极值理论_EVT_方法用于受险价值_VaR_计算的实证比较与分析
VaR模型比较技术及其评价——理论、实证回顾及其应用初探
作者： 刘子斐[1];史敬[2]
作者机构： [1]西安交通大学管理学院,陕西西安市710049;[2]深圳平安银行总行,广东深圳市518031
出版物刊名： 金融研究
页码： 130-137页
主题词： VaR模型;指标评价工具;假设检验工具;比较评价工具
摘要：随着VaR模型的不断创新，各类VaR模型的比较技术也由采用单一的回顾测试转变为设计一套较完整的比较评价体系来进行比较研究。
近十年来，通过将指标评价工具、假设检验工具和比较评价工具三类VaR模型的比较工具进行不同的组合，学术界涌现出了大量相关的理论和实证文献。
本文尝试对其进行较全面的回顾，并结合中国实际进行初步探索。
VaR计算技巧的综合比较
VaR计算方法的综合比较-社会科学论文VaR计算方法的综合比较王玲摘要：精确的金融风险度量在金融研究中具有重要作用。
如何更好的量化金融风险是风险度量的关键。
从摩根公司提出的风险矩阵方法开始，各个方法应运而生，各方法均有其优缺点。
笔者尝试系统介绍各方法的优势和缺点，力求为金融从业者或风险管理者提供指导，以促使其在金融风险度量方面能够根据实际情况选择最佳方法。
关键词：VaR。
参数方法。
非参数方法。
半参数方法金融市场繁荣发展的同时，其风险的测量也成为各金融管理者、金融从业者所关注的问题。
度量风险需要计量风险的工具，因此VaR 应运而生。
资产组合的VaR度量了投资者在一定时间内一定置信水平下所愿意接受的最大损失。
尽管VaR定义简单，但是它的计算并不容易。
起初计算VaR 的方法主要有三种：⑴方差-协方差方法，也称为参数方法；⑵历史模拟法（非参数方法）；⑶蒙特卡罗模拟法，是一种非参数方法。
这些标准方法都有自身的缺点，因此导致了新方法的产生和演变。
参数方法具有明显的缺陷，首先它假定新息或收益率为正态分布，然而经验结果表明其分布是尖峰厚尾型的；其次是估计条件变动性的模型；最后是收益率的独立同分布假设，大量事实表明金融收益率不是独立同分布的。
鉴于上述缺陷，参数方法向着不同的方向发展。
首先是尝试建立更复杂的波动性模型来描述观察到的金融收益率的变动性；其次尝试探索其他描述偏度和峰度的密度函数；最后是考虑高阶矩的条件变动性。
本文将从理论和实践两方面综合描述各方法的优缺点和相应的适用条件。
目的在于为金融风险研究人员提供所有的模型的信息，并使其对VaR发展的最新趋势有较直观和清晰的了解。
一、VaR 方法1.VaR 的定义与计算方法VaR（value at risk），即风险价值，简言之是市场正常情况下的最大可能损失。
Jorion的解释是：给定置信水平下的一个持有期内预期最坏损失，公式为：Prob（Δp VaR）=1-α ，其中Δp 是资产在持有期T内的价值损失，置信水平α 体现了对风险的承受能力，1-α 则是对风险的厌恶程度，主要根据投资者对风险的偏好进行划分：谨慎型和冒险型。
基于下界VaR和极值理论的风险管理模型及其实证分析的开题报告
基于下界VaR和极值理论的风险管理模型及其实证分析的开题报告一、研究背景和意义风险管理在金融领域中至关重要，因为市场的不确定性和波动性导致投资者可能面临财务损失。
因此，风险管理模型的开发和应用已成为实现金融稳定和风险规避的重要途径。
在过去的几十年中，有许多关于风险管理的研究，VaR和极值理论都是其中的两个热门话题。
VaR是一种广泛使用的风险度量方法，它可以帮助识别一个投资组合或一项交易的可能最大亏损。
极值理论是一种统计方法，用于估计小概率事件的发生概率。
VaR和极值理论可以结合使用，以提高对市场波动性和风险事件的估计和管理。
因此，基于下界VaR和极值理论的风险管理模型受到了广泛关注。
本文旨在构建基于下界VaR和极值理论的风险管理模型，并通过实证分析验证模型的有效性和应用性。
研究结果将有助于改善风险管理实践，并为金融机构提供更好的决策依据。
二、研究内容和方法本文将基于下界VaR和极值理论构建风险管理模型，包括以下几个方面：1.理论分析：对下界VaR和极值理论有关的理论进行分析和概述，探究它们在风险管理中的重要性和应用价值。
2.模型构建：结合下界VaR和极值理论，构建风险管理模型，并详细介绍模型的具体实现方式。
此外，本文还将探讨如何优化模型的参数设置以提高其准确性和预测能力。
3.实证研究：本研究将以历史数据和现实案例为基础，对构建的风险管理模型进行实证分析，并与其他常见的风险管理模型进行比较。
通过分析实验结果，确定最佳的风险管理策略。
三、预期成果和意义本文旨在构建基于下界VaR和极值理论的风险管理模型，并通过实证分析验证其有效性和应用性。
预期研究成果包括以下方面：1.构建一种新的风险管理模型，具有更好的风险度量和投资组合管理能力。
2.通过实证分析验证模型的有效性和应用性，并与其他常见的风险管理模型进行比较。
3.为实践中的金融机构提供更好的风险管理策略，并优化现有的风险管理模型。
本研究的意义在于对风险管理领域的研究做出贡献，为投资者和金融机构提供更好的风险管理方法和策略。
基于极值理论的证券市场VaR实证研究
（ ． 岛市 安 全 生 产监 督 管 理 局 ， 东 青 岛 ２ ６ ７ ； ． 国海 洋 大学 经 济 学 院 ， 东 青 岛 ２ ６ ７ ） １青 山 ６０１ ２ 中 山 ６０１
［ 摘 要］ 在 风险 管理 的各种 方法 中， 险价 值 Ｖ Ｒ 方 法 最为 引人 瞩 目。Ｖ Ｒ 是指 在 正 常的 市场 环 风 ａ ａ
出 ， Ｒ 也 是 一 种 建 立 在 Ｄ ｗ ｓ ｅＲｉ ｏ ｎｉ — ｓ ｄ ｋ思 想 上 的
风险衡量 方法 ， 更侧 重 对影 响投 资绩 效 的消 极 收 它
益 边 （ ｇ ｔ ｅＲ ｔｒ ｉｅ 的 管 理 ， 此 与 方 差 、 Ｎｅ ａｉ ｅｕｎ Ｓｄ ） ｖ 因
、
风 险 价 值 （ ａ 解 说 Ｖ Ｒ）
贷危机 的影响 ， 券市场也遭 受 了较大 幅度 的调 整 ， 证 给金融 市场造成 了巨大 的 冲击 。因此 ， 须 高度 重 必 视金融 风险的研 究 ， 以便 于有 效实 施 金融 监 管与 加 强金融 风险控制 ， 从而维护 金融 安全 。
一
风险综合 管理 。更重 要 的是 ， 从概 念 的 内涵可 以看
工具 ， 司运用 Ｖ Ｒ 工具 ， 以对 投 资 行 为进 行绩 公 ａ 可 效 评估 ， 以及 进行 资本有 效配 置等 。Ｖ Ｒ 也 已经成 ａ 为金融业 管理金融 风 险 的通用 准 则 ， 是 目前 金融 它 机构和监 管当局最 流行 、 最 为有 效 的风 险局 限性 ， 如 ， 该 例 Ｖ Ｒ基 本模 型只能用来 度 量市场 风 险 ， ａ 而对信 用风
中共青 岛市委 党校 青 岛行政 学院 学报
ａＪ￣ＬＯ Ｈ ＡＴ ＣＯ ＬＯ Ｉ Ｄ ＯＭ Ｎ Ｉ ＬＣ Ｍ Ｉ Ｅ ３Ｒ ＦＴＥＰＲＹＳ Ｈ Ｏ Ｆ ＰＣＱＮ Ａ ＵＩＰ Ｏ ＭＴ Ｅ Ｃ Ｇ ＣＡ Ｔ
市场风险评估模型研究及应用
市场风险评估模型研究及应用随着经济全球化的推进和市场化程度的提高，各种金融产品在市场上层出不穷，投资者需要面对的风险也越来越复杂和多样化。
市场风险评估模型是金融市场中非常重要的一个工具，能够帮助投资者更好地了解产品的风险水平，提高投资决策的准确性和可靠性。
本文将对市场风险评估模型进行研究和应用，探讨其实现方式、应用场景和优缺点等内容。
一、市场风险评估模型的实现方式市场风险评估模型主要基于统计学的思想和方法，通过对历史数据的分析和融合，预测未来市场波动的风险水平。
常用的市场风险评估模型有风险价值（Valueat Risk，VaR）模型、条件风险价值（Conditional Value at Risk，CVaR）模型和极值理论（Extreme Value Theory，EVT）模型等。
风险价值模型是目前使用最为广泛的市场风险评估模型之一，其核心思想是以一定的置信水平作为标准，通过数学统计的方法预测未来某一风险资产（或投资组合）的最大可能损失。
具体实现时，需要选择适当的置信水平和时间区间，并采用历史模拟法、蒙特卡洛仿真法或正态分布法等方法进行计算，得到一个相对精确的风险值。
条件风险价值模型是近年来新兴的市场风险评估模型，弥补了风险价值模型无法解决非对称性风险的不足。
条件风险价值模型将风险价值模型的置信水平改为风险水平，在追求收益的同时避免了极端风险的暴露。
由于模型基于对分位数的数学计算，还可以通过概率分布函数和极值概率分布函数进行有效的计算和比较。
极值理论模型则主要应用于极端事件的风险评估，该模型认为市场波动呈现出一定的暴涨暴跌的趋势，从而针对极端事件进行风险预测和控制。
模型需要准确估计极端事件的概率分布函数和极值分布函数，寻找合适的参数进行计算。
二、市场风险评估模型的应用场景市场风险评估模型主要应用于金融市场中风险管理和风险监控领域，是一种重要的决策支持工具。
具体应用场景包括：1. 投资组合风险管理。
对尾部风险计量的方法
对尾部风险计量的方法尾部风险指的是低概率高风险事件的发生可能性。
这些事件通常具有灾难性，可能对经济、环境或人类生命造成极大伤害。
因此，在金融、保险、投资等领域，对尾部风险的计量方法非常重要。
本文将介绍几种常用的尾部风险计量方法。
1. 极值理论（EVT，Extreme Value Theory）极值理论是一种专门用于计量尾部风险的数理统计理论。
该理论认为，大部分随机事件具有平均性质，而极端事件则表现出独特的非平均特征。
如同正态分布可以用来描述大多数随机事件发生的可能性，极值分布可以被用来描述那些低概率高风险事件的可能性。
极值理论主要有两种类型：广义极值理论和极端值理论。
广义极值理论侧重于描述由各种因素影响而形成的极端值，如温度、降雨量等；而极端值理论则专注于描述在大量数据中，出现最大、最小值的概率分布。
在金融领域中，极值理论可用于计算股市指数的单日最大下跌，通过确定这个概率，投资者可以制定相应的风险管理策略。
极值理论也可以用于评估保险责任，在预测极端情况下保费的规模，以确保公司能够承担相应的赔偿责任。
2. 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）蒙特卡罗模拟是一种广泛应用于金融和保险领域的模拟方法，它通常用于模拟风险并预测未来结果。
这种方法是基于概率原理的，通过使用大量的随机数实现预测或计算。
蒙特卡罗模拟通常能够提供更加准确的数字，尤其对于较为复杂的金融和风险问题，其可靠性非常高。
但蒙特卡罗模拟需要消耗大量的计算资源，因此在实际应用中需要选择适当的数据，以及适当的算法，以提高计算效率。
3. 历史模拟（Historical Simulation）历史模拟是一种简单但有效的尾部风险计量方法。
该方法通过收集一段历史数据，并将其用于预测当前和未来事件的可能性。
根据收集的历史数据，可以计算出一组可能的结果并进行概率分析。
通过这种分析，企业可以更好地了解自身风险，并决定如何管理他们的投资组合。
VaR模型与寿险投资风险管理
VaR模型与寿险投资风险管理
李杰辉
【期刊名称】《福建金融管理干部学院学报》
【年(卷),期】2007(000)004
【摘要】本文基于VaR法对我国寿险投资的风险管理进行研究.先对寿险资金的投资组合可能面临的风险进行分析,然后通过对风险价值(即VaR)的介绍,提出采用VaR对寿险投资组合风险进行度量和管理,并给以实际例子加以说明.
