运放噪声计算的推导

近期整理了关于运放噪声的一些理论与计算方法，如下：

1、热噪声电压计算公式

由于运动幅度会随着温度的上升而上升，热噪声的幅度也会跟随温度上升，热噪声均方根RMS（root meam square），可以表示如下：

（1）

其中：e

表示RMS噪声电压，k是玻尔兹曼常数(1.38x10-23 J/K)，T表示开尔n

文为单位的温度值，R是以欧姆为单位的电阻，Δf是以Hz为单位的噪声带宽

噪声的一个重要特点是它的频谱密度，电压噪声频谱密度是每平方根赫

兹测量到的RMS电压噪声，通常表示为，因此可以由公式（1）得到：

（2）

由公式（2）可以知道，纯电阻的热噪声密度是平坦的，因为其在所有的频谱上都有一样的功率。

2、概率密度函数：

大部分的本征噪声满足高斯分布且可以用统计学的方法来分析，描述正态

分布的数学公式叫做概率密度函数。

其中f（x）是指在任意时间间隔内被测量的概率，μ代表平均值，δ代表标

准差。当μ=0，δ=1时候，称为标准正态分布。

3、概率分布函数：

概率分布函数是概率密度函数的积分。

图1 标准正态分布表

举个例子：假设在标准正态分布下，我们想得到（-1~1）的概率P，解法：

(1)从图1中可以得到：Φ(1)=0.8413，由对称性可以知道：Φ(-1)=1-Φ(1)=0.1587；

(2)概率P=Φ(1)-Φ(-1)=0.6826=68.26%。

概率分布函数有助于我们将均方根噪声RMS NOISE 转化为峰峰值噪声或者电流噪声。用这种方法可以得到：

P(-3δ~3δ)=99.7%，表示噪声电压幅度在-3δ~3δ的概率为99.7%（几乎为100%），因此6δ（即：6倍标准差）被经常用来评估噪声的峰峰值Vpp。因此我们知道了通过标准差δ来计算噪声峰峰值的方法。

4、标准差与RMS的联系

直接由标准差的定义可知：

其中，μ代表总体X的平均值。

RMS均方根的定义如下：

因此，可知当μ=0时候，标准差和RMS是相等的，即为当噪声中没有了直流分量DC成分下（DC成分就是平均值μ），δ=RMS。

因此在进行噪声计算时，最好选择标准差而不是RMS，选择标准差可以消除DC 成分的影响。

参考资料：

1.《运算放大器电路中固有噪声的分析与测量》

2. Anolog Devices 文档 MT-047指南运算放大器噪声