定积分的经济应用
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4
= [100 + 6t ] = 272.
2 4 2
例 4 已知某产品的边际成本为 C ′( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 单位） （元/单位）求： （1）生产前 6 个单位产品的可变成本； 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C (0) = 6元，求前 6 个产品的平均 成本； 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本. 成本. 个单位产品， ）生产前6个单位产品 即从生产第1个 解 （1）生产前 个单位产品，即从生产第 个 到第6个单位的可变成本为 到第 个单位的可变成本为
C1,6 = (2 x − 3 x + 2)dx = 2 x3 − 3 x2 + 2 x = 102 3 0 2 0
∫
6
2
6
例 4 已知某产品的边际成本为 C ′( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 单位） （元/单位）求： 个单位产品的可变成本； （1）生产前 6 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C (0) = 6 元，求前 6 个产品的平均 成本； 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本. 成本.
练习题答案
一、75; 二、0.01.
2 3 3 2 = x − x + 2 x = 1560 ( 元 ) 2 3 9 C10,15 1560 C10,15 = = = 260 元） （ 6 6
15
单位时， 例 5 设某产品每天生产 x 单位时，边际成本为 C′( x) = 4 x （元/单位），其固定成本为 10 元，总收入 单位），其固定成本为 ）， R(x) 的变化率也是产量 x 的函数: R′( x) = 60 − 2 x 的函数: 求每天生产多少单位产品时， 最大？ 求每天生产多少单位产品时，总利润 L(x)最大？ x x C( x) = C0 + Cv = 10 + ∫ 4 xdx = 10+ 2 x 2 0 + 解 0
a
b
一、由边际函数求原函数
例1 已知边际成本为 C ′( x ) = 7 +
x
25 x
,
固定成本为1000,求总成本函数． 解 C ( x ) = C (0) + ∫ C ′( x )dx
0
= 1000 + ∫
x
0
25 (7 + )dx x
x = 1000 + [7 x + 50 x ]0
= 1000+ 7 x + 50 x
Hale Waihona Puke Baidu
解
∫
∫
20
0
100e
−0.1 t
dt
= 1000 (1 − e −2 )
≈ 864 .66；
将来值 =
20
= 1000e (1 − e )
2
0
100e
0.1( 20− t )
−2
dt
≈ 6389.06.
四、 小结 •由边际函数求原函数 由边际函数求原函数 •由变化率求总量 由变化率求总量 •收益流的现值和将来值 收益流的现值和将来值
若有一笔收益流的收益 流量为 p (t ) (元 / 年 ),
获得 , 从而在 [t , t + dt ]内
在 [t , t + dt ]内所获得的金额近似为 p (t )dt , 从 t = 0 开始 , p(t )dt 这一金额是在 t 年后的将来
− rt
分析 在区间 [0, T ] 内任取一小区间 [t , t + dt ],
r (T − t )
= p( t )e
r (T − t )
dt，
∫
T 0
p ( t ) e r (T − t )d t .
例6
0.1计息 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益 流量为100 100元 年的收益流在20 20年内的现 流量为100元/年的收益流在20年内的现 值和将来值. 值和将来值. 现值 =
例2
的函数， 已知对某种商品的需求量是价格 P 的函数，
该商品的最大需求量为80 且边际需求 Q' ( P ) = −4, 该商品的最大需求量为 (即 P＝0时， = 80), 求需求量与价格的函数关系. 即 求需求量与价格的函数关系. Q 解 由边际需求的不定积分公式， 由边际需求的不定积分公式， 可得需求量
= 2 x 2 + 10 x R(x) = ∫ (60 − 2 x)dx = 60x − x 2 x)
0
L( x ) = R( x ) − C ( x) = (60x − x 2 ) − (2 x 2 + 10)
由 L′( x) = 60 − 6 x = 0 得 x = 10 且 L′′( x ) = −6 < 0 所以每天生产10个单位产品可获得最大利润 个单位产品可获得最大利润， 所以每天生产 个单位产品可获得最大利润， （ 最大利润为 L(10) = 290 元）。
二、由变化率求总量
利用微分学的思想可以求总量的变化率（ 利用微分学的思想可以求总量的变化率（边 际变化）反过来，若已知总量的变化率（ . 际变化）反过来，若已知总量的变化率（边际变 ），也可以利用积分学的思想来求总量 也可以利用积分学的思想来求总量. 化），也可以利用积分学的思想来求总量 常用的几个求总量的积分公式： 常用的几个求总量的积分公式：
P = Be
收益流的将来值 息之后的存款值。
− rt
将收益流存入银行并加上利