【总页数】7页(P17-23)
【作者】李杰辉
【作者单位】福建金融职业技术学院,福建,福州,350007
【正文语种】中文
【中图分类】F840.32
【相关文献】
1.VaR模型及其在创业投资风险管理中的应用——基于创业板指数的实证研究 [J], 叶金;谷秀娟
2.VaR模型在证券投资风险管理中的应用 [J], 袁瑾
3.发达国家寿险公司的投资风险管理 [J], 人寿保险公司风险管理部
4.基子VaR模型的股票组合投资风险管理研究 [J], 曹勇;宁云才
5.寿险代理人激励效应实证分析——基于VAR模型和脉冲响应函数的研究 [J],
杨敏
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极值理论在VAR中的应用
极值理论在VAR 中的应用一、什么是VaR ？VaR 简言之是用来测量给定投资工具或组合在未来资产价格波动下可能或潜在的损失。
数学表达式为：Pr()p t VaR α∆∆≤=；其中p t ∆∆表示组合p 在t ∆持有期内在置信度（1α-）下的市场价值变化。
计算VaR ，关键问题是知道资产组合的损失分布，目前有关VaR 的计算基本上围绕估计与模拟资产组合的损失分布函数而展开，多数情况下，诸如利率、汇率、标的资产价格等（Market Risk Factor ）的分布，可以通过历史数据获得。
在实际讨论资产组合损失分布时，对风险因子的分析是第一步。
对一些比较复杂的资产组合为了确定各个风险因子对组合收益的影响，还需利用一些较为复杂的技术如风险映射（risk mapping ）等。
二、如何计算VaR ？目前常见三种方法：方差协方差法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法1. 方差协方差法：假设影响市场风险因子的收益分布服从多元正态分布。
但目前大量研究表明：实际的收益率数据分布并不是关于原点对称，且具有厚尾尖峰性特点，与假定明显不符。
2. 历史模拟法：对市场风险要素的统计分布不作任何假定，仅假定历史变化可以重复。
但缺点明显，不能动态跟踪，如果历史趋势逆转，预期最大损失会发生较大偏离。
（我行ELN 压力测试就是运用该方法。
）3. 蒙特卡罗模拟法：该方法由于能较好处理非线形问题，且估计精度较高，目前应用较广，但是结果具有一定的随机性。
三、极值理论如何在VaR 中应用？金融危机之后，金融领域最关心的就是极端风险。
从现有的计算VaR 方法中，可以看到对极端值分析中，由于假定的分布，使得仅仅很少的一些点进入尾部区域（即对收益数据处理后的残差绝大部分集中在正态分布的中心区），对分布尾部的推断非常不确定。
而极值统计作为一种研究极端现象的工具，在理论、实践上具有较大意义。
极值分析中主要有两类模型：一类是极值定理模型（EVT ），这类模型主要是对组内最大值建模，极值型定理保证了组内最大的极限分布符合广义极值分布（GEV ）。
极值理论与VaR计算
摘 要 ： 绍 了利 用 极 值 理 论 研 究随 机 变量 尾 部 性 质 的 方 法 。 将 其 应 用 于 金 融 产 品 在 险 价值 （ ａ 的 计 算 ． 介 并 Ｖ Ｒ） 实证 分析 表 明 ， 传 统 的 计 算 Ｖａ 的 方 法相 比 。 值 理 论 方 法 能 更 好 地 利 用 已 知 历 史 数 据 ， 能 在 计 算 高 置 信 度 Ｖａ 与 Ｒ 极 并 Ｒ
维普资讯
第 ２ 卷 第２ ８ 期
Ｖｏ． Ｏ １ ２ຫໍສະໝຸດ Ｎ ．２宁夏 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｉ ｇ ｉ ｉ ｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉ ｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｘ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ｏ ｙ ｉ
具 ， 对尾 部建模 一 种很好 的方 法． 是
类 似可得 最小 值 ＭＩ Ｎ ：一ｍｉ（ Ｘ２ … ， ） ｎ Ｘ ， ， Ｘ 的 分 布 函数 为
Ｐｒ（ Ｉ ＜ ｚ）一 Ｐｒ（ ｎ（ ｌ … ， Ｍ Ｎ ｍｉ Ｘ ， Ｘ ）＜ ）一
１ ［ 一Ｆｘ ｚ ］ ． 一 １ （ ） 区间最值 模 型 的理论 基础 为 如下定 理．
２０年６ ０７ 月
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ．０７
文 章 编 号 ： ２ ３２ ２ （ ０ ７ ０ — １ ４ ０ ０ ５ —３８ ２０ ）２０ ２—４
极 值 理 论 与 Ｖ Ｒ计 算 ａ
李 贺 ，叶 中行 ｈ
（． 海 交 通 大 学 数 学 系 ， 海 ２ ０ ４ ； ２ 上 海 交 通 大学 现 代 金 融研 究 中心 ， 海 ２ ０ ４ ） １上 上 ０ ２０ ． 上 ０ ２ ０
端风 险 ， 即极端 灾 害发生 时会 遭受很 大 损失 的情 况．
基于极值理论的两种风险价值(VaR)比较及实证分析的开题报告
基于极值理论的两种风险价值(VaR)比较及实证分析的开题报告一、研究背景和意义随着金融市场的不断发展，尽管市场风险管理的理论和技术已经越来越成熟，但是金融市场的变化和波动始终存在不确定性，市场风险管理显得越来越重要。
风险价值（Value at Risk，VaR）是现在市场风险管理领域中广为使用的一种风险量化方法，以一定的置信度表示在一定时期内可能出现的最大亏损。
目前使用的VaR方法，主要包括历史模拟法、方差协方差法和蒙特卡洛模拟法。
但是这些方法在使用时都存在着各自的缺陷。
针对这些缺陷，人们普遍认为基于极值理论的VaR方法具备更优的风险管理效果。
基于极值理论的VaR方法采用了极值分布来刻画极端事件的分布，可以更好地反映极端事件的影响，从而能够更精准地控制风险。
本文主要是探讨基于极值理论的两种VaR方法：Extreme Value VaR(EV-VaR)和Generalized Pareto VaR(GP-VaR)，并比较它们的风险价值量化能力。
通过构建金融市场数据的样本库，利用计算机模拟得到的结果，进行实证分析，探讨两种VaR方法的优劣，为金融风险管理提供更加精准的方法和技术。
二、研究内容和方法1.研究内容：本文将主要探讨以下问题：（1）极值理论和基于极值的VaR方法的理论基础和实现过程；（2）利用计算机模拟方法，构建金融市场数据的样本库，进行实证分析，比较两种VaR方法的风险价值量化能力；（3）通过对实证结果的分析，总结两种VaR方法的优劣。
2.研究方法：（1）理论分析方法：分析极值理论和基于极值的VaR方法的理论基础和实现过程；（2）计算机模拟方法：使用R语言或MATLAB等计算机工具，构建金融市场数据样本库，进行模拟计算，并得到两种VaR方法的结果；（3）统计分析方法：通过对计算结果进行统计分析，并与历史模拟法、方差协方差法和蒙特卡洛模拟法的结果进行比较，探讨两种VaR方法的优劣。
三、预期研究结果及意义通过本文的研究，可以得到以下预期研究结果：（1）掌握极值理论和基于极值的VaR方法的理论基础和实现过程；（2）通过计算机模拟方法，进行实证分析，并得到两种VaR方法的结果；（3）通过对计算结果进行统计分析，比较两种VaR方法的优劣。
金融风险管理中的极值理论与模型
金融风险管理中的极值理论与模型金融风险管理一直是金融领域中至关重要的问题之一。
随着金融市场的复杂性和不确定性增加，有效的风险管理策略和工具变得尤为重要。
在金融风险管理中，极值理论与模型被广泛应用，因其能够解决极端事件和尾部风险的问题。
本文将讨论极值理论与模型在金融风险管理中的应用。
一、极值理论与模型简介极值理论是一种统计学理论，用于研究极端事件的概率分布。
它的核心思想是，极端事件（例如金融市场中的崩盘或股票价格的暴跌）与普遍事件（例如股票价格的平稳波动）的概率分布具有明显的差异。
极值模型是基于极值理论构建的数学模型，可以用于估计极端事件的概率及其对风险的影响。
二、极值理论与模型在金融风险管理中的应用1. 极值理论在价值-at-风险(VaR)模型中的应用价值-at-风险是金融风险管理中常用的一种度量风险的指标。
极值理论被广泛应用于估计VaR，通过选择合适的极值模型，可以更准确地计算出金融资产的风险价值。
例如，极值理论中的极大值模型、广义极值模型等可以用来确定资产的VaR值，并帮助金融机构制定合理的风险控制策略。
2. 极值理论在条件极值-at-风险(CVaR)模型中的应用条件极值-at-风险是对常规VaR模型的一种改进，它考虑了超过VaR水平的损失的预期值。
极值理论可以提供关于极端损失的更准确估计，从而对CVaR进行更精细的测算。
通过使用极值理论中的模型和方法，金融机构可以更好地确定CVaR，并更好地管理风险。
3. 极值理论在过去最大损失模型中的应用过去最大损失模型是金融风险管理中常用的一种风险度量方法。
它基于历史数据，通过提取历史数据中的最大损失来估计风险水平。
极值理论可以提供更准确的极值估计，从而改进过去最大损失模型的预测能力。
4. 极值理论在风险厌恶模型中的应用风险厌恶模型是金融风险管理中常用的一类风险度量模型。
极值理论可以作为风险厌恶模型的基础，并用于确定投资者对极端事件的厌恶程度。
通过应用极值理论，金融机构可以更好地理解投资者的风险偏好，并制定相应的投资策略。
基于极值理论的VaR及其在中国股票市场风险管理中的应用
基于极值理论的VaR及其在中国股票市场风险管理中的应用基于极值理论的VaR及其在中国股票市场风险管理中的应用一、引言随着金融市场的不断发展与变化，风险管理成为投资者和金融机构必须面对的重要问题。
其中，价值-at-风险（Value-at-Risk，VaR）作为衡量风险的一个重要指标，得到了广泛的关注和应用。
本文旨在介绍基于极值理论的VaR，并探讨其在中国股票市场风险管理中的应用。
二、基于极值理论的VaR概述VaR是对投资组合或资产的潜在最大损失进行估计的一种方法。
基于极值理论的VaR是通过极端事件的分析来评估可能的风险。
该方法认为，金融市场的价格变动往往是非正态分布的，存在着尾部风险。
因此，通过分析尾部风险，更准确地测量风险成为可能。
1. 极值理论概述极值理论是研究极端事件发生概率和极端值分布的理论。
在金融领域，极值理论被广泛应用于风险管理中。
极值理论有两个核心概念：极值分布和极值指数。
其中，极值分布是指极端事件的概率分布，常用的极值分布有Gumbel分布和Frechet分布等；极值指数是指构建VaR所需要的参数，用于描述极端事件的性质。
2. VaR的计算方法基于极值理论的VaR通过以下步骤计算：（1）选择极值指数；（2）拟合极值分布；（3）估计VaR。
三、极值理论的VaR在中国股票市场风险管理中的应用中国股票市场是一个高度波动且风险较高的市场，因此，正确评估风险并科学管理风险至关重要。
基于极值理论的VaR在中国股票市场的风险管理中具有重要的实际应用价值。
1. 极值理论的VaR模型适用性基于极值理论的VaR模型能够较好地适应中国股票市场的特点。
中国股票市场的价格变动具有明显的非正态分布特点，存在着尾部风险。
极值理论的VaR模型通过捕捉尾部风险，对股票市场的风险进行了更准确的测量，能够更好地反映实际风险。
2. 极值理论的VaR模型优势相比传统的VaR模型，基于极值理论的VaR模型具有以下优势：（1）对极端事件的更准确估计：基于极值理论的VaR模型适用于尾部风险的估计，能够更好地捕捉金融市场中的极端事件。
厄兰极值混合模型的有效估计及其在保险中的应用
厄兰极值混合模型的有效估计及其在保险中的应用
研究背景：
随着经济的发展，保险业在各个行业中发挥着越来越重要的作用。
但是，由于保险业的复杂性，如何有效地估计保险风险仍然是一个棘手的问题。
传统的保险风险估计方法，如线性回归分析和分类回归分析，可能无法满足实际需要，这是因为它们无法有效地处理一些特殊的保险数据，如右偏分布数据。
为了解决这一问题，近年来，统计学家开始研究基于极值理论的混合模型，以更好地拟合右偏分布数据。
其中，最有代表性的是基于极值理论的混合模型，即利用极值理论（EVT）来拟合右偏分布数据。
此外，这种模型还可以用于估计保险风险，从而改善传统保险风险估计方法的效果。
研究内容：
本文旨在研究基于极值理论的混合模型（EVT-MM）的有效
