2019-2020年高中数学课时达标训练十五北师大版必修

2019-2020年高中数学课时达标训练十五北师大版必修
一、选择题
1．(山东高考)函数f (x )＝ 1－2x
＋1
x ＋3
的定义域为 ( )
A ．(－3,0]
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
2．指数函数y ＝b ·a x
在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D.1
2
3．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f x －
，x ≥0，2x
，x ＜0，则f (8)等于( )
A ．4
B ．0 C.1
4
D ．2 4．定义运算a ×b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
a ≤
b ，b a ＞b ，
则函数f (x )＝1×2x
的图像是( )
二、填空题
5．函数y ＝8－2x
的定义域是 ________．
6．已知a ＝0.30.2，b ＝0.20.2，c ＝0.20.3
，d ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1.5，则a ，b ，c ，d 由小到大排列的顺
序是________．
7．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋3－3a ，x ＜0，
a x
，x ≥0(a ＞0，a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则
a 的取值范围是________．
答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23
8．若0＜a ＜1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x
＋b 的图像一定不经过第________象限． 三、解答题
9．已知函数y ＝a 2x ＋2a x
－1(0＜a ＜1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a 的值． 10．已知函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫12x －1＋12·x 3.
(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)证明f (x )＞0.
答案
1．解析：选A 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
1－2x
≥0，
x ＋3>0，
所以－3<x ≤0.
2．解析：选A ∵y ＝b ·a x
为指数函数，∴b ＝1，则[b,2]＝[1,2]．由于y ＝a x
为单调函数，∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值，∴a ＋a 2
＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．
3．解析：选C f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝f (－2)＝2－2
＝14.
4．解析：选A 当x ＜0时，2x ＜1，f (x )＝2x ；当x ≥0时，2x
≥1，f (x )＝1.
5．解析：∵8－2x
≥0，即2x
≤23
，又y ＝2x
在R 上为增函数．∴x ≤3的定义域为(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
6．解析：∵0.30.2＜0.30＝1，同理：0.20.2＜1,0.20.3
＜1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1.5＞1，考查幂函数y ＝
x 0.2，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．
∴0.30.2
＞0.20.2
；考查指数函数y ＝0.2x ，可知该函数在R 上是减函数，∴0.20.2＞0.20.3
，
综上，0.20.3＜0.20.2＜0.30.2
＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1.5，即c ＜b ＜a ＜d .
答案：c ＜b ＜a ＜d
7．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数；
当x ≥0时，函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1；且满足0＋3－3a ≥a 0
，解得a ≤23
，
所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23. 答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23 8．解析：函数f (x )＝a x
＋b 的图像可由函数y ＝a x
的图像向上(b ＞0时)或向下(b ＜0)时，平移|b |个单位得到，∵0＜a ＜1，b ＜－1，结合图像可知，f (x )＝a x
＋b 的图像一定不经过第一象限．
答案：一
9．解：由y ＝a 2x ＋2a x
－1(0＜a ＜1)， 令t ＝a x
，∵x ∈[－1,1]∴a ≤t ≤1a
，
∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2
－2. 对称轴为t ＝－1.
∵0＜a ＜1∴1a ＞1，∴当t ＝1
a
，
即x ＝－1时，y 取最大值．
y max ＝1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝1
3，
a ＝－15
.
∵0＜a ＜1，∴a ＝13
.
10．解：(1)由题意，2x
－1≠0，即x ≠0， ∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (－x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12－x －1＋12(－x )3
＝2－x
＋1－x －
·(－x )3
＝1＋2x －2
x
·(－x )3
＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )，
∴f (x )为定义域上的偶函数． (3)当x ＞0时，2x
＞1， ∴2x
－1＞0. 又∵x 3
＞0， ∴f (x )＞0.
由偶函数的图像关于y 轴对称，知x ＜0时，f (x )＞0也成立． 故对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f (x )＞0.
2019-2020年高中数学课时达标训练十五新人教A 版选修
题组1 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：
①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′
＝1
2x x
.
其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．已知f (x )＝x α(α∈Q *
)，若f ′(1)＝14，则α等于( )
A.13
B.12
C.18
D.14
题组2 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2
x ＋sin 2
x B ．y ′＝cos 2
x －sin 2
x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x 4．函数y ＝
x 2
x ＋3
的导数为________．
5．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若
f ′(1)＝3，则a 的值为________．
6．求下列函数的导数．
(1)y ＝sin x －2x 2
；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e x
sin x
.
题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题
7．曲线y ＝x e x
＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．
8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π
2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实
数a ＝________．
9．已知函数f (x )＝ax 3
＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．
10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3
－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．
[能力提升综合练]
1．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则
f 2 017(x )＝( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
2．已知曲线y ＝x 2
4－3ln x 的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为( )
A ．3
B ．2
C ．1 D.1
2
3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.2
2
4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3
＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2
5．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝________．
6．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f ′(0)＝________．
7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．
8．设f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数
a ，
b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．
9．已知两条直线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫
32′＝0，
所以②错误.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
2′＝0－（x 2
）′x 4＝－2x x 4＝－2x
3
，所以③错误.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x ′＝－0－（x 12）′
x
＝
12x －12
x
＝12x －32＝12x x
，所以④正确． 2. 解析：选D ∵f (x )＝x α
， ∴f ′(x )＝αx
α－1
.
∴f ′(1)＝α＝1
4
.
3. 解析：选 B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2
x －sin 2
x .
4. 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2
（x ＋3）′（x ＋3）2
＝2x （x ＋3）－x 2
（x ＋3）2＝x 2
＋6x
（x ＋3）
2.
答案：x 2＋6x （x ＋3）
2
5. 解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．
由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：3
6. 解：(1)y ′＝(sin x －2x 2
)′＝(sin x )′－(2x 2
)′ ＝cos x －4x .
(2)y ′＝(cos x ·ln x )′
＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos x
x
.
(3)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫e x
sin x ′ ＝（e x ）′·sin x －e x
·（sin x ）′sin 2
x ＝e x ·sin x －e x
·cos x sin 2
x ＝e x
（sin x －cos x ）sin 2
x
. 7. 解析：y ′＝e x
＋x e x
＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0
＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.
答案：y ＝3x ＋1
8. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2
，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.
答案：2
9. 解析：∵f ′(x )＝3ax 2
＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，
∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．
∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.
答案：1
10. 解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2
－10，所以3x 2
0－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23
－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2，1)．
能力提升综合练
1. 解析：选C 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .
2. 解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝1
2
，解得x ＝
3(x ＝－2不合题意，舍去)．
3. 解析：选B y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）
（sin x ＋cos x ）2
＝
11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为1
2
，即为所求切线的斜率．
4. 解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 3
0＋3，所以3x 0＋1＝ax 3
0＋3…①.对y ＝ax 3
＋3求导得y ′＝3ax 2
，则3ax 2
0＝3，ax 2
0＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.
5. 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4sin x ＋cos x ，
∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22
＋22，
得f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝2－1.
∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝1. 答案：1
6. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )， 则f (x )＝xg (x )，
求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )， 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n
7. 解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1
x
，y ′|x ＝1＝2.
∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.
∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1相切，
∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2
＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2
－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.
设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 2
0＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，
a ＝8. 答案：8
8. 解：因为f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .
令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，
又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.
则f (x )＝x 3
－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52
.
又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.
9. 解：不存在．由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.
若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是
sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。