线性系统理论复习题纲
线性系统理论复习题纲
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《线性系统理论基础》复习提纲第1章线性系统的状态空间描述1、基本概念状态(向量)状态空间状态轨迹状态空间模型(表示)状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构(方框)图线性系统时不变(定常)系统、时变系统连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵2、知识要点%%知识点1:根据物理规律建立状态空间模型♦ 简单机械系统 ♦简单电气系统参考例题:例2.1.1,例2.1.2(P8)%%知识点2:微分方程模型转化为状态空间模型♦微分方程中不含输入导数项给定 ()(1)110n n n y a ya y a y bu --++++=&L ,选取状态向量12(1)n n x y x y x y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&M M , 则有状态方程: 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M M&L输出方程: []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x y M Λ21001 例2.1.3 (注意:方框图在没有要求时可以不画出) ♦微分方程中包含输入函数导数项,且m n <给定()(1)()(1)110110n n m m n m m ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ,m n <,将其转化为()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b yb y b y b y ----⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩&%%%%L &%%%%L ,选取状态向量12(1)n n x yx y x y-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%&%M M %,则有状态方程 120110100101n n x x u x a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M &L 输出方程 12011[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L 123M例2.1.4 ♦ 微分方程中包含输入函数导数项,且n m =若()(1)()(1)110110n n n n n n n ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ,让n y y b u =-%,则转化为如下微分方程的形式()(1)(1)(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。
信号与系统复习提纲
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信号和线性系统复习提纲第一章 信号和系统1.信号、系统的基本概念2.信号的分类,表示方法(表达式或波形)连续和离散;周期和非周期;实和复信号;能量信号和功率信号 3.信号的基本运算:加、乘、反转和平移、尺度变换。
图解时应注意仅对变量t 作变换,且结果可由值域的非零区间验证。
4.阶跃函数和冲激函数极限形式的定义;关系;冲激的Dirac 定义 阶跃函数和冲激函数的微积分关系 冲激函数的取样性质(注意积分区间))()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅;⎰∞∞-=⋅)0()()(f dt t t f δ)()()()(111t t t f t t t f -⋅=-⋅δδ;⎰∞∞-=-⋅)()()(11t f dt t t t f δ5.系统的描述方法数学模型的建立:微分或差分方程系统的时域框图,基本单元:乘法器,加法器,积分器(连),延时单元(离) 由时域框图列方程的步骤。
6.系统的性质线性:齐次性和可加性;分解特性、零状态线性、零输入线性。
时不变性:常参量LTI 系统的数学模型:线性常系数微分(差分)方程(以后都针对LTI 系统) LTI 系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性(可结合第7章极点分布判定)1. 微分方程的经典解法:齐次解+特解(代入初始条件求系数) 自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—~0+初值(由初始状态求初始条件):目的,方法(冲激函数系数平衡法)全响应=零输入响应+零状态响应;注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性 特别说明:特解由激励在t>0时或t>=0+的形式确定2. 冲激响应)(t h定义,求解(经典法),注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性阶跃响应)(t g 和)(t h 的关系3. 卷积积分定义及物理意义激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *= 卷积的图示解法(了解)函数和冲激函数的卷积(和乘积不同))()()(t f t t f =*δ;)()()(11t t f t t t f -=-*δ 卷积的微分和积分复合系统冲激响应的求解(了解)1.离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解:齐次解+特解(代入初始条件求系数)全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态(是)()2(),1(N y y y --- ),而初始条件(指的是)1()1(),0(-N y y y ) 2.单位序列响应)(k h)(k δ的定义,)(k h 的定义,求解(经典法);若方程右侧是激励及其移位序列时,注意应用线性时不变性质求解 阶跃响应)(k g 和)(k h 的关系 3. 卷积和定义及物理意义激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=卷积和的作图解 )(k f 和)(k δ的卷积和)()()(k f k k f =*δ;)()()(11k k f k k k f -=-*δ结合前面卷积积分和卷积和,知道零状态响应除经典解法外的另一方法。
线性系统理论多年考题和答案要点
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2008级综合大题[]400102110010112x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置?2 控规范分解求上述方程的不可简约形式?3 求方程的传递函数;4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定;(各种稳定之间的关系和判定方法!)5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2,-3?若能,确定K ,若不能,请说明理由;6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器,使其特征值为-4,-5; 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。
参考解答: 1.判断能控性:能控矩阵21416124,() 2.000M BABA B rank M ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统不完全可控,不能任意配置极点。
2按可控规范型分解取M 的前两列,并加1与其线性无关列构成1140120001P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求得1203311066001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行变换[]1120831112,0,22260001A PAP B PB c cP --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩3.12(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1)(4)(2)s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-==-++-+4.det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++,系统有一极点4,位于复平面的右部,故不是渐近稳定。
12(1)()()(4)(2)s G s c sI A B s s --=-=-+,极点为4,-2,存在位于右半平面的极点,故系统不是BIBO 稳定。
系统发散,不是李氏稳定。
5.可以。
令11228,12Tk k k k A Bk k +⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则特征方程[]2112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++--期望特征方程*2()(2)(3)56f s s s s s =++=++比较上两式求得:728Tk -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦6.可以。
77_线性系统复习

1 0
0.091 0.819
H (
T e Atdt)B
T 1
0
0 0
0.5(
1-e-2t ) e - 2t
dt
1 0
0.5T 0.25e-2T -0.5e-2T 0.5
-0.25
00..000951
于是对应离散化状态方程为:
x(k
1)
1 0
0.091x1(k) 0.819x2(k)
系统(A,B,C)状态可控 能控性矩阵 为行满秩,即rank Wc=n (n为系统维
数)
定理4. PBH判据 系统(A,B,C)可控
实际上只要检查A旳n个特性值点即可。 例:系统
对离散系统,若系统可达,则显然系统 可控,
但系统可控,则系统不一定可达。
当系统矩阵A是非奇异,系统旳可控性 与可达性等价,但A奇异时,则系统可控 则不一定可达
u(k) u(t)
u(t)
u(k) 保持器 u(t)
y(k) y(u)
则在基本假设: ① 等间隔采样且采样周期T满足香农定理; ② 保持器为零阶保持器.