估计方法，并就其在保险中的应用进行探讨。
首先，我们将介绍EVT-MM的基本概念和建模原理，并介绍其有效估计方法。
其次，我们将介绍EVT-MM在保险中的应用，主要包括：1）利用EVT-MM估计保险风险概率；2）利用EVT-MM估计保
险损失金额；3）利用EVT-MM估计保险风险暴露度；4）利
用EVT-MM估计保险费率。
最后，我们将就EVT-MM在保
险中的应用进行总结和展望。
极值理论和贝叶斯估计在VaR计算中的应用
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文章编号 ： １ ６ ７ １ — ４ ２ ２ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ － ０ ０ ０ ５ － ０ ４
极值理论和 贝叶斯 估计在 Ｖ ａ Ｒ计算中 的应用
熊 健 ，林 煌
（ 广州大学 数学 与信息科学 学院 ， 广东 广州 摘 ５ １ ０ ０ ０ ６ ） 要： 利 用广 义 Ｇ Ｐ Ｄ分布 拟合 香港恒生指数 日收益率的尾部分布 ， 采用贝叶斯方法对模型的参数进行估计 ，
大 量 的实 证 研 究 表 明 ， 金 融 资 产 的 回报 率 并
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不 服从 正态 分布 ， 具 有 明显 的“ 尖 峰厚 尾 ” 现象 ， 因 此将 极值 理 论 运 用 于 风 险 管 理 是 有 实 际 意义 的． 极值理 论 主要 有 分 块 样 本 极 大 值 模 型 和 Ｐ Ｏ Ｔ
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广州 大学 学报 （ 自然科 学版 ）
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第 １ ２卷
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极值理论(EVT)在汇率受险价值(VaR)计算中的应用
极值理论(EVT)在汇率受险价值(VaR)计算中的应用
詹原瑞;田宏伟
【期刊名称】《系统工程学报》
【年(卷),期】2000(015)001
【摘要】本文讨论根据极值理论(EVT)计算金融市场风险重要量度--受险价值(VaR)的一种新方法,给出金融资产组合收益或损失尾部分布的二阶展开式的参数估计形式,并以此为基础提出用确定临界值并估计VaR的"两次子样试算法",最后用1971-1998年的日元/美元汇率6700多个历史数据验证在极端条件下用EVT估计VaR 具有很高的准确性.
【总页数】10页(P44-53)
【作者】詹原瑞;田宏伟
【作者单位】天津大学管理学院,天津,300072;天津大学管理学院,天津,300072【正文语种】中文
【中图分类】F830
【相关文献】
1.极值理论在VaR和CVaR中的应用及对沪市的实证研究 [J], 刘昆仑
2.极值理论在高频数据中的VaR和CVaR风险价值研究 [J], 赵树然;任培民
3.应用极值理论计算在险价值(VaR)——对恒生指数的实证分析 [J], 周开国;缪柏其
4.人民币汇率风险测度的实证研究——基于极值理论的VaR [J], 文赋;吴伟韬
5.极值理论和贝叶斯估计在VaR计算中的应用 [J], 熊健;林煌
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极值理论_EVT_方法用于受险价值_VaR_计算的实证比较与分析
2000年10月系统工程理论与实践第10期 文章编号:1000-6788(2000)10-0027-09极值理论(EV T)方法用于受险价值(VaR)计算的实证比较与分析田宏伟,詹原瑞,邱 军(天津大学管理学院,天津300072)摘要: 讨论了根据极值理论(EVT)计算受险价值(VaR)的两类不同的方法:基于矩估计的“两次子样试算法”和极大似然估计法,并给出了各自理论推导过程和计算步骤.同时,把这两类方法与正态分布和经验分布的结果进行了比较.应用四种汇率历史数据进行的实证计算表明,在极端条件下,用极值理论方法估计VaR具有很高的准确性,而矩估计法的结果又优于极大似然估计法.关键词: 受险价值;极值理论;广义极值分布;两次子样试算法;极大似然估计中图分类号: F830 Empirical Analysis of Value-at-Risk EstimationM ethods U sing Ex treme Value T heoryT IAN Hong-w ei,ZHAN Yuan-rui,QIU Jun(Scho ol of M a nag ement,T ianjin U niver sity,T ianjin300072)Abstract: T he paper inv estig ates methods of VaR estimat ion using Extr eme V alueT heo ry(EVT).It co mpares tw o differ ent est imation m ethods,"tw o step subsampleboo tstra p"based on mo ment estima tio n and M aximum L ikelihoo d Estimatio n(M L E),accor ding t o t heir theor etical basis and co mputa tion pr ocedures.T hen,the estimatio nr esults ar e analy sed tog ether with tho se of no rmal met ho d and em pir ical met ho d.T heempir ical r esearch o f fo r eign ex chang e da ta sho w s t hat the EV T metho ds have g oo dcharacter s in estimating V aR under ext reme co ndit ions a nd"tw o step subsampleboo tstra p"method is prefer ed to M L E.Keywords: v alue-at-r isk(V aR);ext reme va lue theor y(EV T);g ener alized ex trem eva lue distribution;t wo step subsample boo tstrap;max imum likeliho od estimation1 受险价值概念、假设及实证数据中的“厚尾”问题受险价值简称V aR(Value-at-risk),是数量化市场风险的重要量度工具.一般金融机构都持有债券,股票等构成的金融资产组合,这些资产组合的价值常因利率、汇率等市场因素的变化而变化.金融机构特别关注不利的市场因素变化对资产组合价值所造成的影响,即需要估计经过已知时间间隔,资产组合价值可能减少的幅度及发生的可能性.1.1 受险价值概念在数学上,设状态变量向量x～代表市场比率(利率、汇率和价格等),P(t0,x0)是组合初期的盯市价值,通过重新评价组合在时刻t的价值,即P(t,x～)的预测估计值,确定利润和损失函数 P～( t, x～)=p(t, x～)-P(t0,x0),简记为 P～,便能够确定市场因素变化的影响.28系统工程理论与实践2000年10月一般定义受险价值V aR是对已知头寸或组合,经过一段时间间隔,在一定的显著水平下的最大可能损失.V aR的直观解释简单易懂,对于一定显著水平p,经过持有期 t,V aR是组合价值损失的显著水平的分位数,即P r{ P～( t, x～)≤-VaR}=p(1)由式(1),V aR可定义为 P～概率分布显著水平为p的分位数.1.2 受险价值计算中的假设及厚尾问题在实践中,实现受险价值定义有各种不同的方法,总体上可分为参数计算和模拟两大类[1],分别记作V aR/P和V aR/S.前者便于分析计算,但在组合中含期权头寸时误差大;后者适合计算各种组合的受险价值,但计算时间长.为全面的了解各种方法,首要的是理解计算受险价值的基本假设.一般V aR可看作由两个不同的元素构成[2]:・资产组合的市场价值对市场比率变化的灵敏度;・经过预定时间间隔,市场比率变化的联合概率分布.将这两个要素相结合,直观上实现了受险价值的定义:对已知头寸或组合,经过预定时间间隔,在已知显著水平下的最大可能损失.然而,实际计算受险价值非常复杂,要求对这两个要素中的一个或两个作简化假设,譬如RiskM etr ics[3]的V aR计算公式:V aR= w T w t(2)式中 是在标准正态分布中给出相应显著水平的分位数,例如,对99%显著水平, =2.33;w是N×1向量,表示组合中各风险头寸的权重; 是风险头寸年度化收益的N×N相关矩阵; t是以年为单位的持有期.在这个公式中有两组假设,第一是风险头寸的权重中所镶嵌的关于组合价值灵敏度的假设,这是由RiskM et rics所设计的将具体交易映射为风险头寸的技术推导得到的;第二是在头寸收益的相关矩阵 中所镶嵌的关于市场比率变化的概率的假设.在这里,我们只讨论概率分布假设给计算结果带来的问题.据式(1)知,V aR计算与组合盯市价值的收益损失函数 P～尾部分布特性的估计密切相关.在VaR/P 计算中,一般假设市场比率的变化服从联合正态分布.然而,大量文献资料表明,实际金融产品的回报时间序列数据的分布与正态分布相比存在明显的厚尾、非对称特性,这意味着传统的正态分布假定无法完全反映这一特征,事实上,正态分布假定会导致在极端条件下对VaR的低估[4～7].V aR/S的计算则是基于将来的变化会重复过去和现在的历史这样一种认识,以历史数据为基础,对市场比率或组合价格的未来变化做出预测和估计,无需事先假定分布情况.但它需要大量的历史数据,对分布尾部的估计偏差很大.为了解决正态分布假定严重低估极端条件下V aR值问题,近年来许多学者提出了用具有厚尾特征的多种分布函数模型试图解决“厚尾”问题,如t分布[8]、混合正态分布模型[3]、一般误差分布模型G ED[3]等等,这些模型的适用条件都有一定的局限性.近两年来,用极值理论来计算极端情况下的V aR值,引起了广泛的重视.作为一种参数估计方法,极值分布只研究极端值的分布情况,它可以在总体分布未知的情况下,依靠样本数据,得到总体中极值的变化性质,具有超越样本的估计能力.初步的一些研究表明,极值理论具有非常诱人的前景.本文将对此做详细的讨论.本文的结构是,先简要说明了次序统计量和EV T方法模型;然后详细讨论了两类不同的参数估计方法:矩估计法和极大似然估计法,并给出了各自理论推导过程和计算步骤;应用四种汇率历史数据,对这两类方法与正态分布和经验分布的结果进行了比较,并用四种汇率的历史数据进行了计算;最后是结论和对全文的总结.2 极值理论及其参数估计方法极值理论(Ex tr eme V alue T heo ry)是研究次序统计量的极端值的分布特性的理论,首先,介绍有关的设X i ,i =1,…,n ,是取自分布函数为F (x )的总体的一个样本,具有独立同分布的特征(i .i .d .),将其按大小排序:X (1)≥X(2)≥…≥X (n ) 称(X(1),…,X (n ))为次序统计量,令M n =max {X 1,X 2,…,X n } ,则M n 的分布称为极值分布,极值分布有三种形式,分别称为Gumbel ,Fr echet ,W eibull 分布,它们可以用一种统一的形式来表达,即广义极值分布(G EV —genera lized ext reme v alue distr ibutio n ).分布函数:G (x )=ex p -1+x --1/(3)其中1+x ->0, , ( >0), 分别称为位置、尺度、形态参数. =0,对应于Gumbel 分布; >0,F ; <0,对应于W eibull 分布.注意此处的x 值指的是极大值.这里,我们引入吸引域的概念,根据极值理论,对于具有独立同分布特征的样本极大值M n ,总能找到实数a n (a n >0),b n ,使得序列(M n -b n )/a n 依分布收敛与H (x ),即:P r {(M n -b n )/a n ≤x }=F n (a n +b n )→H (x )(4)则称H (x )为分布函数F 的极大吸引域,记做F ∈M D A (H ).