最新对数公式及对数函数的总结

对数运算和对数函数
对数的定义
①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数。

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x
a x N a N a a N =⇔=>≠>。

常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质
类型一、对数公式的应用 1计算下列对数
=-3log 6log 22 =⋅3
1log 12
log 2
22
2
=+2lg 5lg =61000lg
=+64log 128log 22 =⨯)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384
=++3log 23log 2242 =⋅16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333
=++c b a 842log log log =+++200
199lg 43lg 32lg
Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222
2 对数的值：
18lg 7lg 37lg
214lg -+- =-+-1)21
(2lg 225lg
1
3
341log 2log 8⎛⎫
-⨯ ⎪⎝⎭
提示：对数公式的运算
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a
M
M N N
-= （3）数乘：log log ()n
a a n M M n R =∈ （4）log a
N a N = （5）log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=≠∈
（6）换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且 （7）1log log =⋅a b b a （8）a b b a log 1log =
类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是
2设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为
3
函数()lg(1)
f x x =+的定义域为（ ）
类型三、对数函数中的单调性问题
1函数2
()lg(43)f x x x =-+的单调递增区间为
2函数)23(log 2
5.0+-=x x y 的递增区间是
3若函数2
2log ()y x ax a =---
在区间(,1-∞上是增函数，a 的取值范围。

4不等式1)12(log 3≤-x 的解集为
5设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅，且x 满足241740x x -+≤，求()f x 的最大值。

类型四、对数函数中的大小比较
1已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

2已知4log ,3log ,2log 543===c b a ，比较c b a ,,的大小关系 3
设32log ,log log a b c π===c b a ,,的大小关系
4若0>>b a ，10<<c ，则 （A ）c c b a log log <（B ）b b c c log log <（C ）c c b a <（D ）b
a c c > 5若1>a ，且y a x a
a y a x
log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ）
类型五、对数函数求值问题
1已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(2
2b f a f
2解方程08log 9log log )(log 3222
2=⋅--x x
3已知1>>b a ,若2
5log log =+a b b a ，a
b b a =，则a ，b 。

4已知函数2log log )(32+-=x b x a x f ，若4)2014
1
(=f ，则)2014(f 的值为____
类型六、对数函数中的分段函数问题
1设函数()(
)12
32 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，
，，则()()2f f 的值为（ ） 2已知21()0()2log 0x
x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，，
，，
≤则21(8)(log )4f f +=___ ________.
3已知函数()f x 满足：当4≥x ，则()f x ＝1()2
x
；当4<x 时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝
提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题 类型七、对数函数中含参数问题 1若11
12
log <-a a
，则a 的取值范围是 ． 2 若关于x 的方程4)lg()lg(2
=⋅ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围。

3函数)00(log )(≠>=a a x x f a 且，当),2[+∞∈x 时，1|)(|≥x f ，则a 的取值范围是（ ） 4设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1
2
，则a =
类型八、对数函数中的图像问题
1当1a >时，函数x x f a log )(=和x a x f )1()(-=的图象只可能是( )
x x
x
x f 2log )(=
的函
数
2
大致图象是( )
3图2-2-2中的曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 取10
1
,53,34,3四个值。

则相应4321,,,c c c c 的a 值依次
为（
5
3
,101,3,34 ）
类型九、对数函数中的奇偶性问题
1若函数)2(log )(2
2a x x x f a
++=是奇函数，则=a 。

2若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a 3若函数()(
)
ax e
x f x
++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.
4 若函数m x x f a +=log )(是偶函数，且在]4,2[上最大值为2，则m a +的值 提示：偶函数必有)()(x f x f =-，然后求参数。

类型十、对数函数中的绝对值问题
1 已知函数x x f ln )(=，若)()(b f a f =，求b a +的取值范围),2(+∞
2已知函数)1lg()(+=x x f ，若b a ≠且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是 3已知函数x x f lg )(=,若b a <<0,且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是 类型十一、对数函数中的综合问题
1若函数)1(log )(++=x a x f a x
在]1,0[上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )
2
若42log (34)log a b +=a b +的最小值为（ ） 3设点P 在曲线x
e y 2
1=
上，点 Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 的最小值为（ ） 4已知两个函数x x f a log )(=，x
a x g =)(，(1)若)()()(x g x f x h +=，在]4,1[的最大值为18，求a 值；对任
意的]4,1[∈x 时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围。

习题
类型一、关于对数公式的应用 1求下列各式中的x 的值：
(1)313x =
；(2)64
14x =；(3)92x =； (4)1255x 2=；(5)171x 2=-；（6）)4(lg )100(log )9(log 32⋅⋅
2化简下列各式：
(1)51lg 5lg 32lg 4-+；(2)
5
36lg 27lg 321240
lg 9lg 21
1+--+
；(3)3lg 70lg 7
3lg -+；(4)120lg 5lg 2lg 2-+
(5)4log 3log 54)5
1()41(+ (6)2
log 2log 4log 7101.03
17103-+(7)6
lg
3log 2log 100492575-+ (8)3
1
log 27
log
12log 25
9
4
5
32+-
(9))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (10)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+- （11）
3
log 9
log 28 3设25a
b
m ==，且
11
2a b
+=，则m = 4计算 31
10
2
log 8)8
3
3()32()23(3
64log 3--+-++-的值
5计算：(
)
)
31
log 23
0.02717lg 6lg 0.02-
-
+-的值
6计算：(
)2
20
2
3
1lg 2lg5lg 200.0273-⎛⎫
++
+⨯ ⎪⎝⎭
g 的值
7 计算：]1)2(log )41
)[(log 5lg 2(lg 14
12
1
-++-＝ 8计算：3
log 1
5log 15log 5log 52
3
33--的值是(0 ) 9计算： 2
log 3
log 3log 2log )3log 2(log 32232
23--
+的值是( )
10已知z y x ,,为正数，且1243==y
x
，求使
y
x 1
1+的值。

