材料力学7应力和应变分析

第七章
应力和应变分析 强度理论
1
目录
目 第七章 应力状态分析 录
应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 三向应力状态 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常见的强度理论
2
目录
7—1 应力状态的概念
1、问题的提出 铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
( x
y ) sin
2
xy
cos 2
23
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
(
9
目录
10
目录
11
目录
12
目录
13
目录
14
目录
示例一
S平面
F
F
1
1
F
A
1
15
目录
S平面
n
F
1
F
1
90
同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.
16
目录
7—1 应力状态的概念
l
S平面 y
SF
a
1
T
4
z
x
2
Fa T
3 Mz
1
τ
T Wp
σ
Mz Wz
3
M
Fl
τ
T Wp
目录
σ
Mz Wz
20
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
2.斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
t
y
Fn 0 Ft 0
21
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
列平衡方程
Fn 0
x αa
n
a
xy
dA
dA xy(dAcos )sin x (dAcos ) cos yx
x
主平面的方位：
tg20
2 xy x
y
60 0.6
60 40
代入 表达式可知
0 15.5, 0 15.5 90 105.5
主应力 1 方向： 0 15.5
主应力 3 方向：0 105 .5
30
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
（3）主应力单元体：
y xy
x
即应力的面的概念。
7
目录
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同，此即应力的点的概念。
8
目录
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，
称之为这一点的应力状态（State of
the Stresses of a Given Point）。
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
22
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
3
2
1
19
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
1.正负号规则
y yx
x a
xy
x
y
α x
a
n
a
xy
x
t yx y
正应力：拉为正；反之为负 切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
17
7—1 应力状态的概念
z
z
zx zy
3
2
xz yz
xx
xy
yx
y y
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示，并且 1 2 3
该单元体称为主应力单元。
18
目录
7—1 应力状态的概念
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
d d
( x
y ) sin 2 2 xy cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0
2(
σx
σy 2
) s
i
n
2α0
τx
yc
os
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零
24
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
tan 20
2 xy x
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
max
x
2
y
1 2
x
y
2
4
2 xy
min
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
x
y
2
4
2 xy
max
1 2
x y
2
4
2 xy
26
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
27
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
60 40 60 40 cos(60) 30sin(60)
2
2
x 9.02MPa
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
60 40 sin(60) 30cos(60) 2
25
目录
4. 切应力极值和方向
确定切应力极值
1 2
(
x
y ) sin
2
xy
cos 2
d d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2
设α＝α1 时，上式值为零，即
( x y ) cos 21 2 xy sin 21 0
tan
21
x 2 xy
y
则切应力极值，
min
1 2
3
目录
7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
4
目录
一、应力状态的概念及其描述
（一）、应力状态的概念
5
目录
轴向拉压
F
同一横截面上各点应力相等： F
A
F
同一点在斜截面上时： cos2
2
sin
2
6
目录
此例表明：即使同一点在不同方位截 面上，它的应力也是各不相同的，此
58.3MPa
28
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
y xy
（2）主应力、主平面
max
x
2
y
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
2
y
(
x
Baidu Nhomakorabea
y
)2
2
xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
29
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
y xy
3 1
15.5
31
目录
7-3 二向应力状态分析--图解法
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7-3 二向应力状态分析--图解法