由式(3),可得用于计算V aR 的极值分位数为:x p = -[1-{-lo g(1-p )}- ](5)这里,G (x p )=1-p接下来的任务是估计极值分布的具体参数,目前有两类参数估计方法,・极大似然估计法・矩估计法这两类方法各有特点,我们简单地介绍前一种方法,重点讨论后一种方法,并进行了实证比较.极大似然估计法是一种简便易行,使用广泛的好方法,由式(3),可得广义极值分布的极大似然估计函数为:l ( , , )=ki =1-lo g -(1+1/ )lo g 1+x i --1+x i --1/(6) 极大化l ( ,o , ),便可得到相应的 ,o , 估计值.Smith 证明[9],只有当 >-0.5时,极大似然估计才是完全正则的;-1< <-0.5时,极大似然估计存在而非正则; <-1时,极大似然估计不存在.在实际应用中,有资料表明[4,10],大部分金融时间序列的极值是Fr echet 分布,因此极大似然估计一般都是可行的.另外,需要指出的是,以式(3)表示的极值分布称为Block 法,此外还有以域值法表示的极值分布形式,下面的矩估计法就是以域值法为基础的.作为一种重要的统计参数估计方法——矩估计法近年来受到了越来越多的重视,它能够在总体分布未知的情况下,估计得到相关的参数.这一特点使得一些学者对极值分布的矩估计法进行了深入研究.2.2 基于矩估计方法的极值理论模型矩估计法与极大似然估计不同,它并不直接去估计极大值分布的三个参数,而是从样本数据入手,根据幂指数规则估计分布函数.当用极值理论来计算VaR /分位数时,只考虑对尾部的近似表达(n →∞),而不是对整个分布进行建模.实证研究表明,金融价格的时间序列数据的实际分布是“厚尾”分布,并且在极限条件下,所有“厚尾”分布的尾部都可以用幂函数近似表达,这点已为学术界所公认[4,5,11],称为幂指数规则(po wer law ).现在问题的难点,就是找出近似表达分布函数的尾部的具体的幂函数形式.设金融时间序列S t 代表在时刻t 的金融变量,如股价、指数或汇率等,则这些序列所对应的连续复合每日回报可用下式表示:29第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析x t =ln S t -ln S t -1(7) Hill 提出[10],根据幂指数规则,具有厚尾特征的回报分布的尾部可以写为以下的一阶帕雷托幂函数形式 :F -(x )=P r(X >x )≈ax - , >0, x →∞(8) F (x )为极值分布函数,a 是待估参数, 为分布的尾部指数,a 变化很小,在一定的期限内可看成常数.Hill 还给出了 的一阶矩估计形式:=1MMi =1ln X (i )-ln X(M )-1=1MMi =1lnX (i )X (M )-1, X (i )>X (M )(9)X (i )为样本中第i 个降序统计量;M 为临界样本序号.这样,便可以对回报分布的尾部进行拟合,从而得到极端情况下的V aR 值,这里讨论的是对上尾部的估计,同样的方法可以用于下尾部.考察Hill 提出的 估计式,不难发现,正确估计 依赖于适当的选取X (M ),这一临界值的含义是,从第M 个统计量开始,以上(0至M )的数据用于估计 .然而,如何选取M 值Hill 却没有给出,实际应用中只能凭直觉和经验来进行选择,这造成了很大的不便.为了解决极值估计从哪里开始的问题,有许多学者提出了各种方法,其中最引人注意的是Hall 提出的试算法(boo tstr ap )[12],其基本思想是:求使1/^的近似均方误差(AM SE )达到最小的X (M ),以此作为临界值来估计 .但是,Hall 的方法是依分布收敛,而不是依概率收敛,造成的偏差过大.尽管如此,试算法作为一种有效的方法,为上述问题的最终解决指明了研究方向.Jon Danielsson 对此提出了改进办法[5,6],首先,通过使用分布函数的二阶展开形式,他给出了分布函数和分位数的矩估计形式为:xp =X (M +1)M np1(10)p=M nX (M +1)x p(11)含义:X (M +1)表示样本第M +1个降序统计量,n 表示样本数,p 表示显著水平(置信度),其中,M ,X (M +1)、 是需要估计的统计量[4].为找到使1/^的近似均方差(A M SE)达到最小的临界统计量X (M ),Jon Danielsso n 提出了两次抽样试算的思想并给出了相应的证明,其方法具有依概率收敛特点.依据其原理,我们总结出了“两次子样试算法”[13],具体计算步骤如下:第1步 从回报时间序列中选取容量为n 的样本作为初始样本,并按降序排列.第2步 选n 1,求s n 1和m n 1.从样本容量为n 的初始样本中随机抽取R 次容量为n 1的子样本1,应用试算法寻找使AM SE (z (n 1))=1RRr =1[z r (m n 1,n 1)]2最小的临界值s -n 1及其所对应的m n 1.Z (・)是构造统计量,见文献[5].第3步 选n 2,求s n 2和m n 2.令n 2=n 21/n ,从样本容量为n 1的子样本1中随机抽取R 次容量为n 2的子样本2,同样应用试算法寻找使A M S E (z (n 2))最小的临界值s n 2及其所对应的mn 2.第4步 确定初始样本的临界值s n 和m n.第5步 估计参数x p,p ,1/^ 等参数;根据(x p ,p )的对应关系,作出极值分布图.因n 2的取值取决于n 1,在实际中必须确定n 1的取值,这同样可以用试算法来解决.因为n =n 21/n 2,所以有,A M SE(z (m n ))=[A M S E (z (n 1))]2/A MS E (z (n 2(n 1))),(12)对不同的n 1值,按步骤二和步骤三分别计算最优的A M SE(z (n 1))和A M SE(z (n 2)),它们分别与s n 1和s n 2对应,然后计算相应的A M SE(z (m n )),找到使A M SE (z (m n ))最小的n 1,即为最优的n 1.30系统工程理论与实践2000年10月3 实证计算与比较分析研究汇率的变动趋势,不但对于控制外汇风险,而且对与汇率有关、受汇率影响的许多金融产品的风险测量和管理有基础作用.因此,本文分别用日元/美元、马克/美元、英镑/美元、加元/美元汇率历史数据,检验极值理论应用于V aR 计算的有效性,并把基于矩估计的“两次子样试算法”、极大似然估计法计算结果与正态分布、经验分布进行比较.采用的历史数据从1970年1月至1998年11月共6700多个(数据来源:美国联邦储备局IN T ERN ET 网站),极大似然估计法是用S _P LU S 语言编程实现的;矩估计“两次子样试算法”是用M atlab 5.2语言编制计算程序实现的,取得了令人满意的结果.3.1 样本数据基本分析首先,根据式(7)计算汇率的回报,样本各阶矩、极大值、极小值等基本统计量的计算结果如表1,回报数据的频率图如图1(已经过标准化处理),各个样本最大的20个损失值的情况如图2.结合图1、图2和表1,我们可以观察到以下几个现象:图1 回报数据的频率图1)各种汇率每日回报的分布基本上是以零为中心( =0)的分布,只有极微小的偏离;回报的波动性(以方差来度量)具有很强的自相关性(heter oscedastic ),即高/低波动性时期的出现总是具有一定的连续性,表明方差具有自相关性,这可由图2明显看出.另外,四种汇率的波动幅度也是不同的,英镑波动幅度最大,日元和马克次之,加元最小,这也符合人们的直观感觉;2)从图1频率分布形状上看,除英镑外,分布基本上是对称的(正态分布的偏度为0),英镑回报偏度s 331第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析表1 四种汇率回报的样本基本统计量统计量样本日元回报RET NJPY 英镑回报RETNU K 马克回报RET NGM 加元回报RETNCAD样本容量 (N )6706671867186721极小值(min )-5.6302(%)-13.0138(%)-4.1407(%)-1.8642(%)极大值(max) 6.2556(%) 6.1834(%) 5.8678(%) 1.9029(%)中位数(M edian )0.000(%)0.005(%)0.000(%)0.000(%)标准差(Std Dev).0.62331(%)0.70843(%)0.64094(%)0.24869(%)均值(M ean )-0.01356(%)-0.00516(%)-0.01264(%)0.00468(%)方差(Variance )0.3890.5020.4110.062偏度(Sk ew ness )-0.440-1.5220.0310.183峰度(Kurtosis )7.31830.9614.3324.964 3)尾部远离分布中心的极端数据的出现基本上是离散化的(见图2),极端值出现的日期并没有一定的规律性,虽然由于方差的自相关性,使极端数据的出现有丛集现象(Cluster ).图2 各个样本最小20个回报率(负值)的发生时间32系统工程理论与实践2000年10月的波动性在近年来大大的增加了,这意味着与此相关的金融产品的市场风险的增加.3.2 计算结果表2、表3分别是极大似然估计法、基于矩估计方法的“两次子样试算法”的计算结果以及几种方法得到的分布函数的比较,其中极大似然估计法是用S _PL U S 语言专门开发的极值函数功能实现的,它同时给出了各参数估计的标准差;矩估计“两次子样试算法”是用M atlab5.2语言编制程序实现的,计算结果是针对下尾的损失情况.由于计算能力的限制,本文仅就包含了全部历史数据的单个样本情况进行计算和比较分析.有了表2中的计算结果,分别根据式(5)和式(10),就可以得到下尾分布函数的表达式,据此再计算V aR 或分尾数.比较两种估计方法,形状参数 和尾部指数必定存在某种密切的关系,这有待进一步的探讨.由表2可知,尾部指数 均大于2,说明存在“厚尾”现象,这些结果都与上节的观察相一致.表2 极大似然估计法、“两次子样试算法”的计算结果统计量样本日元回报RET NJPY 英镑回报RE TNU K 马克回报RETNGM 加元回报RE TNCAD 极大似然估计似然函数极大值7104.0938455.2097095.993910.8072(标准差)-0.2464440(0.0094481476)-0.31060456(0.011724711)-0.2511025(0.009261429)-0.1111815(0.003704133) (标准差)0.7345865(0.0048751906)0.90929223(0.005904691)0.7190696(0.005212339)0.2869485(0.002081494) (标准差)-0.1238419(0.0009440667)-0.06666401(0.000599681)-0.1625549(0.001332392)-0.1440786(0.001194409)二次子样A M S E 最小值 5.0360e -0043.6371e -004 6.1376e -0043.9990e -004(尾部指数) 4.1533 2.6775 5.9758 5.0100M n(临界序号)812505013X (Mn+1)(临界回报值)1.7935%1.2078%1.9812%0.9732%3.3 分布函数的比较我们根据估计得到的下尾分布函数,分别对不同显著水平下的V aR 进行了计算,并把结果与根据正态分布和经验分布的计算结果进行了比较,详见表3所示.根据表3,不难得到以下的一些结论:・整体上看,正态分布有低估V aR 的趋势,显著水平越小,低估越严重.而两种极值理论方法在估计尾部分位数时准确性优于正态分布,显著水平越小,这种优势越明显.由于正态分布的优势在于估计分布的中段.样本数越多,对中心的估计越准确,其代价是对尾部的估计误差也越大.因此,在本文的大样本条件下,正态分布在尾部的表现显得很差.本文是以简单平均法计算的样本方差,若以指数加权法EM W A 计算样本方差,则正态分布的表现会有所改善,但在极端条件下,仍会低估V aR .这种比较是以经验分布作为参照进行的.・在两种极值理论方法中,基于矩估计的“二次子样试算法”又优于极大似然估计法.