线性系统理论复习题纲

《线性系统理论基础》复习提纲第1章线性系统的状态空间描述1、基本概念状态（向量）状态空间状态轨迹状态空间模型（表示）状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构（方框）图线性系统时不变（定常）系统、时变系统连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵2、知识要点%%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型♦ 简单机械系统 ♦简单电气系统参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）%%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型♦微分方程中不含输入导数项给定 ()(1)110n n n y a ya y a y bu --++++=&L ，选取状态向量12(1)n n x y x y x y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&M M ， 则有状态方程： 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M M&L输出方程： []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x y M Λ21001 例2.1.3 (注意：方框图在没有要求时可以不画出) ♦微分方程中包含输入函数导数项，且m n <给定()(1)()(1)110110n n m m n m m ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，m n <,将其转化为()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b yb y b y b y ----⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩&%%%%L &%%%%L ，选取状态向量12(1)n n x yx y x y-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%&%M M %，则有状态方程 120110100101n n x x u x a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M &L 输出方程 12011[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L 123M例2.1.4 ♦ 微分方程中包含输入函数导数项，且n m =若()(1)()(1)110110n n n n n n n ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，让n y y b u =-%，则转化为如下微分方程的形式()(1)(1)(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。

例2.1.5知识点3：传递函数转化成状态空间模型（实现问题）考虑11101110(),m m m m n n n b s b s b s b G s m n s a s a s a ----++++=<++++L L注意：若11101110()n n n n nn n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L ，则可以将其写成 11-111001110()()()()()n n n n n n n n n n n b b a s b b a s b b a G s b s a s a s a b G s -----++-+-=+++++=+L L从而只需对()G s 进行状态空间实现。

● 方法1：转化为微分方程方法11101110()m m m m n n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L 等价于微分方程 ()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y b u b u b u b u----++++=++++&L &L● 方法2：并联法（部分分式分解法）（1） 若()G s 的极点全部为单根，则有1212()n nk k kG s s p s p s p =+++---L 其中i k 为对应于极点i p 的留数 lim[()()]ii i s p k G s s p →=⋅-，则状态空间模型为111222111n n n x p x x p x u x p x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M OM M &， []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x k k k y M Λ2121 参看：例2.1.6（2） 若()G s 的极点为单个重根，则有121()()()nn n k k k G s s p s p s p-=+++---L其中i k 为对应于极点p 的留数 111lim [()()],1,2,,(1)!i n i i s p d k G s s p i n i ds--→=⋅-=- 则状态空间模型为112210101n n x x p x x p u x x p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&O M M MO&， []1212n n x x y k k k x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM 参看：例2.1.7(3) 若()G s 的极点既有单根又有重根，则可以将其分解为12()()()()l G s G s G s G s =+++L ，其中1()G s 包含所有单根，2(),,()l G s G s L 只含有单个重根。

方法3：串联法（零极点分解法）自己总结。

%%知识点4：基于基本模块的方框图的转化第1步：将各环节通过等效变换，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。

第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数i x &。

第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。

根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。

例2.1.8 (P .22)%%知识点5：通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型已知系统,x Ax Bu y Cx Du =+=+&1）求矩阵的互不相同的特征根,1,2,,i i n λ=L ：即求特征多项式0I A λ-=的根2）求每个特征根i λ对应的特征向量i v ：即求解线性方程组 ()0i i I A v λ-= 3）以特征向量i v 为列向量构成矩阵[]1n P v v =L ，构造线性变换x Px =4）计算对角线标准型的各系数矩阵1211n A P AP B P B C CPλλλ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==O5）写出系统的对角线标准型表达式,xAx Bu y Cx Du =+=+&参看：例2.2.2特殊情况：如果系统矩阵A 为正则型0110101n A a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦M OL且特征值,1,,i i n λ=L 互不相同，则变换矩阵P 为范得蒙矩阵122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L M M L M L例2.2.3， 习题9（1）P .49知识点6：通过线性变换化状态空间模型为约当标准型1）计算特征根i λ：假设12,,,l λλλL 为全部互不相同的特征根，其重数分别为12,,,l m m m L 2）构造线性变换x Px =的矩阵P ：对每个特征根i λ计算秩rank()i i A I n λβ-=-，则从()0j i i A I p λ-= 可以求出i β个线性无关的特征向量,1,,j i i p j β=L ，对每一个特征向量j i p ，求解如下线性方程求出其广义特征向量12,,,jj j j ji i i ikp p p p =L ： 1()0ji i A I p λ-=2132(1)()()()jj j ji i i j j i i i j ji ik i k A I p p A I p p A I p p λλλ--=-=-=M（其中j k 表示相应于特征向量ji p 的广义特征向量个数）变换矩阵的构造如下：▫ 对应于i λ的i β个约当块的分块矩阵为12,1,,j jjj ji i i ik i P p p p j β⎡⎤==⎣⎦LL ； ▫ 对应于i λ的分块矩阵为1,1,,ii i i P PP i l β⎡⎤==⎣⎦L L ； ▫变换矩阵为[]12l P P P P =L。

3）计算约当标准型的系数矩阵121l A A A P AP A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O1B P B C CP-==4）写出系统的约当标准型表达式,xAx Bu y Cx Du =+=+&参看：例2.2.4， 例2.2.5知识点6：通过线性变换化状态空间模型为模态标准型● 二阶系统情况：矩阵A 的特征值为共轭复数对1）计算矩阵A 的特征值1,2j λσω=±2）计算特征根1j λσω=+特征向量1v j αβ=+ 3）构造变换矩阵[]P αβ=4）计算模态标准型的系数矩阵11A P AP B P B C CPσωωσ--⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦== 5）写出系统的模态标准型表达式,xAx Bu y Cx Du =+=+&参看： 例2.2.7知识点7：由状态空间表达式求传递函数矩阵已知系统的状态空间表达式xAx Bu y Cx Du=+=+&则系统传递函数矩阵为1()(-)G s C sI A B D -=+其中逆矩阵的计算()()()1adj --det -sI A sI A sI A -=。

参看： 例2.3.1知识点8：应用Matlab♦常用的三种模型状态空间模型：Gss=ss(A,B,C,D) 传递函数模型： Gtf=tf(num,den) 零极点模型：Gzp=zpk(z,p,k) ♦基于方框图的状态空间模型建立并联：[A B C D]=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1+G2串联：[A B C D]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1*G2反馈：[A B C D]= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=feedback(G1,G2,sign) ♦转化为状态空间模型传递函数转化为状态空间模型：[A, B, C, D] = tf2ss (num, den) 零极点模型转化为状态空间模型：[A, B, C, D] = zp2ss (z, p, k) ♦ 线性变换SYS = ss2ss(SYS,P) ♦ 对角或约当标准型CSYS = canon(sys,‘modal ’) ♦ 转化为传递函数模型 ss2tf, ss2zp, tf2zp, zp2tf第2章 线性系统的运动分析12、需要掌握的方法%%知识点1：矩阵指数函数At e 的计算方法● 化矩阵A 为对角矩阵或约当矩阵J 的方法1）按照化对角标准型或约当标准型的过程构造矩阵P 2）计算 1AtJt ePe P -=注意：记住几类特殊矩阵（对角分块矩阵、对角矩阵、约当块、二阶反对称矩阵等）的矩阵指数函数。