下,其对应旳离散系统状态方程为:
{ x(k 1)Gx(k ) Hu(k ) yCx(k ) Du(k )
x( 0 ) x0
其中,G e At ,H ( T e At dt )B 0
F 0 0 1Wc1αc ( A)
闭环系统期望极点旳选用
期望极点选用旳原则: 1 n维控制系统有n个期望极点; 2 期望极点是物理上可实现旳,为实数或共轭复数对; 3 期望极点旳位置旳选用,需考虑它们对系统品质旳影 响(离虚轴旳位置),及与零点分布状况旳关系。 4 )离虚轴距离较近旳主导极点收敛慢,对系统性能影响 最大,远极点收敛快,对系统只有极小旳影响。
804-信号与系统
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《信号与线性系统分析》考试复习大纲《信号与线性系统》课程是电子工程及其通讯工程、电子与信息技术、信号处理、自动化、计算机科学与技术、系统工程等专业的一门重要技术基础课,主要研究信号与线性系统分析的基本概念、原理、方法与工程应用。
它一方面以工程数学和电路分析理论为基础,另一方面它本身又是后续的技术基础颗与专业课的基础,也是学生将来从事专业技术工作的重要理论基础,它将为学生的素质培养起到重要作用。
因此,《信号与线性系统》对研究生考试复习的基本要求是,基本概念要“理解”、“了解”、“知道”。
分析方法运用要“熟练”、“掌握”、“会”。
第1章信号与系统基本概念的基本要求一信号的定义与基本信号的基本要求1 了解信号及其描述2 理解信号的分类3 熟练掌握基本的连续时间和离散时间信号二信号的基本运算与波形变换的基本要求1 熟练掌握信号的下列基本运算(1)信号的相加与相乘(2)连续时间信号微分和离散时间序列差分运算(3)连续时间信号积分和离散时间序列累加运算(4)取模(或取绝对值)运算2 熟练掌握下列自变量变换导致的信号变换(1)信号的时移(2)信号的折叠(3)信号的尺度变换(4) 连续时间信号的时域压扩和幅度放缩(5) 离散时间信号的尺度变换:抽取和内插零3 正确理解信号的下列分解(1)信号的交直流分解(2)信号的奇偶分解(3)信号分解为实部和虚部(4)信号分解成矩形脉冲序列之和及冲激信号的积分(5)信号的正交分解三系统的基本概念的基本要求1 了解系统的概念2 了解系统的模型3 理解系统的分类,掌握线性系统非时变系统的性质4 掌握系统的下列基本联接方式(1)系统的级联(2)系统的并联联接(3)系统的反馈联接四系统的模拟与相似系统的基本要求1 了解相似系统的概念2 了解系统模拟的方法(1)掌握基本运算器的性质(2)熟练掌握连续时间系统的模拟结构框图描绘(3)熟练掌握离散时间系统的模拟结构框图描绘第2章线性时不变连续系统的时域分析的基本要求一线性时不变连续系统的描述及其响应的基本要求1 掌握系统的描述方法2 理解固有响应与强迫响应(微分方程经典求解方法)概念,熟练掌握用经典方法求解一个线性时不变连续系统的n阶常系数线性微分方程的具体步骤3 理解零输入响应与零状态响应的概念,熟练掌握用零输入、零状态响应方法求解一个线性时不变连续系统的n阶常系数线性微分方程的具体步骤二冲激响应和阶跃响应的基本要求1 掌握初始状态等效为信号源的方法2 知道冲激响应概念和掌握冲激响应求解方法3 知道阶跃响应概念和掌握阶跃响应求解方法三卷积积分的基本要求1 理解卷积积分定义和掌握卷积积分的方法2 掌握卷积运算的规则及会分析卷积积分的存在性3 掌握卷积积分的图解方法4 掌握利用卷积方法计算系统零状态响应第3章线性位移不变离散系统的时域分析的基本要求一线性位移不变离散系统的描述及其响应的基本要求1 掌握系统的描述方法2 理解固有响应与强迫响应(差分方程的经典求解方法)概念(1)掌握迭代法求解差分方程的方法(2)熟练掌握齐次解和特解法求解差分方程的方法及具体步骤。
线性系统理论试题
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x&1 x&2
=
−7
0
x&3 0
0 −5 0
0 x1 0
0
x2
+
4
−1 x3 7
0
0 5
u1 u2
解:由于对角规范型中 B 包含元素全为零的行,故系统不完全能控。
3.(约当规范形判据的应用)判断下面系统的能控性和能观性
1 1 0 0 0 1
x&
=
0 0
1 0
0 1
u = e(t),输出变量 y = uc。
解:
e
=
uc
+
R
⋅C
duc dt
, x& = − 1 x + 1 u RC RC
, y=x
2.(由输入输出描述建立状态空间描述)系统的传递函数如下,求系统的状态空 间描述
G(s)
=
s3
s2 + s + 5 + 6 s2 + 12 s
+
4
0 解:可控标准形, x& = 0
s −1 0 1 det(sI − A) = 0 s −1 0 = (s −1)2 (s − 2) = 0
0 0 s−2
则系统特征值为 λ1 = 1( λ1 的代数重数 σ1 = 2 ), λ2 = 2 ( λ2 的代数重数 σ 2 = 1 )。 (2)有重特征值,判断是否可以化为对角规范形
对于 2 重特征值 λ1 = 1,它所对应的特征矩阵
1 0
υ11
= 1,υ22
= 1 ,得到
2
个属于二重特征值 λ1
= 1的特征向量υ1
=
0
线性系统理论复习提纲