在表3中,当显著水平小于0.01时,“二次子样试算法”的结果误差几乎都大大小于极大似然法,这说明了“二次子样试算法”对尾部分布估计的准确性还是相当高的.但是,“二次子样试算法”在实际应用中也有缺陷:计算费事,33第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析表3 四种V aR计算方法结果准确性比较表单位:% p模型方法与误差日元英镑马克加拿大元显著水平0.001经验 [7]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样显著水平0.005经验[34]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样显著水平0.010经验[67]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样显著水平0.050经验[336]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样 -3.0370579 -4.633604 -2.928050 -1.2148898 -1.214072-1.555899-1.282027-0.186425-3.163602-4.722665-2.733179-1.144731-3.233112-4.657736-2.760720-1.10680963.98%66.42%56.22%84.65%4.17% 1.92% 6.67%5.77%4.08%0.52%5.71%8.90%-2.426972-2.624189-2.217774-0.8295674-1.023700-1.309998-1.0807328-0.156200-2.606654-3.746605-2.302178-0.951822-2.194467-2.553416-2.108898-0.80270857.82%50.08%51.27%81.17%7.40%42.77%23.24%14.74%9.58% 2.70% 4.91% 3.23%-1.929056-2.032820-1.819762-0.6765319-0.922687-1.1794928-0.973924-0.140040-2.329700-3.291734-2.078259-0.853923-1.857160-1.971025-1.877936-0.69899152.17%41.98%46.48%86.00%20.77%61.93%25.61%40.69%3.73% 3.04% 3.20% 3.32%-1.0177169-1.0253495-1.0713193-0.3704146-0.654612-0.8331990-0.690469-0.0097366-1.579129-2.139595-1.442935-0.582199-1.260540-1.080535-1.434544-0.15331534.54%16.68%30.95%90.26%55.16%108.67%34.69%57.17%26.05%8.05%43.45%84.67% 注 :样本的经验分布函数形式如下:F n(x)=0,x<X(1)k/n,X(k)≤x<X(k+1)1,X(n)≤x(13)经验分布也不需要事先假定总体的分布形式.用历史模拟法得到的分布函数其实就是一种经验分布.我们可以用经验分布来评估历史模拟法.注34系统工程理论与实践2000年10月值理论的优异表现已经引起了广泛的关注.即便是在更大的显著水平下,在一定的范围内,极值理论的估计效果仍是令人满意的(见表3的p =0.050,日元和英镑).但是,随着显著水平的进一步增加,极值理论与经验分布的差别迅速扩大,在5%水平(下尾)下,极值理论的误差已经大于正态分布的误差了.一般认为,正态分布适合于估计显著水平大于0.05时的V aR 值.・极值理论具有超越样本的估计预测能力.把表2、表3的结果绘成下尾的概率分布图可以看出,在极端情况下,极值理论的分布曲线从经验分布折线中穿过,两者基本重合,这显示了极值理论的极佳的估计效果.它以光滑连续的曲线形式,克服了在极端情况下经验分布曲线(历史模拟法)离散、粗糙的缺陷,可以非常方便的进行灵敏度分析.更为重要的是,它还提供了超越样本的估计预测能力,经验分布由于受到样本容量的限制,无法提供关于分布尾部的更详细信息,而在如此小的概率条件下,只有极值理论给出了其他方法无法做出的预测.・应用极值理论得到的结果是令人鼓舞的,进一步检验极值方法,还必须用逐日更新的历史数据重复计算每日的V aR,并把结果与实际的数值相比较,才能在概率意义下评估方法的准确性,有关文献把这一过程称之为Backtesting.为此,1%的显著水平必须至少计算100天的结果;对于0.1%的显著水平,必须至少计算1000天的结果.这将是本文下一步将完成的工作.在用极值理论计算V aR 时,还有一些其他事项需要注意,这包括数据相依性D ependence 、异方差Hetero scedastic 、多日V aR 计算和多元极值理论.限于篇幅,本文在此不作过多讨论.4 结论本文研究了根据极值理论(EV T )计算受险价值(V aR )的两类不同的方法:矩估计法和极大似然估计法,并给出了各自理论推导过程和计算步骤.同时,把这两类方法与正态分布和经验分布的结果进行了比较.应用四种汇率历史数据进行的实证计算表明,在极端条件下,用极值理论方法估计V aR 具有很高的准确性,而基于矩估计的“二次子样试算法”的结果又优于极大似然估计法.在极端条件下,用极值理论方法得到的V aR 的估计值与经验分布非常接近,而且,极值理论还提供了超越样本的预测能力,说明极值方法比起常用的正态分布假设和历史模拟等方法具有很大的优越性,另外,极值方法有完备的数学理论支持.事实上,极值理论在金融风险测量与管理中的良好应用前景已得到越来越广泛的关注.极值理论的适用范围是在小显著水平下(一般小于1%),在更大的显著水平时,必须把它与别的方法结合使用,才能得到的准确的V aR 值,如Jon Da nielsson 等人提出把历史模拟法与极值理论相结合的半参数化方法[5].到目前为止,极值理论在金融领域的应用还多局限在一元的情景,虽然经过一定的处理,可以把一元极值理论应用于计算金融产品组合的VaR ,但许多情况下组合的价值难以计算,这就非常有必要把极值理论从一元扩展到多元.近一两年来,国际上已有人对多元极值分布模型进行了许多研究[15],我们期待着会有更多的研究成果不断涌现.参考文献:[1] F ra ncis X Diebold .P itfalls and O ppo rtunities in the U se o f Ext reme Value T heo ry in R iskM anag ement [EB /O L ].http ://w ww .whar to n .upenn .edu /,1998.[2] Hall .U sing the boo tstrap t o estim ate mean squar ed err or and select smo othing param eter inno npar ametr ic pr oblems[J].J o f M ult iva ria te A nalysis,1990,32:177～203.[3] Hill.A simple gener al appro ach to inference abo ut t he tail of a distribution[J].A nnals o f St atistics,1975,35:1163～1173.[4] Jon Danielsso n .Beyond the sample :Ex tr eme quantile and pro babilit y estimatio n [EB /O L ].htt p ://w w w.hag.hi.is/～jo nd/.1997a.35第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析系统 *中的对偶形式,其它定理的对偶形式恕不赘述.定理4 设系统 *的输入序列为零,令Q *n =C CA max …CA n -1max,这里A max 是系统 *的矩阵列A ~j (j ∈J )的极大元矩阵.若Q *n 的第t 列不等于 ,则x t是系统 *的下限能观分量.定理5 对于系统 *,若存在某个A k ma xB (k =0,1,…,n -1)的第t 行不等于 ,则x t 是系统 *的分别能达的分量.定理4和定理5的证明都要用到定义在D ~中的引理2和引理3.参考文献:[1] 陈文德,齐向东.离散事件动态系统——极大代数方法[M ].北京:科学出版社,1994.[2] G unaw ar dena J .M in -max functions [J ].J Discrete Ev ent Dynamic Sy stems ,1994,4(4):377～406.[3] G auber t S ,Gunawar dena J .T he duality theor em for min -max functions [J ].Comptes Rendus A cadSci[C],1998,326:43～48.[4] Chen W.Cycle time assignment o f DEDS [A ].Pr oceedings o f the Intellig ent Sy st ems and Contr ol Co nfer ence Santa Bar ba ra[C],U SA ,1999.[5] 陈文德.非线性DEDS 的能达性[J ].控制理论与应用,1999,16卷增刊:69～72.[6] ZHAN G M ei ,W U Zhi -ming .Contr ollability and o bser vabilit y pr oblem s in linear diser ete ev entsy st ems mo del o f FM S [A ].Pr oceeding s of D ES ′91[C],Beijing :I nt ernational Academic Pulishers,1991,267～270.(上接第35页)[5] Jon D anielsson.V alue-at-R isk and Ex treme Retur ns[EB/O L ].ht tp://w w w.hag.hi.is/～jond/,1997b.[6] M or gan J P.R iskmetr ics T echnolog y Do coument[M ].4th edit ion,R iskM etr ics G ro up,N 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alueT heor y [J ].AST IN Bulletin ,1996,27:117～137.57第10期非线性DEDS 的能观性与极小元矩阵。
我国证券投资基金的风险管理——应用极值理论计算VaR的开题报告
我国证券投资基金的风险管理——应用极值理论计算VaR的开题报告一、选题的背景和意义：随着我国资本市场的不断发展和证券投资基金行业的逐步壮大，风险管理越来越受到投资者和监管机构的关注。
作为一种重要的风险管理工具，VaR（Value at Risk）已经被广泛应用于全球资本市场，成为金融机构和投资者进行风险控制和决策制定的重要指标。
VaR是指在一定的置信水平下，资产或投资组合在未来一段时间内可能出现的最大损失。
因此，VaR既能够帮助投资者和管理人员评估风险水平，也能够帮助监管部门评估基金公司风险水平是否符合相关法规和监管要求。
然而，由于我国证券投资基金面临的市场环境和风险管理体系与西方国家存在差异，传统的VaR计算方法可能不足以应对其风险管理的需要。
因此，本文拟研究如何应用极值理论计算VaR，并探讨其在我国证券投资基金风险管理中的应用。
二、研究目标和内容：本研究的目标是建立基于极值理论的证券投资基金VaR计算模型，探讨其在我国证券投资基金风险管理中的应用。
具体研究内容包括以下几个方面：1. 回顾和分析VaR的基本理论和方法，探讨VaR在证券投资基金风险管理中的应用。
