第7讲 群的作用

• 为了更广泛地讨论，将“同构”换为“同态”。为此， 引入“作用”概念。 第7讲群的作用
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• 定义1.4.1 • 设G是群,M是非空集合,如果映射 f: G SM 是群同 态,则称 f 为G在M上的一个作用. • 当 f 是单同态时, 则称作用是忠实的。 • 对于a∈G, x∈M,记f(a)(x)为 a◦x［或ax］，于是有 映射 ◦ ：Ｇ×ＭＭ，(a, x) a ◦ x. (◆ ) • 由于f(e)是SM 的单位元,即M上的恒等变换, ? 则 • e ◦ x = x ( x ∈M) （１） • 由同态 f 保持运算, 则 , ∈G, x ∈M 有 • () ◦ x = ◦(◦x)． （２） • 反之, 给定一个Ｇ×Ｍ到Ｍ的映射“◦”，且满足(1)和 (2),那么, 就可以定义一个相应的作用 f: G SM
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• 例4 设 • M={X∈Mn(C): XT=X}, • 则映射
e◦x=x
() ◦ x =◦(◦x)
• GLn(C) ×M M , (A,X) A ◦X=AXAT • 是GLn(C) 在M上的群作用. • 例5 设 M=Mn(C), 则映射
• GLn(C) ×M M ,
• 定义1.4.2(群的直积) 设G、Ｈ都是群，在集合
积G×Ｈ上定义运算
• (g, h)(a,b)=(ga, hb),
• 则G×Ｈ构成一个群, 称为G与H的直积.
• G×Ｈ的单位元是 (eG ,eH), (g, h)-1=(g-1, h-1).
• 例6可以解释为群GLn(C)×GLｍ(C)在M上的一
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• 设a∈G, 令Ia: M M, Ia(x)=a ◦ x, 容易验证 Ia∈SM, • f: a Ia是G到SM的一个映射,且条件(2)保证是 同态,即是G在M上的一个作用,于是有 • 定义1.4.1′ 设G是一个群,M是一个集合,
• 若有映射 ◦ ：Ｇ×ＭＭ，(a, x) a ◦ x. 满足
• 是GLn(C ) 在Mn(C )上的群作用.
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• 例3 A∈GLn(C), X∈Mn(C), 映射 () ◦ x =◦(◦x) • GLn(C) ×Mn(C) Mn(C) , • (A,X) A ◦X=XA
e◦x=x
• 是GLn(C) 在Mn(C)上的群作用吗 ? • 第一条是满足的, 而验证第二条的结果是 XAB=XBA, 这个等式不一定成立. 而映射 • GLn(C)×Mn(C) Mn(C) , • (A,X) A ◦X=XA-1, • 是群作用.
个群作用.
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• 例7 设G是群, HG, 则映射 () ◦ x =◦(◦x) • (i) H×G G , (h, x) h◦x=hx。 • (ii) H×G G , (h, x) h◦x=xh-1。 • (iii) H×G G , (h, x) h◦x=hxh-1。
• 群在集合上的作用是群论中的重要概念, 也是其它数学 分支中的重要概念, 在物理学和化学中有着重要应用. • 根据Cayley定理，每个抽象的群都有一个变换群和它 同构；
• 每个抽象的群G都可以看作某个集合M上的变换群，
• 群G中的元素可以通过一个同构映射而对集合M中的元 素产生作用。 • 有限群G能够同构于集合M上的一个变换群的必要条件 是 |G|│|M|！。
• 都是H 在G上的群作用. (i) 称为左平移； (ii)称
e◦x=x
为右平移； (iii) 称为共轭作用, 相应的变换
• Ia: G G , x axa-1, (a∈H)
• 是G的一个自同构, 称为G的内自同构。
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(A,X) A ◦X=AXA-1
7Baidu Nhomakorabea
• 是GLn(C) 在M上的群作用
• 例6 设 A∈GLn(C), Ｂ∈GLｍ(C ), • Ｍ＝Mn×ｍ(C),
• 则映射
X AXB-1
• 是M上的一个变换, 相当于对X作一系列的初 等行变换和列变换.
• 能否用群作用来解释?
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• (1) e ◦ x = x ( x ∈M, e是G的单位元)
• (2) () ◦ x =◦(◦x)． ( ,∈G, x ∈M )
• 则称G在M上有群作用.
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• 注１
定义1.4.1直接反映了作用概念的本质
意义：把抽象群看着集合上的变换群；而定
义1.4.1′比定义1.4.1好用；
• 注２ 利用定义1.4.1验证群作用时，首先，
对群Ｇ中的每个元素 a 定义Ｍ上的一个变换
Ia ，然后验证 Ia 是一一变换，最后验证映射
f: a Ia 是同态。
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• 例１
∈Sn, 定义
e◦x=x
() ◦ x =◦(◦x)
• ◦ f(x1, x2,…, xn)＝ f(x(1), x(2),…, x (n)) ， • 则 ◦ 是 n 次对称群 Sn 在域Ｆ上的多项式环 F[x1, x2,…, xn]上的一个群作用. • 例2 A∈GLn(C ), X∈Mn(C ), 则映射 • GLn(C) ×Mn(C ) Mn(C ) , (A,X) A ◦X=AX