测量仪器精度分析

Δf = y sin θ ≈y θ
a s = 2f
∴ Δs = s f
y
Δf = s yθ f
分划板不垂直光轴引起的误差
三、仪器误差的综合
误差综合:将局部误差合成为仪器总误差。 由于影响仪器误差的因素很多，各源误差的性质 不同，综合的方法也不同。
1、系统误差
（1）已定系统误差 （2）未定系统误差
该项误差可通过减少Δ ，加大a、h来减少。
（三）使用误差
又称运行误差。 产生原因：仪器在使用过程中，由于热变形、 零部件磨损和材料性质变化等引起的误差。 属性：一般为随机误差。
产生的原因也较多，在设计时应根据具体情 况，采用合理的结构、材料和措施使之减小。
举例：立式光学计使用误差分析
仪器的使用方法——
1、相对测量、接触式，
标准件 测量力 温度
2、开放环境， 3、人为读数
举例：立式光学计使用误差分析
⒈ 标准件误差 ⒉ 测量力引起的误差 ⒊ 温度引起的误差 ⒋ 读数误差
⒈ 标准件误差
光学计的测量为相对测量法。测量时，先用标准 量块（ L ）调零，测量结果为 s+L 。所以量块的误差 影响测量的结果。 由于在仪器使用时，被选量块是随机的，∴该项 误差为随机误差，且量块作为标准件多为多块使用 以凑到所需尺寸，若单块误差为ΔL，若采用n块，则 有标准件产生的使用误差为 ±Δ L 。 n
∴仪器使用时为减小该项误差，一般所选量块个 数不会超过5块。
⒉ 测量力引起的误差
本仪器为接触性测量，∴测量力将会在被测物上产生力 变形，该变形量将会引起被测实际量的变化，而引起误差。
且仪器为相对测量，则测量力引起的测量误差应为测量 力在标准件和被测件上所引起的力变形之差，即应为二次接 触时测量力之差所引起的误差。 若测量时测头为直径为 d的球形测头，被测面为平面，测 头和被测件材料均为钢，则测量力 p所引起的被测件的压陷 量： 2
光路
照明光由反射镜9从侧面窗口 射入，经棱角7反射，照亮分划板 4 上的刻度尺 6 。它位于物镜 11 和 目镜的公共焦面上，并处于光轴 一侧 ( 反射回的刻度尺像位于另一 侧)。此时照亮的刻度尺经10-直角 棱镜折转90˚。经物镜11，到达反 射镜13，再返回到分划板4，从目 镜5中便可观察到刻度尺6的像。 若被测零件有尺寸有偏差，将 使测杆14上、下移动，因而反射 镜偏转α角度，使返回的划线尺像 的零刻度相对于指示线3产生相应 的移动，因而反映出被测零件的 偏差数值。
举例：立式光学计的制造误差分析
y s0 = a 2f
⒈ 分划板 分划板：刻尺的分划误差，
位置不垂直光轴， 安装不在物镜的焦距上
物镜：畸变、焦距误差 ⒉ 物镜
反射镜：杠杆臂长≠a ⒊ 反射镜 测杆：与导套之间的配合间隙 ⒋ 测杆
⒈ 分划板上刻尺的分划误差Δ1所引起的局部误差e1
y s0 a 2f
(1)式代入
s tg a
（1）
反射光线偏转 2φ角。则在分划板上的刻 尺的像偏移度y：
sa y 2f 1 ( s a) 2
整理得：
y f tg2
∵s 为微小位移量， ∴tgφ≈φ ，tg2φ≈2φ。
（2）
s y 2 f ∴ a
y 即： s 0 a 2f
(y 为刻尺在 O’ 点的示值的真值， s0 为被 测量理论值)
称此式为源误差Δi的传递关系，f为误差传递函数。
计算某源误差对仪器精度的影响——局部误差的计算。
方法：微分法、几何法、作用线与瞬时臂方法、数字逼近法、
矢量法、经验估算法、实验测试法等。
1、微分法
应用条件：在具有明确的作用方程式的情况下， 若源误差为各参数误差时，可用对作用方程求 全微分来求各源误差对仪器精度的影响。 定义：仪器的输出与各作用件的参数之间的关 系如能用数学关系式表达，称这个关系式为作 用方程式或仪器方程。
由于其取值具有一定的随机性，所以其合成方法常用：
a. 方和根法： e t
a
pi i 2 ( ) 或 e ti i 1