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收 益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。
考虑从现在开始 (t = 0 )到 T 年后这一时间段的 将来值和现值 . (以连续复利率计息
= −3 x 2 + 60x − 10
三、收益流的现值和将来值
收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流。 收益流量 收益流对时间的变化率。
若以连续复利r计息，一笔P元人民币从现 在存入银行，t年后的价值（将来值）
B = Pe
rt
若t年后要得到B元人民币，则现在需要存入 银行多少金额（现值）
（1）已知某产品在时刻 t 的总产量的变化率为 f (t ) ，则 从时刻 t1 到时刻 t 2 的总产量为
Q = ∫ f (t )dt
t1
t2
的函数， （2）已知边际成本 C ′( x ) 是产品的产量 x 的函数，则生 产第 a 个单位产品到第 b 个单位产品的可变成本为
Ca ,b = ∫
b a−1
解（2） C(6) = ）
∫0
6
(2 x 2 − 3 x + 2)dx + 6
= 102+ 6 = 108
108 C (6) = 单位） = 18 元 / 单位） （ 6
例 4 已知某产品的边际成本为 C ′( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 单位） （元/单位）求： （1）生产前 6 个单位产品的可变成本； 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C (0) = 6元，求前 6 个产品的平均 成本； 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本. 成本. 15 C10,15 = ∫10−1 (2 x 2 − 3 x + 2)dx 解 （3） ）
也可由 N − L 公式
∫
x
0
F ′( t )dt = F ( x ) − F (0),
x 0
求得原经济函数 F ( x ) = F ′( t )dt + F (0) ∫ 由 N − L 公式, 可求出原经济函数从 a 到 b 的变 公式, 动值 (或增量 或增量)
∆F = F (b ) − F (a )= ∫ F ′( x )dx
作为导数(微分 的逆运算 若对已知的边际函数 作为导数 微分)的逆运算, 若对已知的边际函数 微分 的逆运算, 求不定积分, 则可求得原经济函数 F ′( x ) 求不定积分, 则可求得原经济函数
F ( x ) = ∫ F ′( x )dx
其中, 可由经济函数的具体条件确定. 其中, 积分常数 C 可由经济函数的具体条件确定.
Q( P ) = ∫ Q' ( P )dP 为积分常数). ＝ ∫ −4dP = −4 P + C (C 为积分常数).
代入 Q ( P ) P =0 = 80
C = 80, 于是需求量与价
格的函数关系是 Q ( P ) = −4 P + 80 本例也可由变上限的定积分公式直接求得
P Q( P ) = ∫ 0 Q' ( t )dt + Q (0) P = ∫ 0 ( −4)dP + 80 = −4 P + 80.
)
收益现值 ≈ [ p( t )dt ]e 总 现 值 =
= p( t )e dt
− rt
∫
T 0
p ( t ) e − rt d t .
对于将来值 , p (t )dt 在 T − t 年后获得利息 , 从而在 [t , t + dt ]内
收益流的将来值 ≈ [ p( t )dt ]e 故，总的将来值 =
C′( x)dx
例3 某工厂生产某商品在时刻 t 的总产量的变 单位⁄小时 小时） 化率为 x' (t ) = 100 + 12t （单位 小时）. 这两小时的总产量. 求 t = 2 到 t = 4 这两小时的总产量
解 Q = ∫2 x ′( t )dt
=∫
4
( 100＋ 12 t ) d t 2
第八节 定积分的经济应用
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值
由第三章边际分析知, 由第三章边际分析知, 对一已知经济 F ( x ) (如需 如 求函数 Q(P ) 、总成本函数 C ( x ) 、 总收入函数
R( x ) 和利润函数 L( x ) 等), 它的边际函数就是它 , 的导函数 F ′( x ).
思考题
设有一项计划现在( 设有一项计划现在(即 t = 0 )需一项投入 a (元)，可 获得一项在 [0, T ] 中的常数收益流量 b (元)，若连续 复利的利率为 r ，求收益的资本价值． 求收益的资本价值．
思考题解答
b(1 − e ) v = ∫ be dt − a = −a 0 r b 即收入的资本价值为 (1 − e − rT ) − a。 r
T − rt − rT
当收益流量是无限期时 ，即T → ∞时，
b b − rT v = lim (1 − e ) − a = − A T →∞ r r
练 习 题
一、已知边际成本为 C ′( x ) = 30 + 4 x , 边际收益为 R ′( x ) = 60 − 2 x , 求最大利润（设成本为 0）。 求最大利润（ 二、某地区居民购买冰 箱的消费支出 W ( x )的变化 1 的函数， 率是居民总收入 x的函数， W ′( x ) = ， 200 x 当居民收入由４ 加到９亿元时， 当居民收入由４亿元增 加到９亿元时，购买 冰箱的消费支出增加多 少？
= [100 + 6t ] = 272.
