3PRR柔性并联机构动力学分析

２ ０ ０
农 业 机 械 学 报 ２０１０年
１ ３ Ｐ Ｒ Ｒ 柔性并联机构
如图 １所 示， ３ Ｐ Ｒ Ｒ柔 性 并 联 机 构 包 括 动 平 台、 基座和 ３个 沿 圆 周 均 匀 分 布 的 运 动 支 链。 每 个 支链上的移动铰链与基座固连且由压电陶瓷驱动器 驱动， 驱动点设计为左右对称的平行板簧形式， 以保 证驱动器 伸 长 （ 压缩） 过 程 中 的 定 位。 在 多 种 截 面 形式的柔性铰链中， 圆形凹槽柔性铰链的变形精度
Ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ３ Ｐ Ｒ ＲＣ ｏ ｍｐ ｌ ｉ ａ ｎ ｔ Ｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍ
Ｊ ｉ ａＸ ｉ ａ ｏ ｈ ｕ ｉ Ｔ ｉ ａ ｎＹ ａ ｎ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｚ ｈ ａ ｎ ｇＤ ａ ｗ ｅ ｉ
［ １～２ ］
。 ， 关于机构惯 性 参 数 及 柔 性 环 节 刚 度 对 动 力
目 前， 柔性并联机构的理论和实验研究还很不 成熟
［ ３ ］
学特性影响的研 究 更 为 少 见。 另 外， 在利用伪刚体
收稿日期：２ ０ ０ ９ ０ ９ １ ５ 修回日期：２ ０ ０ ９ １ ０ １ ２
５ ０ ７ ０ ５ ０ ６ ４ ） 和天津市自然科学基金资助项目（ ０ ８ Ｊ Ｃ Ｙ Ｂ Ｊ Ｃ ０ １ ４ ０ ０ ） 国家自然科学基金资助项目（ 作者简介：贾晓辉， 博士生， 主要从事微纳米操作机器人技术及机械动力学研究， Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ：ｊ ｉ ａ ＿ ｄ ｒ ａ ｇ ｏ ｎ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ 通讯作者：田延岭， 副教授， 主要从事微纳米技术、 精密测试系统研究， Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ：ｍ ｅ ｙ ｔ ｉ ａ ｎ ＠ｔ ｊ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
— — —动平台 ｘ Ｏ ｙ 面内转角变化量 Δ γ
图１ ３ Ｐ Ｒ Ｒ柔性并联机构及其坐标系示意图 Ｆ ｉ ｇ ． １ Ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｔ ｅ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅａ ｎ ｄｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｏ ｆ ３ Ｐ Ｒ Ｒ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｉ ａ ｎ ｔ ｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌ ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍ
２ Ｉ ｒ ４ ｐ＝ ｍ ｐ ｂ／
（ ２ ）
式中 ｍｐ— — —动平台质量 ｖ 、 ｖ — — —动平台沿 ｘ 、 ｙ 方向的平动速度 ｘ ｙ — — —动平台在 ｘ Ｏ ｙ 面内的角速度 ω Ｉ — — —动平台转动惯量 ｐ 从动杆动能为
３
此种形式。 为了 保 证 工 作 过 程 中 的 运 动 精 度， 该柔性机构 采用线切割技术整体加工工艺， 不需要装配、 调整等 手段， 从而可以有效提高加工制造精度和定位精度。 另外整体加工方式 以 及 对 称 的 结 构 形 式， 可以有效 消除工作过程中热变形的影响。 ｘ ｙ ， ｘ轴 平 行 于 在基座 中 心 Ｏ 建 立 基 坐 标 系 Ｏ 动平 台 边 Ｃ ′ ｘ ′ ｙ ′ 位于 １Ｃ ３的 初 始 位 置。 动 坐 标 系 Ｏ 动平 台 中 心 Ｏ ′ ， 机构的基座和动平台半径分别为 ｒ 、 ｒ ， 主动臂 Ａ Ｂ 长度为 ｑ ， 从动杆 Ｂ Ｃ 长度为 ｌ ， ａ ｂ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｅ 为主动臂单 位 方 向 矢 量， ｗ 为从动臂单位方向矢 ｉ ｉ 量， 位置角为 θ 。点 Ａ 在基坐标系 Ｏ ｘ ｙ中 的 位 置 角 ｉ ｉ ， 且有 α ２ （ ｉ － １ ） ３ 。点 Ｃ 在动 坐标 系 为α α ／ ｉ ｉ＝ １＋ ｉ Ｏ ′ ｘ ′ ｙ ′ 中的位置 角为 β ， 且有 β ２ （ ｉ － １ ） ３ ， β ／ ｉ ｉ＝ １＋ Ｏ ｙ 面内的转角为 γ ， 其中 ｉ ＝ １ ， ２ ， ３ 。 动平台在 ｘ
２ 从动杆柔性分析
基于 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 梁 假 设， 采 用 假 设 模 态 法， 第ｉ 个从 动 杆 中 线 上 任 意 一 点 的 柔 性 变 形 可 表 示
４ ］ ， 因此各支链 从 动 杆 两 端 的 柔 性 铰 链 均 采 用 最高 ［
