重极点
20
逆z变换：幂级数和部分分式展开 例2 因果周期信号fT(k)如图，求fT (k)的单边z变换F(z)。
解：设第一周期内信号为 f0 (k)，则fT (k)可表示为 fT (k) f0 (k) f0 (k N ) f0 (k 2N ) f0 (k) F0 (z), fT (k) F (z)
(k )]
(z
z a)2
再对a求导得:
Z [k (k 1)ak2 (k )]
2z (z a)3
Z [ 1 k (k 1)ak2 (k )] z
2
(z a)3
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逆z变换：幂级数和部分分式展开
例：已知象函数
F(z)
z3 (z
z2 1)3
，z>1。求原函数。
解:
F(z) z2 z K11 K12 K13
2
12
逆z变换：幂级数和部分分式展开 (2) F(z)有共轭单极点 z1,2 c jd e j
F (z) K1 K1* z z c jd z c jd
令 K1 | K1 | e j ，得
F (z)
K 1 e j z
z e j
K 1 e j z
z e j
若 | z | ，则 f (k) 2 | k1 | k cos( k ) (k)
逆z变换：幂级数和部分分式展开
知识点K2.08
逆z变换：幂级数和部分分式展开
主要内容：
1.幂级数展开法 2.部分分式展开法 3.用性质求逆z变换
基本要求：
掌握正反z变换的方法
1
逆z变换：幂级数和部分分式展开 K2.08 逆z变换 F(z) 的逆z变换:
f (k) 1 F (z)zk1dz, k
z2 z 2 2 z z2
1 z2 1 z3 3 z4 5 z5 2 4 8 16
于是，得原序列：
f (k) ,
5,
3,
1,
1,
0
16 8 4 2
k 1
6
逆z变换：幂级数和部分分式展开
(3) 收敛域为1<|z|<2的环形，其原序列f(k)为双边序列。
将F(z)展开为部分分式，有
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 | z | 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
上式第一项属于因果序列的象函数F1(z)，第二项属于 反因果序列的象函数F2(z)，即
1
z
F1 ( z )
3, z 1
|
z
| 1
2
z
F2 (z)
3 z
2
,
|
z
|
2
逆z变换：幂级数和部分分式展开
将它们分别展开为z -1及z的幂级数，有