2 4 2
例 4 已知某产品的边际成本为 C ′( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 单位） （元/单位）求： （1）生产前 6 个单位产品的可变成本； 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C (0) = 6元，求前 6 个产品的平均 成本； 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本. 成本. 个单位产品， ）生产前6个单位产品 即从生产第1个 解 （1）生产前 个单位产品，即从生产第 个 到第6个单位的可变成本为 到第 个单位的可变成本为
C1,6 = (2 x − 3 x + 2)dx = 2 x3 − 3 x2 + 2 x = 102 3 0 2 0
∫
6
2
6
例 4 已知某产品的边际成本为 C ′( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 单位） （元/单位）求： 个单位产品的可变成本； （1）生产前 6 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C (0) = 6 元，求前 6 个产品的平均 成本； 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本. 成本.
练习题答案
一、75; 二、0.01.
2 3 3 2 = x − x + 2 x = 1560 ( 元 ) 2 3 9 C10,15 1560 C10,15 = = = 260 元） （ 6 6
15
单位时， 例 5 设某产品每天生产 x 单位时，边际成本为 C′( x) = 4 x （元/单位），其固定成本为 10 元，总收入 单位），其固定成本为 ）， R(x) 的变化率也是产量 x 的函数: R′( x) = 60 − 2 x 的函数: 求每天生产多少单位产品时， 最大？ 求每天生产多少单位产品时，总利润 L(x)最大？ x x C( x) = C0 + Cv = 10 + ∫ 4 xdx = 10+ 2 x 2 0 + 解 0
a
b
一、由边际函数求原函数
例1 已知边际成本为 C ′( x ) = 7 +
x
25 x
,
固定成本为1000,求总成本函数． 解 C ( x ) = C (0) + ∫ C ′( x )dx
0
= 1000 + ∫
x
0
25 (7 + )dx x
x = 1000 + [7 x + 50 x ]0
= 1000+ 7 x + 50 x
Hale Waihona Puke Baidu
解
∫
∫
20
0
100e
−0.1 t
dt
= 1000 (1 − e −2 )
≈ 864 .66；
将来值 =
20
= 1000e (1 − e )
2
0
100e
0.1( 20− t )
−2
dt
≈ 6389.06.
四、 小结 •由边际函数求原函数 由边际函数求原函数 •由变化率求总量 由变化率求总量 •收益流的现值和将来值 收益流的现值和将来值
若有一笔收益流的收益 流量为 p (t ) (元 / 年 ),
获得 , 从而在 [t , t + dt ]内
在 [t , t + dt ]内所获得的金额近似为 p (t )dt , 从 t = 0 开始 , p(t )dt 这一金额是在 t 年后的将来
− rt
分析 在区间 [0, T ] 内任取一小区间 [t , t + dt ],
r (T − t )
= p( t )e
r (T − t )
dt，
∫
T 0
p ( t ) e r (T − t )d t .
例6
0.1计息 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益 流量为100 100元 年的收益流在20 20年内的现 流量为100元/年的收益流在20年内的现 值和将来值. 值和将来值. 现值 =
例2
的函数， 已知对某种商品的需求量是价格 P 的函数，
该商品的最大需求量为80 且边际需求 Q' ( P ) = −4, 该商品的最大需求量为 (即 P＝0时， = 80), 求需求量与价格的函数关系. 即 求需求量与价格的函数关系. Q 解 由边际需求的不定积分公式， 由边际需求的不定积分公式， 可得需求量
= 2 x 2 + 10 x R(x) = ∫ (60 − 2 x)dx = 60x − x 2 x)
0
L( x ) = R( x ) − C ( x) = (60x − x 2 ) − (2 x 2 + 10)
由 L′( x) = 60 − 6 x = 0 得 x = 10 且 L′′( x ) = −6 < 0 所以每天生产10个单位产品可获得最大利润 个单位产品可获得最大利润， 所以每天生产 个单位产品可获得最大利润， （ 最大利润为 L(10) = 290 元）。
二、由变化率求总量
利用微分学的思想可以求总量的变化率（ 利用微分学的思想可以求总量的变化率（边 际变化）反过来，若已知总量的变化率（ . 际变化）反过来，若已知总量的变化率（边际变 ），也可以利用积分学的思想来求总量 也可以利用积分学的思想来求总量. 化），也可以利用积分学的思想来求总量 常用的几个求总量的积分公式： 常用的几个求总量的积分公式：
P = Be
收益流的将来值 息之后的存款值。
− rt
将收益流存入银行并加上利