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线性系统理论复习提纲闭卷部分内容:(40分)题型:判断改错、填空、简答(证明,传递函数、特征值等计算)1、第一章P4:什么是线性系统?(,要求会证明)例子:是否线性系统?什么是定常系统?(参数不随时间变化)例子:和那个是定常系统?2、第二章P17:动态系统的内部和外部描述(外部——输入输出描述,内部——基于内部结构分析的数学模型)。
例子:传递函数是线性定常系统的外部描述模型还是内部描述模型?第2.5和2.6节:给定矩阵A,求特征多项式、特征值;转换为约当标准形。
例子:(特征值互异时)试求系统矩阵A的特征多项式、特征值,并转换为约当标准形。
例子:(存在重特征值时)试求系统矩阵A的特征多项式、特征值,并转换为约当标准形。
第2.7节:已知系统的状态空间描述(A,B,C,D),写出其传递函数表达式。
例子:试求系统的传递函数矩阵。
第2.8节:两个线性定常系统代数等价是什么意思?线性系统在坐标变换下,哪些量发生变化,哪些不变?例子:若,,,系统和是否代数等价?例子:坐标变换是否改变系统的传递函数?3、第三章第3.1节:已知系统的状态空间描述为(A,B,C,D),写出其状态响应和输出响应表达式,并指出哪部分是零输入响应,哪部分是零初态响应。
第3.2节:特征值与状态响应模式的关系(P101 中间(1))。
例子:系统的运动模式是否存在振荡?第3.4节:给定(A, B, C, D),求其脉冲响应矩阵。
4、第四章第4.1节:简述状态和系统能控性的定义,并简单解释其物理意义。
第4.1节:简述状态和系统能观测性的定义,并简单解释其物理意义。
第4.2、4.3节:能控性和能观测性判别矩阵的形式(秩判据)。
例子:试判断系统是否完全能控、是否完全能观测。
第4.7节:能控和能观测规范形。
例子:判断对错并改正:完全能控的任意两个代数等价系统必具有相同的能控规范形。
完全能观测的任意两个代数等价系统必具有相同的能观测规范形。
5、第五章第5.1节:内部和外部稳定性的定义及其相互关系。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第3章
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有限时刻 , t f , t0对 t时f 刻J 的非零t0初始状态
x(t0 ) , x可0 找到一个无约束的容许控制u(t),能在一个有限
的时间间隔内 t ,[t0使,t f某] 一状态轨线在 时刻为t f
,则
称此x(状t f )态在0 时刻为完全能控t的0 。
tf
定义2 如果存在一个无约束的容许控制u(t),能在一个有
【例1】 判别下1 0
x1 x2
0 1
u
解:首先确定出系统的能控判别阵U,并判别阵U的秩。
rankU rank[B
AB]=rank
0 1
1 0
2
显然,由于 rankU n 2 ,因此该系统完全能控。
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
状态变量是系统的一个内部变量,能否通过系统输入、 输出这一对外部变量来建立或确定系统的初始状态,这是 系统能控性、能观性问题所要研究的内容,也即研究系统 这个“黑箱”的内部状态能否由输入来加以影响和控制以 及能否由输出来加以反映。
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
如果系统内部的所有状态的运动能够由输入来加以影响 和控制,就称系统是完全能控的,否则系统就称为不完全 能控的或不能控的。同样,如果系统内部所有状态变量的 任意运动形式均可由输出完全地反映出来,则称系统为完 全能观的,否则就称系统为不完全能现的或不能观的。
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
对于线性定常系统的状态方程可写为:
x Ax Bu , x(0) x0 , t 0
记为{A,B},其中:x为n×1状态向量;u为p×1输入向量; A为n×n常值矩阵;B为n×p常值矩阵。 线性定常系统能控性的常用判据 1. 格拉姆矩阵判据 定理1 线性定常系统{A,B}完全能控的充分必要条件是,存 在一个有限时刻 tf > 0,使如下定义的格拉姆(Gram)矩阵
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第5章
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望的闭环系统特征多项式
* n 1 * 1 * * ( s) ( s i* ) s n an s a s a 1 1 0 i 0 n
第5章 状态反馈
江苏大学电气学院
第3步:写出通过非奇异变换 x Px 将(A,b)化成能控
第5章 状态反馈
江苏大学电气学院
系统经输出反馈后,其系统矩阵变成了 A -BFC ,此处 FC的相当于状态反馈中的K。可见,选择 F 也可以改变系
统矩阵的值使系统特征根位置发生改变。
虽然状态反馈和输出反馈都可改变系统矩阵,但两者 是有区别的。状态变量包含了系统所有的运动信息,而系