m
ei
i 1
m
m
2
（t= ti ）
b. 绝对值法：
eb pi i
或
e ei
i 1
其中ti为单项误差的置信系数，t为合成后误差的置信系数。一般 情况下，对于正态分布t=3（置信度为99.7%）
2、计算局部误差；
3、精度综合。
二、误差的传递分析计算方法
三、仪器误差的综合
某一源误差独立作 用于仪器时，使仪 器产生的误差 。
一、误差的来源
1、原理误差 2、制造误差 3、使用误差
（一）原理误差
又称理论/方法/设计误差
产生原因：设计理论不完善、采取近似理论。 属性：系统误差。 减少或消除的措施：增加调整或补偿环节。
由此而引起仪器误差：
a a e2 ds0 y 0.0005 y 0.0005s 2f 2f
e2 与s成正比，∴该项误差可通过减小s来减小。
3. 测杆与导套之间的配合间隙Δ 所引起的误差e3
测杆与导套之间的配合间隙Δ 引起 测杆的倾侧，一方面，使量杆在测量线 方向上有长度变化（如图）：
e30 l l cos l (1 cos ) l 2 sin
2

2
∵α很小，∴sinα /2≈α /2，
e30 l / 2,
2
, h
2
l e30 2 2h
量杆配合间隙引起的误差
3. 测杆与导套之间的配合间隙Δ 所引起的误差e3 另一方面，测杆的倾侧使杠杆长度a发生变化，
举例：立式光学计
ay 立式光学计的作用方程为： s 2f
与仪器输出s有关的参数为分划板刻尺的刻度值y，杠杆的 长度a，物镜焦距f，则：
∂ s ∂ s ∂ s y a ay ds = da + dy + df = da + dy 2 df ∂ a ∂ y ∂ f 2f 2f 2f
若已知刻线的分划误差Δ y，杠杆长度误差Δ a，物镜焦距 误差Δ f为已定系统误差源，用差分代替微分，则： y a ay Δs = Δa + Δy 2 Δf 2f 2f 2f
y
原理
当反射镜为垂直光轴时，像与原像重合， 即y =0。
O’
当测量时测杆移动s 距离后，反射镜绕支
点摆动φ 角。且：
s tg a
（1）
反射光线偏转 2φ角。则在分划板上的刻 尺的像偏移度y： （2） y f tg2 ∵s 为微小位移量， ∴tgφ≈φ ，tg2φ≈2φ。 由于近似线性的处理，便 y 造成了原理误差 Δ s。
（1）已定系统误差
已定系统误差：符号和大小均为已知的误差Δi 。
误差综合方法：按代数和合成。
Δk = ∑ Δi pi
或 Δk = ∑ ei
i =1
m
其中: pi 为误差传递系数，ei为Δi的局部误差。
（2）未定系统误差
i
未定系统误差：其大小、方向或变化规律未被确切掌握， 只能估计出其极限范围,± 。
1 a0 (t t 0 ) L （L为量块长度）
被测件测量时温度为t1、线膨胀系数为a1， ∴温度引起的被 测件相对量块的长度变化为 2 (a1 a0 )(t1 t )l （l为量块长度）
∵由温度引起的测量误差应为 Δ 1、Δ 2 二项随机误差合成（不
计温度引起的其他零部件的源自文库差）。
l l Δl Δa = sinα ≈ tgα = 2 2 2h
由式 s
Δa
= atgφ 。则 Δa 引起的误差：
Δe = Δa tgφ ≈ Δa s Δ = l s a 2ha l s
Δa
量杆配合间隙引起的误差
l2 e30 2 ，为二次量，忽略不计。 2h
Δ ∴ e3 = e 30 +Δe ≈ Δe = 2ha
第四章
测量仪器的精度分析
思考题
• 以立式光学计和球径仪为例，分析仪器 的测量精度。
精度分析
1、分析影响仪器精度的各项误差来源及特性，
2、计算其大小和其对仪器总精度的影响程度，
3、由上得出仪器的综合误差/总体精度。
仪器的精度分析可分为以下三个阶段进行：
内容：
1、寻找仪器的源误差； 一、误差的来源
0.45
3
p d（经验公式）。
上式微分：