2. 研究极值理论在VaR计算中的应用，分析其理论基础和实际应用方法，并与传统的VaR计算方法进行比较分析。
3. 建立基于极值理论的证券投资基金VaR计算模型，包括数据处理、模型选择、参数估计和模拟预测等环节。
4. 运用实际数据进行案例分析，验证基于极值理论的证券投资基金VaR计算模型的有效性，并与传统的VaR计算方法进行比较分析。
5. 探讨基于极值理论的证券投资基金VaR计算模型在我国证券投资基金风险管理中的应用前景和可行性，并提出相关建议和措施。
三、研究方法和思路：本研究采用文献研究法、理论分析法、实证研究法和比较研究法相结合的方法进行。
具体思路包括：1. 对VaR的基本理论和方法进行系统回顾和分析，了解其概念、特点、计算方法和应用领域等。
var在险价值的考试题目
var在险价值的考试题目
以下是关于VaR（Value at Risk）的考试题目示例：
1. 简述VaR的概念及其在风险管理中的重要性。
2. 计算历史VaR和压力测试VaR的方法是什么？请简要说明。
3. 请解释VaR模型的假设和局限性，以及如何克服这些局限性。
4. 解释在险价值（VaR）和最大可能损失（MPE）之间的区别。
5. 如何评估一个投资组合的VaR？请提供一种或多种评估方法。
6. VaR模型在实践中存在的问题有哪些？如何解决这些问题？
7. 假设一个投资组合在过去一年中平均每天的损失为1000元，标准差为200元，那么该投资组合的历史VaR是多少？
8. 压力测试在VaR中的作用是什么？如何进行压力测试？
9. 请解释VaR计算中的置信水平，并说明为何选择95%或99%的置信水平。
10. VaR和其他风险测量工具（如敏感性分析、情景分析）有何不同？
这些题目可以帮助您了解VaR的概念、计算方法、应用和局限性等方面的
知识。
极值理论在资产组合VaR计算中的应用
极值理论在资产组合VaR计算中的应用极值理论EVT在资产组合 VaR 计算中的应用中国人民大学硕士学位论文摘要(中外文合订)论文题目:(中文) 极值理论在资产组合 VaR计算中的应用 ??单指数模型方法及其实证研究(英文)The Application of Extreme Value Theory onComputing Value at risk for Portfolio作者: 罗小专指导教师: 赵国庆 4极值理论EVT在资产组合 VaR 计算中的应用摘要在这篇文章中,我们运用单指数模型方法来估计资产组合的在险价值(VaR)。
首先运用单指数模型来拟合资产组合的收益率,然后再用极值理论对市场指数的 VaR 来进行估计,昀后通过资产组合收益率的拟合值与真实值之间的关系来确定资产组合的在险价值。
单指数模型是由夏普于 1963年首先建立的,模型假定所有的相关经济因素组成一个宏观经济指示器,它影响着整个证券市场,同时假定,除了这个因素以外,股票收益的所有剩余的不确定性是公司特有的,也即证券之间的相关性除了通常的经济因素外没有其他来源了。
在这样的假定下,资产定价问题大大地简化了,我们只需考虑单个资产的收益相对于市场指数收益的关系,这种关系通过单个资产的超额收益率 R 对市场指数的超额收益率 R 的回归即可得到,i M资产组合的收益率 R 的计算只需要将单个资产的收益率 R 按其权重加权即可。
P i利用大数定理,我们可以证明,当资产组合充分分散化时,单指数模型计算得到的资产组合收益率与其真实收益率相等,这个定理保证了我们使用的方法在理论上的正确性。
VaR 是指一定概率水平(置信度)下,证券组合在未来特定一段时间内的昀大可能损失。
在风险测量的诸多方法中, VaR 方法昀大的优点就是测量的综合性,可以将不同市场因子、不同市场的风险集成为一个数,较准确地测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失,因而较好地适应了金融市场发展的动态性、复杂性和全球整合趋势。
随机利率下寿险定价风险的VAR分析
随机利率下寿险定价风险的VAR分析
刘家军;黄少杰
【期刊名称】《汕头大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(025)001
【摘要】在随机利率下对寿险定价的利率风险进行分析.通过对随机利率模型进行参数估计和假设检验,选择CIR模型为产生模拟利率的基础,推导出基于随机利率的定期寿险毛保费表达式,结合加拿大资产负债方法为产品定价,并利用在险价值(VAR)度量定价的利率风险.
【总页数】6页(P42-47)
【作者】刘家军;黄少杰
【作者单位】广东商学院数学与计算科学学院,广东,广州,510320;广东商学院数学与计算科学学院,广东,广州,510320
【正文语种】中文
【中图分类】O211.67
【相关文献】
1.随机利率下的寿险责任准备金与风险分析 [J], 贾念念;贾长青
2.随机利率下的准备金与寿险风险分析 [J], 王丽燕;柳扬
3.随机利率下寿险定价分析 [J], 张倩;
4.随机利率下寿险定价分析 [J], 张倩
5.随机利率下半连续型寿险产品定价分析 [J], 刘文文; 文忠桥
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2000年10月系统工程理论与实践第10期 文章编号:1000-6788(2000)10-0027-09极值理论(EV T)方法用于受险价值(VaR)计算的实证比较与分析田宏伟,詹原瑞,邱 军(天津大学管理学院,天津300072)摘要: 讨论了根据极值理论(EVT)计算受险价值(VaR)的两类不同的方法:基于矩估计的“两次子样试算法”和极大似然估计法,并给出了各自理论推导过程和计算步骤.同时,把这两类方法与正态分布和经验分布的结果进行了比较.应用四种汇率历史数据进行的实证计算表明,在极端条件下,用极值理论方法估计VaR具有很高的准确性,而矩估计法的结果又优于极大似然估计法.关键词: 受险价值;极值理论;广义极值分布;两次子样试算法;极大似然估计中图分类号: F830 Empirical Analysis of Value-at-Risk EstimationM ethods U sing Ex treme Value T heoryT IAN Hong-w ei,ZHAN Yuan-rui,QIU Jun(Scho ol of M a nag ement,T ianjin U niver sity,T ianjin300072)Abstract: T he paper inv estig ates methods of VaR estimat ion using Extr eme V alueT heo ry(EVT).It co mpares tw o differ ent est imation m ethods,"tw o step subsampleboo tstra p"based on mo ment estima tio n and M aximum L ikelihoo d Estimatio n(M L E),accor ding t o t heir theor etical basis and co mputa tion pr ocedures.T hen,the estimatio nr esults ar e analy sed tog ether with tho se of no rmal met ho d and em pir ical met ho d.T heempir ical r esearch o f fo r eign ex chang e da ta sho w s t hat the EV T metho ds have g oo dcharacter s in estimating V aR under ext reme co ndit ions a nd"tw o step subsampleboo tstra p"method is prefer ed to M L E.Keywords: v alue-at-r isk(V aR);ext reme va lue theor y(EV T);g ener alized ex trem eva lue distribution;t wo step subsample boo tstrap;max imum likeliho od estimation1 受险价值概念、假设及实证数据中的“厚尾”问题受险价值简称V aR(Value-at-risk),是数量化市场风险的重要量度工具.一般金融机构都持有债券,股票等构成的金融资产组合,这些资产组合的价值常因利率、汇率等市场因素的变化而变化.金融机构特别关注不利的市场因素变化对资产组合价值所造成的影响,即需要估计经过已知时间间隔,资产组合价值可能减少的幅度及发生的可能性.1.1 受险价值概念在数学上,设状态变量向量x～代表市场比率(利率、汇率和价格等),P(t0,x0)是组合初期的盯市价值,通过重新评价组合在时刻t的价值,即P(t,x～)的预测估计值,确定利润和损失函数 P～( t, x～)=p(t, x～)-P(t0,x0),简记为 P～,便能够确定市场因素变化的影响.28系统工程理论与实践2000年10月一般定义受险价值V aR是对已知头寸或组合,经过一段时间间隔,在一定的显著水平下的最大可能损失.V aR的直观解释简单易懂,对于一定显著水平p,经过持有期 t,V aR是组合价值损失的显著水平的分位数,即P r{ P～( t, x～)≤-VaR}=p(1)由式(1),V aR可定义为 P～概率分布显著水平为p的分位数.1.2 受险价值计算中的假设及厚尾问题在实践中,实现受险价值定义有各种不同的方法,总体上可分为参数计算和模拟两大类[1],分别记作V aR/P和V aR/S.前者便于分析计算,但在组合中含期权头寸时误差大;后者适合计算各种组合的受险价值,但计算时间长.为全面的了解各种方法,首要的是理解计算受险价值的基本假设.一般V aR可看作由两个不同的元素构成[2]:・资产组合的市场价值对市场比率变化的灵敏度;・经过预定时间间隔,市场比率变化的联合概率分布.将这两个要素相结合,直观上实现了受险价值的定义:对已知头寸或组合,经过预定时间间隔,在已知显著水平下的最大可能损失.然而,实际计算受险价值非常复杂,要求对这两个要素中的一个或两个作简化假设,譬如RiskM etr ics[3]的V aR计算公式:V aR= w T w t(2)式中 是在标准正态分布中给出相应显著水平的分位数,例如,对99%显著水平, =2.33;w是N×1向量,表示组合中各风险头寸的权重; 是风险头寸年度化收益的N×N相关矩阵; t是以年为单位的持有期.在这个公式中有两组假设,第一是风险头寸的权重中所镶嵌的关于组合价值灵敏度的假设,这是由RiskM et rics所设计的将具体交易映射为风险头寸的技术推导得到的;第二是在头寸收益的相关矩阵 中所镶嵌的关于市场比率变化的概率的假设.在这里,我们只讨论概率分布假设给计算结果带来的问题.据式(1)知,V aR计算与组合盯市价值的收益损失函数 P～尾部分布特性的估计密切相关.在VaR/P 计算中,一般假设市场比率的变化服从联合正态分布.然而,大量文献资料表明,实际金融产品的回报时间序列数据的分布与正态分布相比存在明显的厚尾、非对称特性,这意味着传统的正态分布假定无法完全反映这一特征,事实上,正态分布假定会导致在极端条件下对VaR的低估[4～7].V aR/S的计算则是基于将来的变化会重复过去和现在的历史这样一种认识,以历史数据为基础,对市场比率或组合价格的未来变化做出预测和估计,无需事先假定分布情况.但它需要大量的历史数据,对分布尾部的估计偏差很大.为了解决正态分布假定严重低估极端条件下V aR值问题,近年来许多学者提出了用具有厚尾特征的多种分布函数模型试图解决“厚尾”问题,如t分布[8]、混合正态分布模型[3]、一般误差分布模型G ED[3]等等,这些模型的适用条件都有一定的局限性.近两年来,用极值理论来计算极端情况下的V aR值,引起了广泛的重视.作为一种参数估计方法,极值分布只研究极端值的分布情况,它可以在总体分布未知的情况下,依靠样本数据,得到总体中极值的变化性质,具有超越样本的估计能力.初步的一些研究表明,极值理论具有非常诱人的前景.本文将对此做详细的讨论.