统输出量是状态变量的线性组合。当输出矩阵 C 为单位矩
变成了一个单输入能控系统 ( A BK, bi ) 。 利用这一结论,在随后的多输入系统状态反馈极点 配置相关的结论证明中,可以方便地将多输入能控系统 变成单输入系统来讨论,从而利用单输入系统的极点配 置的相关结论。
第5章 状态反馈
江苏大学电气学院
5.3 系统的极点配置
一. 极点配置的概念
由前面的讨论可知,状态反馈使原系统的系统矩阵由 A变成了A-BK,通过选择不同的反馈增益矩阵 K ,可改 变系统的特征值。后面将看到,当系统完全能控且完全能 观时,系统的特征值也就是闭环传递函数矩阵的极点 。 由经典控制理论可知,闭环系统传统意义上的一些主
1.状态反馈与输出反馈的概念 2.反馈对能控性和能观性的影响 3.系统与输出反馈的极点配置 4.状态反馈的解耦
第5章 状态反馈
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5.1 状态反馈与输出反馈的概念
经典控制理论以输出量作为反馈量,使系统得以稳定 或使系统性能指标得到改善。在系统的状态空间描述中,
(word完整版)线性系统理论考试试卷A答案
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《线性系统理论基础》期末考试试卷(A )北京工业大学电控学院 日期:2011年6月17日姓名:___________ 学号:___________ 得分: ___________一、(20分)按如下要求建立系统的状态空间模型(1)已知系统的微分方程描述为 326y y y y u +-+=,写出其状态空间模型.(2)已知系统由图1所示的基本模块构成,写出其状态空间模型。
图 1解:(1)0121,2, 3.6a a a b ==-==010000101236[100]x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦= (2)111123113222312223123331231232222234443102202114430[110]x x u u u u x x x x ux x u u x x x x x u y x x x x uy x x x x x xx x u y x=+==-=-+⎧⎧⎪⎪=-+=+⇒=--+=+⎨⎨⎪⎪=-+=+=+-⎩⎩-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=二、(20分) 已知系统的状态空间模型为010341[20]x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦= (1)画出系统的结构框图.(2)将该系统化为约当(或对角线)标准型.(3)计算标准型系统在t u e -=激励下的零初态响应和输出响应。
解: (1)因为 122121342x x x x x u y x=⎧⎪=--+⎨⎪=⎩所以系统的结构框图如下:2x(2)2121(4)343(1)(3)3413I A λλλλλλλλλλλ--==++=++=+++=-=-所以: 交换矩阵:1319P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 131931*********P -⎡⎤--⎢⎥⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11003P AP --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦11216P B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]31CP =--所以约旦标准型为: 11021036[31]x x u y x⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-- (3)0330233121610()030()100210061002110(1)026121()12t tt t tt t t t t t tx t e e d e e e e d t e e e te e e ee d τττττττττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦--------------⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢-⎢⎣⎦⎰⎰⎰⎥⎥ 331()()212t t t y t te e e ---=--三、(20分)给定系统状态空间模型如下[]210102000031102x x u y x-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= (1)判断该系统的能控性,写出判断过程。
线性系统理论(复习)

u
u1
x1
1
y1
x2
2
y2 y
y1 1 0 x1
R
S2: x2 x2 3u2
y2 2x2
+
e(t)
i
C - uc
e
uc
RC
duc dt
,
x 1 x 1 u, RC RC
yx
解:
1 2 0 1
.