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收 益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。
考虑从现在开始 (t = 0 )到 T 年后这一时间段的 将来值和现值 . (以连续复利率计息
= −3 x 2 + 60x − 10
三、收益流的现值和将来值
收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流。 收益流量 收益流对时间的变化率。
若以连续复利r计息，一笔P元人民币从现 在存入银行，t年后的价值（将来值）
B = Pe
rt
若t年后要得到B元人民币，则现在需要存入 银行多少金额（现值）
（1）已知某产品在时刻 t 的总产量的变化率为 f (t ) ，则 从时刻 t1 到时刻 t 2 的总产量为
Q = ∫ f (t )dt
t1
t2
的函数， （2）已知边际成本 C ′( x ) 是产品的产量 x 的函数，则生 产第 a 个单位产品到第 b 个单位产品的可变成本为
Ca ,b = ∫
b a−1
解（2） C(6) = ）
∫0
6
(2 x 2 − 3 x + 2)dx + 6
= 102+ 6 = 108
108 C (6) = 单位） = 18 元 / 单位） （ 6
例 4 已知某产品的边际成本为 C ′( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 单位） （元/单位）求： （1）生产前 6 个单位产品的可变成本； 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C (0) = 6元，求前 6 个产品的平均 成本； 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本. 成本. 15 C10,15 = ∫10−1 (2 x 2 − 3 x + 2)dx 解 （3） ）
也可由 N − L 公式
∫
x
0
F ′( t )dt = F ( x ) − F (0),
x 0
求得原经济函数 F ( x ) = F ′( t )dt + F (0) ∫ 由 N − L 公式, 可求出原经济函数从 a 到 b 的变 公式, 动值 (或增量 或增量)
∆F = F (b ) − F (a )= ∫ F ′( x )dx
作为导数(微分 的逆运算 若对已知的边际函数 作为导数 微分)的逆运算, 若对已知的边际函数 微分 的逆运算, 求不定积分, 则可求得原经济函数 F ′( x ) 求不定积分, 则可求得原经济函数
F ( x ) = ∫ F ′( x )dx
其中, 可由经济函数的具体条件确定. 其中, 积分常数 C 可由经济函数的具体条件确定.
Q( P ) = ∫ Q' ( P )dP 为积分常数). ＝ ∫ −4dP = −4 P + C (C 为积分常数).
代入 Q ( P ) P =0 = 80
C = 80, 于是需求量与价
格的函数关系是 Q ( P ) = −4 P + 80 本例也可由变上限的定积分公式直接求得
P Q( P ) = ∫ 0 Q' ( t )dt + Q (0) P = ∫ 0 ( −4)dP + 80 = −4 P + 80.
)
收益现值 ≈ [ p( t )dt ]e 总 现 值 =
= p( t )e dt
− rt
∫
T 0
p ( t ) e − rt d t .
对于将来值 , p (t )dt 在 T − t 年后获得利息 , 从而在 [t , t + dt ]内
收益流的将来值 ≈ [ p( t )dt ]e 故，总的将来值 =
C′( x)dx
例3 某工厂生产某商品在时刻 t 的总产量的变 单位⁄小时 小时） 化率为 x' (t ) = 100 + 12t （单位 小时）. 这两小时的总产量. 求 t = 2 到 t = 4 这两小时的总产量
解 Q = ∫2 x ′( t )dt
=∫
4
( 100＋ 12 t ) d t 2
第八节 定积分的经济应用
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值
由第三章边际分析知, 由第三章边际分析知, 对一已知经济 F ( x ) (如需 如 求函数 Q(P ) 、总成本函数 C ( x ) 、 总收入函数
R( x ) 和利润函数 L( x ) 等), 它的边际函数就是它 , 的导函数 F ′( x ).
思考题
设有一项计划现在( 设有一项计划现在(即 t = 0 )需一项投入 a (元)，可 获得一项在 [0, T ] 中的常数收益流量 b (元)，若连续 复利的利率为 r ，求收益的资本价值． 求收益的资本价值．
思考题解答
b(1 − e ) v = ∫ be dt − a = −a 0 r b 即收入的资本价值为 (1 − e − rT ) − a。 r
T − rt − rT
当收益流量是无限期时 ，即T → ∞时，
b b − rT v = lim (1 − e ) − a = − A T →∞ r r
练 习 题
一、已知边际成本为 C ′( x ) = 30 + 4 x , 边际收益为 R ′( x ) = 60 − 2 x , 求最大利润（设成本为 0）。 求最大利润（ 二、某地区居民购买冰 箱的消费支出 W ( x )的变化 1 的函数， 率是居民总收入 x的函数， W ′( x ) = ， 200 x 当居民收入由４ 加到９亿元时， 当居民收入由４亿元增 加到９亿元时，购买 冰箱的消费支出增加多 少？