2 1 d 0.45 3 p 3 pd
为测量力的变化Δp引起的误差。
⒊ 温度引起的误差
∵是相对测量，则由温度变化引起量块和测件在长度上有 变化，且由于被测件与量块在温度和材料上的不同，∴温度引 起的二者长度的变化也不同。
一般测量环境的标准温度为t0(=20℃～25℃)，实际环境温度 为t，量块线膨胀系数为a0，则温度引起的量块的误差为：
2f s 2 s ( ) ( ) 1 0 a a y 解得： 2 f (2 f y ) 2 4 s y a 2
原理误差Δ s
s 0 a Δ s与读数有关， s f ( 1 ( y / f ) 2 1) 就仪器而言，该 a y 项误差是未定系 2 4 ( y / f ) ( y / f ) 统误差（只知其 1 ( y f ) 2 级数扩开，取前三项= 1 范围，具体值不 2 8 确定），但对某 s f ( y / f )2 ( y / f )4 则： a y 2 8 一测量量而言Δ s 是已定系统误差 y y y （∵y值一定）。 s0 a s a ( )3
Δa Δy = s( + a y Δf ) f
若各源误差为随机的，标准差为 σ y 、 σa 、σf ，则：
σa 2 σy 2 σf 2 σs = s ( ) + ( ) + ( ) a y f
为三项局部误差方和根。
运用微分运算解决误差计算问题简单、快速、合成关系明确，
但只适用于源误差为包含于作用方程中的参数误差的情况，对
Δ 1为y的不准确值/误差，∴上式微分得
a ds0 dy 2f
dy 1 , ds0 e1
a e1 1 2f
⒉ 物镜的畸变Δy所引起的局部误差e2 物镜的畸变Δ y为物镜在其近轴区与远轴区的横向放大率 不一致而造成的误差。 一般光学计物镜的相对畸变设计要求为0.0005,
∴Δ y=0.0005y。
s y 2 f ∴ a
即：
s0 a
2f
立式光学计原理图
(y 为刻尺在 O’ 点的示值的真值， s0 为被 测量理论值)
原理
当反射镜为垂直光轴时，像与原像重合， 即y =0。
当测量时测杆移动s 距离后，反射镜绕支
点摆动φ 角。且：
2tg y f tg 2 f 1 tg 2
2f
2 f 2f
s s0 s a ( y
1 3 ) 2 s0 2f a
3
（二）制造误差
产生原因：由于材料，加工尺寸和相互位置的 误差而引入的仪器误差。 说明：制造误差是不可避免的，但并不是所有 的零件误差（如目镜，光源等）都造成仪器的 误差，起主要作用的是构成测量链的零部件。
∴
12 2 2
⒋ 读数误差
人为读数必然引入误差，除粗大误差不计，仪器单 次读数误差可以估计为仪器分度值的 1/10（Δ 40）。由于 光学计确定一个量值需要两次读数，∴读数误差应为两 次的平方和根：
2 40
二、误差的传递分析计算方法
误差的传递分析计算：将源误差Δi折算到仪器被测量si（输 入）的变化值——仪器（局部）误差的过程，得出： Δ=f(Δi)。
于不能列入作用方程的源误差，则需采用其他的方法进行分析 计算。
2、几何法
根据源误差与其局部误差之间的几何关系，
分析计算源误差对误差精度的影响。
举例：立式光学计
*侧杆与导套的配合间隙Δ 引起的误差； *立式光学仪的分划板不垂直光轴引起的误 差。
立式光学仪的分划板不垂直光轴引起的误差
立式光学仪的分划板与光轴 垂直面有θ 的夹角，则相当于不 同y（刻度值）处的焦距有误差 Δ f。
举例：立式光学计
示值范围： ±100μm 测量范围：180mm
1—反射镜；2—目镜；3、19—示值范围调节 螺钉； 4—光学计管； 5—螺钉； 6—立柱， 7—横臂；8 —横臂紧固螺钉；9—横臂升降螺 母，10一底座；11一工作台调整螺钉；12一 圆工作台；13 —测杆抬升器； 14—测帽；15 —光学计管固定螺钉；16 —偏心调节螺钉； 17 —偏心环固定螺钉；18 —零位微调螺钉