x
A1 B2C1
0 A2
x
B1
B2
D1
u
0 3
3 0
0 x1 3 u 1 0
例 线性定常系统的齐次状态方程为
x1 x2
0 2
1 x1
3
x2
求其状态转移矩阵 eAt
解
[sI
A]1
s 2
1
1
1 s 3
s 3
(s 1)(s
2)
2
1 s
s
2 1
s
1
2
2 s 1
s
2
2
s
1 1
s
1
2
1 s 1
s
2
2
于是
eAt L
1[sI
A]1
2et
x1
x2
[D1
D2
]u
G(s) G1(s) G2 (s)
:
p
x1 A1
xN
y C1
x1 B1
u
AN xN BN
CN
x1 x2
[D1
DN ]u
N
G(s) Gi (s) i 1
u1
例:求如下并联系统的状态空间描述 u
0 1 0
线性系统理论复习大纲

第一部分复习大纲1.什么是线性系统?线性系统一般怎样分类?2.状态空间的描述和输入输出描述的基本概念及其关系。
3.系统状态空间描述建模。
主要是指电路、力学装置、机电装置的状态空间描述数学模型。
4.状态方程的约当标准型及其性质。
5.传递函数矩阵概念。
传递函数矩阵与状态空间描述之间的关系(已知状态空间描述求传递函数矩阵和已知传递函数矩阵进行状态空间描述实现)。
6.线性坐标变换。
7.组合系统的状态空间描述,输入输出描述建模。
8.矩阵指数函数及其性质。
9.线性系统的运动求解,系统矩阵特征值,特征向量对运动的影响。
10.脉冲响应阵与传递函数阵的关系、卷积定理。
11.状态转移矩阵及其性质。
12.线性连续系统离散化及其性质、求解。
13.连续系统与离散系统的能控性、能达性、能观性、能测性及其判据。
14.能控性指数、能观性指数、对偶原理。
15.能控能观标准型及其结构分解,结构分解后各部分与输入输出描述,状态空间描述之间的关系,会对约当标准型进行结构分解并求传递函数。
16.线性系统内部稳定、BIBO稳定概念及其性质。
17.连续和离散系统的lyapunov稳定概念及其各种判别定理,会用lyapunov方法判断连续系统、离散系统的稳定性。
18.状态反馈、输入输出反馈性能比较。
19.极点配置及其算法。
20.镇定条件、镇定与极点配置的关系(算法不考,但对一个线性系统能进行是否能镇定条件判断)。
21.解耦控制形式、分类,各种解耦方法特点,系统能否解耦判断,会进行积分型解耦算法。
22.跟踪问题及其结构框图、内模原理(会建立跟踪问题的内模)、可跟踪条件。
23.各种线性二次型最优控制问题指标含义,掌握最优控制及其性能指标求法。
24.无限时间最优控制的稳定裕度,反馈增益可摄动范围及其物理意义。
25.状态观测器设计、分类及其特点,掌握全维和降维观测器设计方法。
26.状态观测器设计与状态反馈设计之间的关系问题。
第二部分复习大纲1.多项式、多项式矩阵的基本概念。
931信号与线性系统复习提纲

931信号与线性系统复习提纲一、课程考试内容(一)信号与系统的基本概念1. 内容提要:信号的分类和运算,奇异函数性质。
系统的分类和描述,线性时不变系统的性质。
2.基本要求(1)了解信号的分类,熟悉连续信号与离散信号、功率信号与能量信号、周期信号的概念。
(2)掌握信号的反转、时移、尺度变换,掌握冲激函数和阶跃函数、单位样值序列和阶跃序列的性质。
(3)掌握线性系统和时不变系统的判断方法。
(二)连续系统的时域分析1. 内容提要零输入响应和零状态响应、阶跃响应和冲激响应。
卷积积分及其性质;响应的时域求解。
相关函数与卷积的联系与区别。
系统响应的固有分量与强迫分量、稳态分量与暂态分量的概念。
2.基本要求(1)熟悉零输入响应与零状态响应、固有响应与强迫响应、稳态响应与暂态响应的概念,掌握冲激响应的求解方法。
(2)掌握卷积积分及其性质,掌握系统响应的时域求解方法。
(3)了解相关函数与卷积的联系与区别。
(三)离散系统的时域分析1. 内容提要:差分与差分方程;系统的单位序列响应与响应阶跃响应;卷积和及其性质。
系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
反卷积的概念。
2.基本要求(1)熟悉差分和差分方程的概念。
了解差分方程的经典解法。
(2)掌握单位序列响应与阶跃响应的求解方法。
(3)掌握卷积和及其性质;掌握系统响应的时域求解方法。
(4)了解反卷积。
(四)系统的频域分析1. 内容提要信号的正交分解。
周期信号分解为傅里叶级数,周期信号的频谱及其特点,周期信号的功率。
傅里叶变换与逆变换,奇异函数和周期函数的傅里叶变换,傅里叶变换的性质。
信号的能量和频带宽度的概念。
响应的频域分析方法。
频率响应与正弦稳态响应。
线性系统无失真传输的条件。
取样定理,奈奎斯特取样频率和取样间隔。
吉布斯现象。
离散信号DFS、DTFT、DFS的定义和特点。
圆周反转、时移、卷积的概念。
2.基本要求(1)了解信号正交分解的过程。
熟悉周期信号的傅里叶级数展开。
掌握周期信号的频谱及其特点、周期信号的功率。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第4章

间关系和因果关系,可将受扰运动表示为
x0u (t ) (t ; x0 , t0 ) , t [t0 ,)
式中, 表示向量函数,括号内分号前反映对时间t 的函
数关系,分号后用以强调导致运动的初始状态x0 及其作用 时刻t0 。显然,对 t=t0 ,受扰运动的向量函数满足
(t0 ; x0 , t0 ) 0
则称平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下的稳定。如果 xe 0 ,则称原点是李雅普诺夫意义下的稳定的。
第4章 控制系统的稳定性分析
江苏大学电气学院
这个定义的几何意义是:对给 定的实数 0 ,存在实数
( , t0 ) 0 (其大小依赖于 和 t0 )。在状态空间中以原点 xe
式中的A(t)为n×n时变矩阵,且满足解存在唯一性条件。
设系统的状态零输入响应 x0u (t )是由任意非零初始状态 x0
引起的状态响应。 定义2(内部稳定性) 对于连续时间线性时变系统,如果由 时刻t0 任意非零初始状态 x(t0 ) x0 引起的状态零输入响
)是有界的,并满足 应 x0u (t ) 对所有t [t0 ,
第4章 控制系统的稳定性分析
江苏大学电气学院
四. 李雅诺夫稳定性定义
1. 自治系统、平衡系统和受扰系统 系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定 性。直观上,系统平衡状态的稳定性就是,偏离平衡状态
