沪教版九年级上册-解直角三角形(基础)讲义

教学内容------解直角三角形 ★知识要点

1、解直角三角形的依据

在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么 （1）三边之间的关系为

（勾股定理）

（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为：

2、其他有关公式

直角三角形面积公式： （hc 为c 边上的高）

3、解直角三角形的条件

在除直角C 外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？

（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。 （3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。 5、直角三角形时需要注意的几个问题

（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。 （2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。 （3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 ★新课学习

引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长

度为222410+＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米.

思考：1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、B ∠这五个元素间有哪些等量关系呢？

3. 已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角

∠B= ；

4. 如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC 的面积(结果可保

留根号). 解：

例3、 已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm ，另一条直角边为8cm ，求它的面

积.

解：

例4、 在△ABC 中，90C ︒∠=，60B ︒

∠=，33a b +=+，求：a 、b 、c 的值及∠A.

解：

例5、 已知△ABC 中，∠C=90°，若△ABC 的周长为30，它的面积等于30，求三边长. 解：

例6、 如图：△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，若∠A=60°，AB-CD=13，求BC 及ABC S ∆ . 解：

例7、 已知△ABC 中，∠BAC=60°，AB ∶AC=5∶2且103ABC S ∆= ，求三边的长. 解：

例8、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是中线，已知AB ＝10，3

tan 2

α=

，求∠A 和BC.

解：

例9、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，AC ＝5，BC ＝12，（1）求AB 的

值；（2）求∠BCD 的值。

解：

例10、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 等于AB 边上的中线的3

2

，求sinB 的值。 解：

例11、△ABC中，AB＝AC,延长CA至D点，过D点作DF⊥BC，F为垂足，DF交AB于E，3

sin

5

D=。求sin∠DEA、cosB的值。

解：

例12、如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，D为垂足，且

2

sin

7

DBC

∠=，求：（1）

BC

AC

的值，（2）如果△ABC的周长为18，求△ABC的面积。解：

例13、如图，直线与轴正半轴，轴正半轴相交于A，B两点，已知△AOB面积为12，（1）求值；（2）求∠BAO的正弦值。

解：

★课堂总结

节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．今后，我们还要善于用数学知识解决实际问题．

★回家测试

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a＝1，c＝4,则sinA的值是（）

A.

15

15 B.

1

3 C.

1

4 D.

15

4

2.已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（）

A. 50°

B. 40°

C. (150 )°

D. (1

40 )°

3. 已知∠A+∠B=90°,且cosA=1

5

，则cosB 的值为（ ）

A. 15

B. 45

C. 265

D. 25

4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系式中正确的是（ ）

A. c ＝α·sinA

B. c ＝

α sinA C. c ＝α·cosB D. c ＝α

cosA

5. 如果α是锐角，且cosα＝4

5

，那么sinα的值是（ ）

A.

925 B. 45 C. 35 D. 1625

6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于（ ）

A. 3

B. 300

C.

50

3

D. 150 7. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AD ＝103

3

cm,

求∠B ，AB ，BC.

解：

8. 根据下列条件解直角三角形。在Rt △ABC 中。

（1）︒=∠=45,20A c （2）︒=∠=30,36B a 解：