线性系统理论复习题纲

《线性系统理论基础》复习提纲

第1章线性系统的状态空间描述

1、基本概念

状态（向量）

状态空间

状态轨迹

状态空间模型（表示）

状态方程、输出方程

系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵

状态结构（方框）图

线性系统

时不变（定常）系统、时变系统

连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换

矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵

2、知识要点

%%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型

♦ 简单机械系统 ♦

简单电气系统

参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）

%%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型

♦

微分方程中不含输入导数项

给定 ()(1)110n n n y a y

a y a y bu --++++=&L ，选取状态向量12(1)n n x y x y x y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦&M M ， 则有

状态方程： 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M M

&L

输出方程： []⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x y M Λ

21001 例2.1.3 (注意：方框图在没有要求时可以不画出) ♦

微分方程中包含输入函数导数项，且m n <

给定()

(1)()(1)110110n n m m n m m y

a y a y a y

b u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，m n <,将其转化为

()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b y

b y b y b y ----⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩&%%%%L &%%%%L ，选取状态向量12(1)n n x y

x y x y

-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦%&%M M %，则有

状态方程 120110100101n n x x u x a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣

⎦⎣⎦&&M O M M &L 输出方程 12

011

[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L L 123M

例2.1.4 ♦ 微分方程中包含输入函数导数项，且n m =

若()

(1)()(1)110110n n n n n n n y

a y a y a y

b u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，让n y y b u =-%，则转化为如下微

分方程的形式

()(1)(1)

(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。

例2.1.5

知识点3：传递函数转化成状态空间模型（实现问题）

考虑

1110

1110

(),m m m m n n n b s b s b s b G s m n s a s a s a ----++++=<++++L L

注意：若

1110

1

110

()n n n n n

n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L ，则可以将其写成 11-111001110()()()

()()

n n n n n n n n n n n b b a s b b a s b b a G s b s a s a s a b G s -----++-+-=+

++++=+L L

从而只需对()G s 进行状态空间实现。

● 方法1：转化为微分方程方法

1110

1110()m m m m n n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L 等价于微分方程 ()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y b u b u b u b u

----++++=++++&L &L

● 方法2：并联法（部分分式分解法）

（1） 若()G s 的极点全部为单根，则有

1212()n n

k k k

G s s p s p s p =

+++---L 其中i k 为对应于极点i p 的留数 lim[()()]i

i i s p k G s s p →=⋅-，则状态空间模型为

11122

2111n n n x p x x p x u x p x ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣

⎦⎣⎦&&M O

M M &， []⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x k k k y M Λ

212

1 参看：例2.1.6

（2） 若()G s 的极点为单个重根，则有

121()()()n

n n k k k G s s p s p s p

-=

+++---L

其中i k 为对应于极点p 的留数 1

11lim [()()],1,2,,(1)!i n i i s p d k G s s p i n i ds

--→=

⋅-=- 则状态空间模型为

112210101n n x x p x x p u x x p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&O M M M

O

&， []1212n n x x y k k k x ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L

M 参看：例2.1.7

(3) 若()G s 的极点既有单根又有重根，则可以将其分解为

12()()()()l G s G s G s G s =+++L ，其中1()G s 包含所有单根，2(),,()l G s G s L 只含有单个重根。

方法3：串联法（零极点分解法）

自己总结。

%%知识点4：基于基本模块的方框图的转化

第1步：将各环节通过等效变换，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。

第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导

数i x &。

第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。

例2.1.8 (P .22)