本文的结构是,先简要说明了次序统计量和EV T方法模型;然后详细讨论了两类不同的参数估计方法:矩估计法和极大似然估计法,并给出了各自理论推导过程和计算步骤;应用四种汇率历史数据,对这两类方法与正态分布和经验分布的结果进行了比较,并用四种汇率的历史数据进行了计算;最后是结论和对全文的总结.2 极值理论及其参数估计方法极值理论(Ex tr eme V alue T heo ry)是研究次序统计量的极端值的分布特性的理论,首先,介绍有关的设X i ,i =1,…,n ,是取自分布函数为F (x )的总体的一个样本,具有独立同分布的特征(i .i .d .),将其按大小排序:X (1)≥X(2)≥…≥X (n ) 称(X(1),…,X (n ))为次序统计量,令M n =max {X 1,X 2,…,X n } ,则M n 的分布称为极值分布,极值分布有三种形式,分别称为Gumbel ,Fr echet ,W eibull 分布,它们可以用一种统一的形式来表达,即广义极值分布(G EV —genera lized ext reme v alue distr ibutio n ).分布函数:G (x )=ex p -1+x --1/(3)其中1+x ->0, , ( >0), 分别称为位置、尺度、形态参数. =0,对应于Gumbel 分布; >0,F ; <0,对应于W eibull 分布.注意此处的x 值指的是极大值.这里,我们引入吸引域的概念,根据极值理论,对于具有独立同分布特征的样本极大值M n ,总能找到实数a n (a n >0),b n ,使得序列(M n -b n )/a n 依分布收敛与H (x ),即:P r {(M n -b n )/a n ≤x }=F n (a n +b n )→H (x )(4)则称H (x )为分布函数F 的极大吸引域,记做F ∈M D A (H ).由式(3),可得用于计算V aR 的极值分位数为:x p = -[1-{-lo g(1-p )}- ](5)这里,G (x p )=1-p接下来的任务是估计极值分布的具体参数,目前有两类参数估计方法,・极大似然估计法・矩估计法这两类方法各有特点,我们简单地介绍前一种方法,重点讨论后一种方法,并进行了实证比较.极大似然估计法是一种简便易行,使用广泛的好方法,由式(3),可得广义极值分布的极大似然估计函数为:l ( , , )=ki =1-lo g -(1+1/ )lo g 1+x i --1+x i --1/(6) 极大化l ( ,o , ),便可得到相应的 ,o , 估计值.Smith 证明[9],只有当 >-0.5时,极大似然估计才是完全正则的;-1< <-0.5时,极大似然估计存在而非正则; <-1时,极大似然估计不存在.在实际应用中,有资料表明[4,10],大部分金融时间序列的极值是Fr echet 分布,因此极大似然估计一般都是可行的.另外,需要指出的是,以式(3)表示的极值分布称为Block 法,此外还有以域值法表示的极值分布形式,下面的矩估计法就是以域值法为基础的.作为一种重要的统计参数估计方法——矩估计法近年来受到了越来越多的重视,它能够在总体分布未知的情况下,估计得到相关的参数.这一特点使得一些学者对极值分布的矩估计法进行了深入研究.2.2 基于矩估计方法的极值理论模型矩估计法与极大似然估计不同,它并不直接去估计极大值分布的三个参数,而是从样本数据入手,根据幂指数规则估计分布函数.当用极值理论来计算VaR /分位数时,只考虑对尾部的近似表达(n →∞),而不是对整个分布进行建模.实证研究表明,金融价格的时间序列数据的实际分布是“厚尾”分布,并且在极限条件下,所有“厚尾”分布的尾部都可以用幂函数近似表达,这点已为学术界所公认[4,5,11],称为幂指数规则(po wer law ).现在问题的难点,就是找出近似表达分布函数的尾部的具体的幂函数形式.设金融时间序列S t 代表在时刻t 的金融变量,如股价、指数或汇率等,则这些序列所对应的连续复合每日回报可用下式表示:29第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析x t =ln S t -ln S t -1(7) Hill 提出[10],根据幂指数规则,具有厚尾特征的回报分布的尾部可以写为以下的一阶帕雷托幂函数形式 :F -(x )=P r(X >x )≈ax - , >0, x →∞(8) F (x )为极值分布函数,a 是待估参数, 为分布的尾部指数,a 变化很小,在一定的期限内可看成常数.Hill 还给出了 的一阶矩估计形式:=1MMi =1ln X (i )-ln X(M )-1=1MMi =1lnX (i )X (M )-1, X (i )>X (M )(9)X (i )为样本中第i 个降序统计量;M 为临界样本序号.这样,便可以对回报分布的尾部进行拟合,从而得到极端情况下的V aR 值,这里讨论的是对上尾部的估计,同样的方法可以用于下尾部.考察Hill 提出的 估计式,不难发现,正确估计 依赖于适当的选取X (M ),这一临界值的含义是,从第M 个统计量开始,以上(0至M )的数据用于估计 .然而,如何选取M 值Hill 却没有给出,实际应用中只能凭直觉和经验来进行选择,这造成了很大的不便.为了解决极值估计从哪里开始的问题,有许多学者提出了各种方法,其中最引人注意的是Hall 提出的试算法(boo tstr ap )[12],其基本思想是:求使1/^的近似均方误差(AM SE )达到最小的X (M ),以此作为临界值来估计 .但是,Hall 的方法是依分布收敛,而不是依概率收敛,造成的偏差过大.尽管如此,试算法作为一种有效的方法,为上述问题的最终解决指明了研究方向.Jon Danielsson 对此提出了改进办法[5,6],首先,通过使用分布函数的二阶展开形式,他给出了分布函数和分位数的矩估计形式为:xp =X (M +1)M np1(10)p=M nX (M +1)x p(11)含义:X (M +1)表示样本第M +1个降序统计量,n 表示样本数,p 表示显著水平(置信度),其中,M ,X (M +1)、 是需要估计的统计量[4].为找到使1/^的近似均方差(A M SE)达到最小的临界统计量X (M ),Jon Danielsso n 提出了两次抽样试算的思想并给出了相应的证明,其方法具有依概率收敛特点.依据其原理,我们总结出了“两次子样试算法”[13],具体计算步骤如下:第1步 从回报时间序列中选取容量为n 的样本作为初始样本,并按降序排列.第2步 选n 1,求s n 1和m n 1.从样本容量为n 的初始样本中随机抽取R 次容量为n 1的子样本1,应用试算法寻找使AM SE (z (n 1))=1RRr =1[z r (m n 1,n 1)]2最小的临界值s -n 1及其所对应的m n 1.Z (・)是构造统计量,见文献[5].第3步 选n 2,求s n 2和m n 2.令n 2=n 21/n ,从样本容量为n 1的子样本1中随机抽取R 次容量为n 2的子样本2,同样应用试算法寻找使A M S E (z (n 2))最小的临界值s n 2及其所对应的mn 2.第4步 确定初始样本的临界值s n 和m n.第5步 估计参数x p,p ,1/^ 等参数;根据(x p ,p )的对应关系,作出极值分布图.因n 2的取值取决于n 1,在实际中必须确定n 1的取值,这同样可以用试算法来解决.因为n =n 21/n 2,所以有,A M SE(z (m n ))=[A M S E (z (n 1))]2/A MS E (z (n 2(n 1))),(12)对不同的n 1值,按步骤二和步骤三分别计算最优的A M SE(z (n 1))和A M SE(z (n 2)),它们分别与s n 1和s n 2对应,然后计算相应的A M SE(z (m n )),找到使A M SE (z (m n ))最小的n 1,即为最优的n 1.30系统工程理论与实践2000年10月3 实证计算与比较分析研究汇率的变动趋势,不但对于控制外汇风险,而且对与汇率有关、受汇率影响的许多金融产品的风险测量和管理有基础作用.因此,本文分别用日元/美元、马克/美元、英镑/美元、加元/美元汇率历史数据,检验极值理论应用于V aR 计算的有效性,并把基于矩估计的“两次子样试算法”、极大似然估计法计算结果与正态分布、经验分布进行比较.采用的历史数据从1970年1月至1998年11月共6700多个(数据来源:美国联邦储备局IN T ERN ET 网站),极大似然估计法是用S _P LU S 语言编程实现的;矩估计“两次子样试算法”是用M atlab 5.2语言编制计算程序实现的,取得了令人满意的结果.3.1 样本数据基本分析首先,根据式(7)计算汇率的回报,样本各阶矩、极大值、极小值等基本统计量的计算结果如表1,回报数据的频率图如图1(已经过标准化处理),各个样本最大的20个损失值的情况如图2.结合图1、图2和表1,我们可以观察到以下几个现象:图1 回报数据的频率图1)各种汇率每日回报的分布基本上是以零为中心( =0)的分布,只有极微小的偏离;回报的波动性(以方差来度量)具有很强的自相关性(heter oscedastic ),即高/低波动性时期的出现总是具有一定的连续性,表明方差具有自相关性,这可由图2明显看出.另外,四种汇率的波动幅度也是不同的,英镑波动幅度最大,日元和马克次之,加元最小,这也符合人们的直观感觉;2)从图1频率分布形状上看,除英镑外,分布基本上是对称的(正态分布的偏度为0),英镑回报偏度s 331第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析表1 四种汇率回报的样本基本统计量统计量样本日元回报RET NJPY 英镑回报RETNU K 马克回报RET NGM 加元回报RETNCAD样本容量 (N )6706671867186721极小值(min )-5.6302(%)-13.0138(%)-4.1407(%)-1.8642(%)极大值(max) 6.2556(%) 6.1834(%) 5.8678(%) 1.9029(%)中位数(M edian )0.000(%)0.005(%)0.000(%)0.000(%)标准差(Std Dev).0.62331(%)0.70843(%)0.64094(%)0.24869(%)均值(M ean )-0.01356(%)-0.00516(%)-0.01264(%)0.00468(%)方差(Variance )0.3890.5020.4110.062偏度(Sk ew ness )-0.440-1.5220.0310.183峰度(Kurtosis )7.31830.9614.3324.964 3)尾部远离分布中心的极端数据的出现基本上是离散化的(见图2),极端值出现的日期并没有一定的规律性,虽然由于方差的自相关性,使极端数据的出现有丛集现象(Cluster ).图2 各个样本最小20个回报率(负值)的发生时间32系统工程理论与实践2000年10月的波动性在近年来大大的增加了,这意味着与此相关的金融产品的市场风险的增加.3.2 计算结果表2、表3分别是极大似然估计法、基于矩估计方法的“两次子样试算法”的计算结果以及几种方法得到的分布函数的比较,其中极大似然估计法是用S _PL U S 语言专门开发的极值函数功能实现的,它同时给出了各参数估计的标准差;矩估计“两次子样试算法”是用M atlab5.2语言编制程序实现的,计算结果是针对下尾的损失情况.由于计算能力的限制,本文仅就包含了全部历史数据的单个样本情况进行计算和比较分析.有了表2中的计算结果,分别根据式(5)和式(10),就可以得到下尾分布函数的表达式,据此再计算V aR 或分尾数.比较两种估计方法,形状参数 和尾部指数必定存在某种密切的关系,这有待进一步的探讨.由表2可知,尾部指数 均大于2,说明存在“厚尾”现象,这些结果都与上节的观察相一致.