由于动平台具有沿 ｘ 、 ｙ 方向的 ２个 平 动 自由 度 以及 １个在 ｘ Ｏ ｙ 面内 的 转 动 自 由 度， 因此其具有的 动能表示为 １ ２ １ ２ １ ２ Ｋ ｍ ｖ＋ ｍ ｖ＋ Ｉ ω ｐ＝ ２ ｐｘ ２ ｐｙ ２ｐ 其中
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ，Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎＵ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ３ ０ ０ ０ ７ ２ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Байду номын сангаас
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ａ ３ Ｐ Ｒ Ｒ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｉ ａ ｎ ｔｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍ ｕ ｔ ｉ ｌ ｉ ｚ ｉ ｎ ｇ ｆ ｌ ｅ ｘ ｕ ｒ ｅ ｊ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓｗ ａ ｓｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ３ Ｄ ｎ ａ ｎ ｏ ｍ ａ ｎ ｉ ｐ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｂ ａ ｓ ｅ ｄｏ ｎｔ ｈ ｅａ ｓ ｓ ｕ ｍ ｅ ｄｍ ｏ ｄ ｅｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ，ｔ ｈ ｅｐ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅｌ ｉ ｎ ｋｗ ａ ｓ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｅ ｄａ ｓ Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ ｂ ｅ ａ ｍ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈｐ ｉ ｎ ｎ ｅ ｄ ｐ ｉ ｎ ｎ ｅ ｄｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓｔ ｏｓ ｈ ｏ ｗｔ ｈ ｅｒ ｅ ａ ｓ ｏ ｎｏ ｆ ｔ ｈ ｅｒ ｉ ｇ ｉ ｄｅ ｑ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ．Ｉ ｎｏ ｒ ｄ ｅ ｒｔ ｏ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅｔ ｈ ｅｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓｏ ｆｔ ｈ ｅｉ ｎ ｅ ｒ ｔ ｉ ａｐ ａ ｒ ａ ｍ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓｏ ｆｍ ｏ ｂ ｉ ｌ ｅｐ ｌ ａ ｔ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｎ ｄｐ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅｌ ｉ ｎ ｋ ，ａ ｎ ｄｔ ｈ ｅｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓｏ ｆ ｆ ｌ ｅ ｘ ｕ ｒ ｅｐ ａ ｒ ｔ ｓ ｏ ｎｔ ｈ ｅｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙｏ ｆ ３ Ｐ Ｒ Ｒｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｉ ａ ｎ ｔ ｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌ ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍ ，ｔ ｈ ｅｍ ｏ ｄ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄｄ ｙ ｎ ａ ｍ ｉ ｃ ｓ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ３ Ｐ Ｒ Ｒｆ ｌ ｅ ｘ ｕ ｒ ｅ ｂ ａ ｓ ｅ ｄｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌ ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍｗ ａ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄｂ ｙｔ ｈ ｅＬ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅｃ ａ ｒ ｒ ｉ ｅ ｄｏ ｕ ｔ ｔ ｏｖ ａ ｌ ｉ ｄ ａ ｔ ｅｔ ｈ ｅｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ． Ｋｅ ｙｗ ｏ ｒ ｄ ｓ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｉ ａ ｎ ｔｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍ ，Ｆ ｒ ｅ ｅｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，Ｄ ｙ ｎ ａ ｍ ｉ ｃ ｓａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ，Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 模型理论对柔性体 进 行 分 析 时， 常常直接将部分中 间连杆视为刚性体 处 理， 而相应的等效依据却少有 研究。拉格朗日方程法从系统的动势能角度建立机 构动力学方程， 不需要复杂的运动学加速度、 角加速 度分析， 推导过程简便， 且能得到形式简洁的动力学 方程， 便于进一步动力学分析及研究。 本文 基 于 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 梁 理 论， 采用假设模 态法， 分析各支链上连杆的柔性， 并基于拉格朗日方 程建立修 正 后 的 机 构 振 动 微 分 方 程。 通 过 仿 真 算 例， 说明动平台和从 动 杆 的 惯 量 参 数 （ 质 量、 转动惯 量） 及柔性构件刚度在此柔性并联机构中的作用。
１ ． 单自由度柔性铰链 ２ ． 从动杆 ３ ． 压电陶瓷驱动器 ４ ． 板簧
柔性杆变形势能为
ｒ
Ｖ ｌ＝ ∑
ｉ ＝１
ｌ １ Ｅ Ｉ ２ ０
( ∫
２ （ ｓ ） Ｗｉ ２ ｓ
)
２
ｄ ｓ
（ ５ ）
式中 Ｅ — — —从动杆弹性模量 Ｉ — — —从动杆惯性矩 将式（ １ ）～（ ５ ） 代入拉格朗日方程， 得 ｄ （ Ｋ－Ｖ ） （ Ｋ－Ｖ ） － ＝Ｑ ｉ · ｄ ｔ η ｉ ｊ η ｉ ｊ
Ｋ ｌ＝ ∑
·
ｉ ＝ １
１ ２
·
［ ｑ ＋（ ｓ ρ θ ＋Ｗ ） ＋ ∫
ｉ ·２ ｉ ２ ｉ ｉ ０ ·
ｌ
·
·
２ｑ （ ｓ Ｗｉ ） ｓ ｉ ｎ （ ） ］ ｄ ｓ θ α θ ｉ ｉ＋ ｉ－ ｉ — — —第 ｉ 个从动杆的线密度 式中 ρ ｉ
（ ３ ）
机械系统中的势能主要包括： 重力势能、 机构中 柔性环节发生 柔 性 变 形 而 产 生 的 应 变 能。 ３ Ｐ Ｒ Ｒ 柔性并联机构中， 动平台及其他各部分构件均未发 生沿垂直 ｘ Ｏ ｙ 面方向的位置变化， 因此在此系统中， 势能主要是指各柔性环节中储存的应变能。 在构建机构伪刚体模型时将柔性铰链等效为理 想化的线性扭簧， 驱动处的平行板簧等效为线性弹 簧， 因此可将 Ｂ 和Ｃ 处柔性 铰 链势 能 以 及驱 动 处 柔 ｉ ｉ 性环节势能表示为
【 摘要】 提出一种可应用于微 ／ 纳操作 领 域 的 ３ Ｐ Ｒ Ｒ 柔 性 并 联 机 构， 基于 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 梁 理 论， 采用假设 模态法， 分析支链上从动杆的柔性， 结合实例说明了 将 从 动 杆 视 为 刚 性 杆 处 理 的 依 据。 为 进 一 步 分 析 各 构 件 惯 量 参数和柔性构件刚度对系统固有频率的影响， 采用拉 格 朗 日 方 程 建 立 了 修 正 的 机 构 动 力 学 振 动 微 分 方 程， 并结合 实例进行分析， 利用仿真计算验证了所建模型的有效性。 关键词：柔性并联机构 自由振动 动力学分析 拉格朗日方程 中图分类号：Ｔ Ｈ １ １ ３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ０ ０ ０ １ ２ ９ ８ （ ２ ０ １ ０ ） １ ０ ０ １ ９ ９ ０ ５
引言 压电陶瓷驱动的柔性并联机构克服了传统并联 机构固有的缺点， 如 反 向 间 隙、 迟 滞、 铰链加工误差 等， 具有承载能力高、 无反向间隙、 无非线性摩擦、 分 辨率高、 运动灵活、 动 态 特 性 良 好 等 特 点， 因此被广 泛应 用 于 超 精 密 加 工 和 微 ／ 纳米操作等研究领 域
２０１０年 １ ０月 Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ １ ２ ９ ８ ． ２ ０ １ ０ ． １ ０ ． ０ ４ １
农 业 机 械 学 报
第 ４ １卷 第 １ ０期
３ Ｐ Ｒ Ｒ柔性并联机构动力学分析
贾晓辉 田延岭 张大卫
（ 天津大学机械工程学院，天津 ３ ０ ０ ０ ７ ２ ）
３
Ｖ ｋ ＝∑
３
ｉ ＝１
１ ０ ２ ｋ （ ）＋ θ θ ｉ－ ｉ ２
３
∑
ｉ ＝１
１ １ ２ ２ ｋ （ ） ＋∑ ｋ ｑ Δ γ＋Δ θ Δ ｉ １ ｉ ２ ｉ ＝ １ ２
（ ４ ）
式中 ｋ — — —从动杆上柔性铰链转动刚度 ｋ — — —驱动处柔性环节等效刚度 １
０ — — —位置角初始值 θ ｉ