11已知lg a ，lg b 是方程22410x x -+=的两个根，则2
(lg )a b
的值是（ ） 12已知48a =，296m n
==，且
112+=b m n
，则1.2a 与0.8b 的大小关系_______ 13设方程02102
=+-x x 的两个根分别为βα,，求2
2
24)(log βαβαβα-+-的值
14已知)2lg(2lg lg y x y x -=+，求y
x
2
log
的值。

15实数)(,,c b c b a <，且)1lg()1lg()1lg(2-++=-c a b ，15,2=+++=c b a c a b ，求c b a ,,的值。

16已知n m ,为正整数，0>a 且1≠a ，且n m n m m m a a a a a log log )1
11(log )11(log log +=-++++++Λ， 求n m ,的值。

类型二、对数函数的应用
1函数)1(log )(2
1-=x x f 的定义域是____． 2函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 .
3函数)
34(log 1
)(5.0-=
x x f 的定义域是()
4函数)
23(log 25)(2--=x x x f a 的定义域是（） 5函数)86(log )(2
)12(+-=-x x x f x 的定义域是
6函数)(x f 的定义域是]2,1[-，则函数)(log 2x f 的定义域是_______．
7若函数)1,0( )(log )(3
≠>-=a a ax x x f a
在区间)0,2
1
(-内单调递增，则a 的取值范围是
8函数]1)1[(log )(+-=x a x f a 在定义域上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 9已知10,10<<<<b a ，如果1)
3(log <-x b a ，则x 的取值范围是________．
10设偶函数||log )(b x x f a +=在),0(+∞上单调递减，则)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系是（ ）
A. )1()2(+=-a f b f
B. )1()2(+>-a f b f
C. )1()2(+<-a f b f
D. 不能确定
11三个数3log ,1log ,33
130
的大小关系是（ 3log 1log 33
130>> ）
12设6log ,2
1
log ,2log 533===c b a ，则c b a ,,的大小关系( )
13若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +
<<+ （B ）()21log 2a b a b a b
<+<+
（C ）()21log 2
a b
a a
b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<
14已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15,5
,,5a b c ⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
则c b a ,,的大小关系 a c b >>
15若l n 2l n 3l n 5
,,235
a b c ===,则c b a ,,的大小关系 a b c >>
16已知5log ,4log ,3log 432===c b a ，比较c b a ,,的大小关系c b a >>
17若d x <<1，令)(log log log )(log 2
2x c x b x a d d d d ===，，，则c b a ,,的大小关系( c a b >> )
18已知函数⎩⎨⎧<--≥-=-1
),3(log 1
,12)(21x x x x f x ,若1)(=a f ,则=-)1(a f （ 2- ）
19已知函数)(x f ＝1()421x
x f x ⎧≥⎪⎨⎪⎩，，
（
＋），则)3log 2(2+f ＝____124____．
20已知函数x a x
x f -+=1log )(2
的图象关于原点对称，则实数a 的值为___1_____． 21已知函数x x a x
a x
x f --+-+=221log )(2的图象关于原点对称，则实数a 的值为_____1___．
22函数()f x 的图象关于y 轴对称，且对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，若当3
5 2
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2017f =（ 1
4
- ）
23
函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x
x =>的图象关于直线y x =对称，则
()f x =__x y 3=__________。

24若x 满足03log 14)(log 24221≤+-x x ,求()f x =2log 2
log 2
2
x x 最大值和最小值。

2 4
3 25设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <，求a 的取值范围，)2
1,0( 26若函数)12lg(2
++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的取值范围为___]1,0[____。

27若函数)34(log )(2
2++=kx kx x f 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。

⎪⎭
⎫⎢⎣⎡43,0 28已知函数)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ )2,1( ）
29若不等式0log 2
≤-x x a 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,
0x 内恒成立，则a 的取值范围是（ )1,16
1
[
30当2
10≤
<x 时，x a x
log 4<，则a 的取值范围是（)1,22( ） 31判断下列函数的奇偶性：
（1）x
x
x f +-=11lg )( （2）)1ln()(2x x x f -+= （3）)1ln()(2x x x x f ++= 32函数1)3(log +-=x y a 的图象过定点__)1,2(______
33函数2)3(log 2
++-=-x a a
x y 的图象过定点___)3,2()0,1(-_____
34使1)(log 2+<-x x 成立x 的取值范围 147已知函数)1lg()(2x x x f -+= (1)求函数的定义域； (2)证明:)(x f 是减函数．。