的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素,或者使之限
制在平衡状态的有限领域内,或者使之同时最终返回到平 衡状态。 定义1(自治系统) 没有外加输入作用即不受外部影响的系 统称为自治系统。自治系统的一般描述为
第4章 控制系统的稳定性分析
江苏大学电气学院
在几何上,受扰运动 (t ; x0 , t0 ) 呈现为状态空间从初始点
线性系统理论复习大纲

Chapter 2 Mathematical Descriptions of Systems定义2.1 一个系统在0t 时刻的状态是一组信息的组合,它和系统的输入0()()u t t t ≥一起可唯一确定系统的输出0()()y t t t ≥系统数学描述小结系统类型 内部描述 外部描述 分布、线性 0()(,)()tt y t G t u d τττ=⎰ 集中、线性()()()()x A t x B t uy C t xD t u=+=+ 0()(,)()tt y t G t u d τττ=⎰分布、线性、定常()()()()()()t y t G t u dy s G s u s i r r a t i o n a lτττ=-=⇒⎰集中、线性、定常 x A x B uy C x D u=+=+()()()()()()t y t G t u dy s G s u s r a t i o n a lτττ=-=⇒⎰Chapter 4 State-space Solutions and Realizations线性定常系统状态方程的解()()(0)()tAtA t x t e x eBu d τττ-=+⎰()()(0)()()tAt A t y t Ce x C eBu d Du t τττ-=++⎰111()()[(0)()]()()(0)[()]()xs sI A x B u s y s C sI A x C sI A B D us ---=-+=-+-+连续状态方程按采样时间T 离散化 0TA TAA d eB de B d ττ==⎰定义4.1 设P 为n n ⨯非奇异实矩阵,任等价变换x Px =,那么方程xAx Bu y C x Du=+=+ 与原方程代数等价。
(其中,11,,,A PAP B PB C C P D D --====)定理 4.1 两个线性定常系统状态方程为零状态态等价(具有相同的传递矩阵)的充分必要条件mmCA B CA B =定义4.2 设()X t 是()x A t x = 的任一基本矩阵,那么100(,)()()t t X t X t φ-=称该方程的状态转移矩阵,它同时也是方程00'(,)()(,)t t A t t t φφ=关于初始条件00(,)t t I φ=的唯一解。
研究生线性系统理论题

1.为什么要对连续系统进行离散化?离散化有哪些方法?它们各自的特点是什么?因为连续系统在电脑上无法实现,只能把连续系统离散化,而离散华是将连续变化的模拟量信号,转换成数字量(脉冲)信号,但是这里的离散化是非常密集的,在误差允许的范围内,可以非常的逼近原函数.这样就能用数字电子计算机(电脑)进行计算或处理。
1.前向差分法S平面左半平面得极点可能映射到Z平面单位圆外,这种方式所得到得离散滤波器可能不稳定2.后向差分法变换计算简单;S平面得左半平面映射到Z平面得单位圆内部一个小圆内因此如果D(s)稳定则变换后的D(z)也稳定;离散滤波器得过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定得失真,需要较小得采样周期T。
3.双线性变换法如果D(s)稳定,则相应得D(z)也稳定;D(s)不稳定,则相应的D(z)也不稳定;所得D(z)的频率响应应在低频段与D(s)得频率响应相近,而在高频段相对于D(S)得频率响应有严重畸变。
4.脉冲响应不变法D(z)和D(s)有相同得单位脉冲响应序列;若D(z)稳定,则D(s)也稳定;D(z)存在着频率失真。
该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。
主要应用于连续控制器D(s)具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构,以及D(s)具有陡衰减特性,且为有限带宽得场合。
这时采样频率足够高,可减少频率混叠影响,从而保证D(z)得频率特性接近原连续控制器D(s)。
5.阶跃响应不变法若D(s)稳定,则相应的D(z)也稳定;D(z)和D(s)得阶跃响应序列相同;6.零极点匹配法需要先求出连续传递函数得全部零极点,计算复杂;能够保持变换前后特征频率处得增益不变;不改变系统得稳定区域,变换前后G(z)和G(s)的稳定特性不变2.多输入/多输出系统能控性和能观测性与系统传递函数矩阵的关系如何?在单输入单输出系统中,能控且能观测得充分必要条件是传递矩阵G (s )的分母与分子之间不发生因子相消。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章

t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看,上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件: (1)系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积,即有:
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同,并且存在非奇异变换 矩阵P,使得 A PAP 1,由 e At定义可得到:
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
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二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时,所得状态方程不同,故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态,只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时,对系统的分析才有意义。 从数学上看,这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设,它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明,条件(2)和(3)还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统,系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值,条件(1)和(2)自然满足,存在惟
一性条件只归结为条件(3)。 在本章随后各节的讨论中,总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件,并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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《线性系统理论基础》复习提纲第1章线性系统的状态空间描述1、基本概念状态(向量)状态空间状态轨迹状态空间模型(表示)状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构(方框)图线性系统时不变(定常)系统、时变系统连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵2、知识要点%%知识点1:根据物理规律建立状态空间模型♦ 简单机械系统 ♦简单电气系统参考例题:例2.1.1,例2.1.2(P8)%%知识点2:微分方程模型转化为状态空间模型♦微分方程中不含输入导数项给定 ()(1)110n n n y a ya y a y bu --++++=&L ,选取状态向量12(1)n n x y x y x y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&M M , 则有状态方程: 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M M&L输出方程: []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x y M Λ21001 例2.1.3 (注意:方框图在没有要求时可以不画出) ♦微分方程中包含输入函数导数项,且m n <给定()(1)()(1)110110n n m m n m m ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ,m n <,将其转化为()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b yb y b y b y ----⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩&%%%%L &%%%%L ,选取状态向量12(1)n n x yx y x y-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%&%M M %,则有状态方程 120110100101n n x x u x a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M &L 输出方程 12011[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L 123M例2.1.4 ♦ 微分方程中包含输入函数导数项,且n m =若()(1)()(1)110110n n n n n n n ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ,让n y y b u =-%,则转化为如下微分方程的形式()(1)(1)(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。
例2.1.5知识点3:传递函数转化成状态空间模型(实现问题)考虑11101110(),m m m m n n n b s b s b s b G s m n s a s a s a ----++++=<++++L L注意:若11101110()n n n n nn n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L ,则可以将其写成 11-111001110()()()()()n n n n n n n n n n n b b a s b b a s b b a G s b s a s a s a b G s -----++-+-=+++++=+L L从而只需对()G s 进行状态空间实现。
● 方法1:转化为微分方程方法11101110()m m m m n n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L 等价于微分方程 ()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y b u b u b u b u----++++=++++&L &L● 方法2:并联法(部分分式分解法)(1) 若()G s 的极点全部为单根,则有1212()n nk k kG s s p s p s p =+++---L 其中i k 为对应于极点i p 的留数 lim[()()]ii i s p k G s s p →=⋅-,则状态空间模型为111222111n n n x p x x p x u x p x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M OM M &, []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x k k k y M Λ2121 参看:例2.1.6(2) 若()G s 的极点为单个重根,则有121()()()nn n k k k G s s p s p s p-=+++---L其中i k 为对应于极点p 的留数 111lim [()()],1,2,,(1)!i n i i s p d k G s s p i n i ds--→=⋅-=- 则状态空间模型为112210101n n x x p x x p u x x p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&O M M MO&, []1212n n x x y k k k x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM 参看:例2.1.7(3) 若()G s 的极点既有单根又有重根,则可以将其分解为12()()()()l G s G s G s G s =+++L ,其中1()G s 包含所有单根,2(),,()l G s G s L 只含有单个重根。