表2 极大似然估计法、“两次子样试算法”的计算结果统计量样本日元回报RET NJPY 英镑回报RE TNU K 马克回报RETNGM 加元回报RE TNCAD 极大似然估计似然函数极大值7104.0938455.2097095.993910.8072(标准差)-0.2464440(0.0094481476)-0.31060456(0.011724711)-0.2511025(0.009261429)-0.1111815(0.003704133) (标准差)0.7345865(0.0048751906)0.90929223(0.005904691)0.7190696(0.005212339)0.2869485(0.002081494) (标准差)-0.1238419(0.0009440667)-0.06666401(0.000599681)-0.1625549(0.001332392)-0.1440786(0.001194409)二次子样A M S E 最小值 5.0360e -0043.6371e -004 6.1376e -0043.9990e -004(尾部指数) 4.1533 2.6775 5.9758 5.0100M n(临界序号)812505013X (Mn+1)(临界回报值)1.7935%1.2078%1.9812%0.9732%3.3 分布函数的比较我们根据估计得到的下尾分布函数,分别对不同显著水平下的V aR 进行了计算,并把结果与根据正态分布和经验分布的计算结果进行了比较,详见表3所示.根据表3,不难得到以下的一些结论:・整体上看,正态分布有低估V aR 的趋势,显著水平越小,低估越严重.而两种极值理论方法在估计尾部分位数时准确性优于正态分布,显著水平越小,这种优势越明显.由于正态分布的优势在于估计分布的中段.样本数越多,对中心的估计越准确,其代价是对尾部的估计误差也越大.因此,在本文的大样本条件下,正态分布在尾部的表现显得很差.本文是以简单平均法计算的样本方差,若以指数加权法EM W A 计算样本方差,则正态分布的表现会有所改善,但在极端条件下,仍会低估V aR .这种比较是以经验分布作为参照进行的.・在两种极值理论方法中,基于矩估计的“二次子样试算法”又优于极大似然估计法.在表3中,当显著水平小于0.01时,“二次子样试算法”的结果误差几乎都大大小于极大似然法,这说明了“二次子样试算法”对尾部分布估计的准确性还是相当高的.但是,“二次子样试算法”在实际应用中也有缺陷:计算费事,33第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析表3 四种V aR计算方法结果准确性比较表单位:% p模型方法与误差日元英镑马克加拿大元显著水平0.001经验 [7]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样显著水平0.005经验[34]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样显著水平0.010经验[67]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样显著水平0.050经验[336]正态极值极大似然率极值二次子样误差正态似然子样 -3.0370579 -4.633604 -2.928050 -1.2148898 -1.214072-1.555899-1.282027-0.186425-3.163602-4.722665-2.733179-1.144731-3.233112-4.657736-2.760720-1.10680963.98%66.42%56.22%84.65%4.17% 1.92% 6.67%5.77%4.08%0.52%5.71%8.90%-2.426972-2.624189-2.217774-0.8295674-1.023700-1.309998-1.0807328-0.156200-2.606654-3.746605-2.302178-0.951822-2.194467-2.553416-2.108898-0.80270857.82%50.08%51.27%81.17%7.40%42.77%23.24%14.74%9.58% 2.70% 4.91% 3.23%-1.929056-2.032820-1.819762-0.6765319-0.922687-1.1794928-0.973924-0.140040-2.329700-3.291734-2.078259-0.853923-1.857160-1.971025-1.877936-0.69899152.17%41.98%46.48%86.00%20.77%61.93%25.61%40.69%3.73% 3.04% 3.20% 3.32%-1.0177169-1.0253495-1.0713193-0.3704146-0.654612-0.8331990-0.690469-0.0097366-1.579129-2.139595-1.442935-0.582199-1.260540-1.080535-1.434544-0.15331534.54%16.68%30.95%90.26%55.16%108.67%34.69%57.17%26.05%8.05%43.45%84.67% 注 :样本的经验分布函数形式如下:F n(x)=0,x<X(1)k/n,X(k)≤x<X(k+1)1,X(n)≤x(13)经验分布也不需要事先假定总体的分布形式.用历史模拟法得到的分布函数其实就是一种经验分布.我们可以用经验分布来评估历史模拟法.注34系统工程理论与实践2000年10月值理论的优异表现已经引起了广泛的关注.即便是在更大的显著水平下,在一定的范围内,极值理论的估计效果仍是令人满意的(见表3的p =0.050,日元和英镑).但是,随着显著水平的进一步增加,极值理论与经验分布的差别迅速扩大,在5%水平(下尾)下,极值理论的误差已经大于正态分布的误差了.一般认为,正态分布适合于估计显著水平大于0.05时的V aR 值.・极值理论具有超越样本的估计预测能力.把表2、表3的结果绘成下尾的概率分布图可以看出,在极端情况下,极值理论的分布曲线从经验分布折线中穿过,两者基本重合,这显示了极值理论的极佳的估计效果.它以光滑连续的曲线形式,克服了在极端情况下经验分布曲线(历史模拟法)离散、粗糙的缺陷,可以非常方便的进行灵敏度分析.更为重要的是,它还提供了超越样本的估计预测能力,经验分布由于受到样本容量的限制,无法提供关于分布尾部的更详细信息,而在如此小的概率条件下,只有极值理论给出了其他方法无法做出的预测.・应用极值理论得到的结果是令人鼓舞的,进一步检验极值方法,还必须用逐日更新的历史数据重复计算每日的V aR,并把结果与实际的数值相比较,才能在概率意义下评估方法的准确性,有关文献把这一过程称之为Backtesting.为此,1%的显著水平必须至少计算100天的结果;对于0.1%的显著水平,必须至少计算1000天的结果.这将是本文下一步将完成的工作.在用极值理论计算V aR 时,还有一些其他事项需要注意,这包括数据相依性D ependence 、异方差Hetero scedastic 、多日V aR 计算和多元极值理论.限于篇幅,本文在此不作过多讨论.4 结论本文研究了根据极值理论(EV T )计算受险价值(V aR )的两类不同的方法:矩估计法和极大似然估计法,并给出了各自理论推导过程和计算步骤.同时,把这两类方法与正态分布和经验分布的结果进行了比较.应用四种汇率历史数据进行的实证计算表明,在极端条件下,用极值理论方法估计V aR 具有很高的准确性,而基于矩估计的“二次子样试算法”的结果又优于极大似然估计法.在极端条件下,用极值理论方法得到的V aR 的估计值与经验分布非常接近,而且,极值理论还提供了超越样本的预测能力,说明极值方法比起常用的正态分布假设和历史模拟等方法具有很大的优越性,另外,极值方法有完备的数学理论支持.事实上,极值理论在金融风险测量与管理中的良好应用前景已得到越来越广泛的关注.极值理论的适用范围是在小显著水平下(一般小于1%),在更大的显著水平时,必须把它与别的方法结合使用,才能得到的准确的V aR 值,如Jon Da nielsson 等人提出把历史模拟法与极值理论相结合的半参数化方法[5].到目前为止,极值理论在金融领域的应用还多局限在一元的情景,虽然经过一定的处理,可以把一元极值理论应用于计算金融产品组合的VaR ,但许多情况下组合的价值难以计算,这就非常有必要把极值理论从一元扩展到多元.近一两年来,国际上已有人对多元极值分布模型进行了许多研究[15],我们期待着会有更多的研究成果不断涌现.参考文献:[1] F ra ncis X Diebold .P itfalls and O ppo rtunities in the U se o f Ext reme Value T heo ry in R iskM anag ement [EB /O L ].http ://w ww .whar to n .upenn .edu /,1998.[2] Hall .U sing the boo tstrap t o estim ate mean squar ed err or and select smo othing param eter inno npar ametr ic pr oblems[J].J o f M ult iva ria te A nalysis,1990,32:177～203.[3] Hill.A simple gener al appro ach to inference abo ut t he tail of a distribution[J].A nnals o f St atistics,1975,35:1163～1173.[4] Jon Danielsso n .Beyond the sample :Ex tr eme quantile and pro babilit y estimatio n [EB /O L ].htt p ://w w w.hag.hi.is/～jo nd/.1997a.35第10期极值理论(EV T )方法用于受险价值(V aR )计算的实证比较与分析系统 *中的对偶形式,其它定理的对偶形式恕不赘述.定理4 设系统 *的输入序列为零,令Q *n =C CA max …CA n -1max,这里A max 是系统 *的矩阵列A ~j (j ∈J )的极大元矩阵.若Q *n 的第t 列不等于 ,则x t是系统 *的下限能观分量.定理5 对于系统 *,若存在某个A k ma xB (k =0,1,…,n -1)的第t 行不等于 ,则x t 是系统 *的分别能达的分量.定理4和定理5的证明都要用到定义在D ~中的引理2和引理3.参考文献:[1] 陈文德,齐向东.离散事件动态系统——极大代数方法[M ].北京:科学出版社,1994.[2] G unaw ar dena J .M in -max functions [J ].J Discrete Ev ent Dynamic Sy stems ,1994,4(4):377～406.[3] G auber t S ,Gunawar dena J .T he duality theor em for min -max functions [J ].Comptes Rendus A cadSci[C],1998,326:43～48.[4] Chen W.Cycle time assignment o f DEDS [A ].Pr oceedings o f the Intellig ent Sy st ems and Contr ol Co nfer ence Santa Bar ba ra[C],U SA ,1999.[5] 陈文德.非线性DEDS 的能达性[J ].控制理论与应用,1999,16卷增刊:69～72.[6] ZHAN G M ei ,W U Zhi -ming .Contr ollability and o bser vabilit y pr oblem s in linear diser ete ev entsy st ems mo del o f FM S [A ].Pr oceeding s of D ES ′91[C],Beijing :I nt ernational Academic Pulishers,1991,267～270.(上接第35页)[5] Jon D anielsson.V alue-at-R isk and Ex treme Retur ns[EB/O L ].ht tp://w w w.hag.hi.is/～jond/,1997b.[6] M or gan J P.R iskmetr ics T echnolog y Do coument[M ].4th edit ion,R iskM etr ics G ro up,N 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