万有引力场

万有引力场中的“高斯定理”及其应用

众所周知，库仑定律是用于描述带电体之间的相互作用的重要定律，其数学表达式为

F = k

22

1 r q

q^

r（1）

而万有引力定律是用来描述物体之间的相互吸引的基本定律，其数学表达式为

F = -G

22

1 r m

m^

r（2）

比较（1）、（2）两式，我们不难发现，两者有着极其相似的特点。它们都服从平方反比定律，库仑定律中的q和万有引力定律中的m相当，库仑定律中的k与

万有引力定律中的G相当。静电力是一种保守力，同样万有引力也是保守力。但它们也有各自的特殊性，万有引力总是引力，库仑力既可以是引力，也可以是斥力；库仑力存在于两带电体之间，而万有引力存在于任何两物体之间。那么我们能否将静电场的有关知识移植于万有引力场中去呢？在这方面已有不少人做过研究，我们可以将有关静电场的研究方法运用于万有引力场中，以新的视觉来重新认识万有引力定律的深刻内涵。

那么，我们还是首先来回顾一下静电场的有关内容。

1．静电场

库仑定律描述了两个相距一段距离的带电体之间存在着相互作用力，两者之间的相互作用力式怎样传递的呢？通过研究探索，人们终于认识到任何带电体的周围都存在着由电荷激发的电场，相互作用力正是通过这种场来传递的。

电荷⇔电场⇔电荷

为了描述电场本身的性质，我们引入一个物理量——电场强度E

E = F／q

若要描述点电荷组产生的电场强度，则可利用场强叠加原理

E = ∑E i

为直观、形象地了解电场中电场强度地空间分布情况，在电场中可以画出一系列的曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的电场强度的方向一致，这些曲线称为电场的电场线。正负点电荷的电场线如下图所示：

图1 图2

电场线图既能反映电场强度方向的分布情况，又能根据电场线密度的大小反映出电场强度在各处的强弱情况。

电场中的一个闭合曲面S的电通量，可表示为

Φe = ⎰

S

E·d S

对于真空中的任何静电场，通过电场中任何闭合曲面S的电通量Φe，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和∑q的1/ε0倍，与闭合曲面外的电荷无关。即

Φe = ⎰

S E·d S =

1

ε

∑q i（3）

电场的这个规律称为电场的高斯定理。从中我们可以发现静电场的一个基本性质，那就是任何静电场都是有源场。

静电场的另一个基本性质可由其环路定理来描述

⎰

E·d l = 0

L

即任何静电场都是无旋场。

静电场的“高斯定理”和“环路定理”是静电场必须遵守的两条基本规律。

由静电场的环路定理可知静电场力是保守力，它所做的功与路径无关，只决定于受力电荷q的起点P和终点Q的位置。保守力场中的物体是有势能的，q从P点移到Q点的势能为

W = W（P）- W（Q）= q⎰Q P E·d l

取q在无限远处的电势能W（∞）= 0 ，则q在P点的电势能为

W（P）= q⎰∞P E·d l

定义电势为

U （P ）=

q

P W ）

（ = ⎰∞P E ·d l

点电荷组的电场电势满足电势叠加原理

U （r ） = ∑U i (r)

对于点电荷，电场强度E 、电势U 分别为 E =

41πε2r Q ^

r U =0

41πεr

Q 2． 万有引力场

从近代物理学的观点看，自然界物质的4种相互作用，即引力相互作用、电荷相互作用、弱相互作用和强相互作用，都是通过物体周围的空间中存在的场对对

方作用的。物体与物体之间的万有引力也正是通过引力场来传递的。

万有引力⇔引力场⇔万有引力

2．1引力场强度

为了定量地讨论引力场在空间的分布和传播，我们引入引力场强度的概念。引力场的基本性质是它对物体施加作用力，为此我们与电场强度的定义类比来定义引力场强度。先引入一试探质点到引力场中以测量它受到引力场给它的作用力，按万有引力定律，试探质点在引力场中任一点P所受的力F与其质量m成正比，但比值F/m是一个与试探质点质量无关的矢量，它反映着引力场本身的性质，我们把它定义为该点的引力场强度，用g来表示，所以g=F/m，与电场强度E = F/ q类同。

既然引力场强度是一个矢量，它也满足矢量叠加原理。合引力场强度等于各个质点单独存在时在空间P点的引力场强度的矢量和，即

g = g 1+ g 2+ g 3+……=∑g i 点质量在其周围产生的引力场强度为

g = F /m = - 2r

GM ^

r （4）

与点电荷产生的电场强度E =0

41 2r

Q ^

r 类同。 2．2引力线与质通量

从场的观点来看，任何物体在其周围的空间激发了一个“引力场”，并对处于其中的任何物体有力的作用。亦即万有引力是通过引力场来传递的。为了形象的描绘引力场的分布，我们引入引力线的概念。引力线是许多带箭头的连续曲线，在场中任一处沿引力线并指向场源的方向为该处场强的方向。

我们已经由（4）式知道，引力场强度的方向与场源到场点的矢径方向相反，

故引力场强度的方向始终指向场源，如图3所示

比较图1、2、3，我们可以看出，

引力场中点质量的引力线图与静电场中负点电荷

的电场线图完全类似。

同理，我们也可以定义质通量这一物理量，

对引力场中一个闭合曲面

S的质通量为

g·d S (5) 图3

Φm =

S

2.3高斯定理

万有引力场与静电场如此相似，是否可以得到一个形如（3）式的等式作为万有引力场中的“高斯定理”呢？如果存在，表达式会是怎样呢？下面具体来推导。