方法3:串联法(零极点分解法)自己总结。
%%知识点4:基于基本模块的方框图的转化第1步:将各环节通过等效变换,使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第2步:将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量i x ,积分器的输入端就是状态变量的一阶导数i x &。
第3步:根据调整过的方块图中各信号的关系,写出每个状态变量的一阶微分方程,从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量,从方块图写出系统的输出方程。
例2.1.8 (P .22)%%知识点5:通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型已知系统,x Ax Bu y Cx Du =+=+&1)求矩阵的互不相同的特征根,1,2,,i i n λ=L :即求特征多项式0I A λ-=的根2)求每个特征根i λ对应的特征向量i v :即求解线性方程组 ()0i i I A v λ-= 3)以特征向量i v 为列向量构成矩阵[]1n P v v =L ,构造线性变换x Px =4)计算对角线标准型的各系数矩阵1211n A P AP B P B C CPλλλ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==O5)写出系统的对角线标准型表达式,xAx Bu y Cx Du =+=+&参看:例2.2.2特殊情况:如果系统矩阵A 为正则型0110101n A a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦M OL且特征值,1,,i i n λ=L 互不相同,则变换矩阵P 为范得蒙矩阵122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L M M L M L例2.2.3, 习题9(1)P .49知识点6:通过线性变换化状态空间模型为约当标准型1)计算特征根i λ:假设12,,,l λλλL 为全部互不相同的特征根,其重数分别为12,,,l m m m L 2)构造线性变换x Px =的矩阵P :对每个特征根i λ计算秩rank()i i A I n λβ-=-,则从()0j i i A I p λ-= 可以求出i β个线性无关的特征向量,1,,j i i p j β=L ,对每一个特征向量j i p ,求解如下线性方程求出其广义特征向量12,,,jj j j ji i i ikp p p p =L : 1()0ji i A I p λ-=2132(1)()()()jj j ji i i j j i i i j ji ik i k A I p p A I p p A I p p λλλ--=-=-=M(其中j k 表示相应于特征向量ji p 的广义特征向量个数)变换矩阵的构造如下:▫ 对应于i λ的i β个约当块的分块矩阵为12,1,,j jjj ji i i ik i P p p p j β⎡⎤==⎣⎦LL ; ▫ 对应于i λ的分块矩阵为1,1,,ii i i P PP i l β⎡⎤==⎣⎦L L ; ▫变换矩阵为[]12l P P P P =L。
3)计算约当标准型的系数矩阵121l A A A P AP A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O1B P B C CP-==4)写出系统的约当标准型表达式,xAx Bu y Cx Du =+=+&参看:例2.2.4, 例2.2.5知识点6:通过线性变换化状态空间模型为模态标准型● 二阶系统情况:矩阵A 的特征值为共轭复数对1)计算矩阵A 的特征值1,2j λσω=±2)计算特征根1j λσω=+特征向量1v j αβ=+ 3)构造变换矩阵[]P αβ=4)计算模态标准型的系数矩阵11A P AP B P B C CPσωωσ--⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦== 5)写出系统的模态标准型表达式,xAx Bu y Cx Du =+=+&参看: 例2.2.7知识点7:由状态空间表达式求传递函数矩阵已知系统的状态空间表达式xAx Bu y Cx Du=+=+&则系统传递函数矩阵为1()(-)G s C sI A B D -=+其中逆矩阵的计算()()()1adj --det -sI A sI A sI A -=。
参看: 例2.3.1知识点8:应用Matlab♦常用的三种模型状态空间模型:Gss=ss(A,B,C,D) 传递函数模型: Gtf=tf(num,den) 零极点模型:Gzp=zpk(z,p,k) ♦基于方框图的状态空间模型建立并联:[A B C D]=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1+G2串联:[A B C D]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1*G2反馈:[A B C D]= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=feedback(G1,G2,sign) ♦转化为状态空间模型传递函数转化为状态空间模型:[A, B, C, D] = tf2ss (num, den) 零极点模型转化为状态空间模型:[A, B, C, D] = zp2ss (z, p, k) ♦ 线性变换SYS = ss2ss(SYS,P) ♦ 对角或约当标准型CSYS = canon(sys,‘modal ’) ♦ 转化为传递函数模型 ss2tf, ss2zp, tf2zp, zp2tf第2章 线性系统的运动分析12、需要掌握的方法%%知识点1:矩阵指数函数At e 的计算方法● 化矩阵A 为对角矩阵或约当矩阵J 的方法1)按照化对角标准型或约当标准型的过程构造矩阵P 2)计算 1AtJt ePe P -=注意:记住几类特殊矩阵(对角分块矩阵、对角矩阵、约当块、二阶反对称矩阵等)的矩阵指数函数。