g第七章 在最优化问题中的比较静态分析
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产生的影响，经济学上将其称作该参数的影子价格。
第4节 斯拉斯基方程
• 消费者面临的效用最大化问题
Max U (x1, x2 ) s.t. p1x1 p2x2 Y
拉格朗日函数 Z U (x1, x2 ) ( p1x1 p1x2 Y )
一阶条件 Z p1x1 p1x2 Y 0
Z1 U1 p1 0
dai
ai
ai x*
•例
厂商利润函数
pL1/4K1/2 wL rK
最优点
L*
p4 64r 2w2
K*
p4 32r 3 w
最大值函数
M ( p, r, w) pL*1/ 4K *1/ 2 wL* rK *
p4 64r 2 w
r 对其关于 求导
dM dr
p4 32r 3
w
而利用包络定理
影响的度量,且x*本身充当加权因子,但显然这就使导数与 价格变化相关,于是,必须将它解释成价格变化的收入效应 !
– 当Px上升时,消费者实际收入的下降将会对x*产生类似于Y实际 下降而产生的影响,所以用-(x*/B)表示
H
dx1
dp1
dx2
dp2
• 1、p1变化而 p2 和 Y 保持不变
d x1dp1
H
dx1
dp1
dx2 0
利用克拉默法则求 dx1
dx1 x1dp1
H12 H
dp1
H 22 H
从而
x1* p1
x1*
H12 H
*
H 22 H
这就是斯拉斯基方程，第一部分为“替代效应”而第二部 分为“收入效应”
• 本章在无约束最优化和有约束最优化框架下对其进行探讨
第2节 无约束最优化
M (a) optimal f (x; a) f (x*(a); a)
• M (a) 为最优（最大或者最小）值函数
• 定理：包络定理 I ai 变动对 M (a) f (x*(a); a) 产生影响的两种途径：
（i）直接影响，由于 ai 是 a 的一个元素而 a 包含在 f 中，
dM
K* p4
dr r L*,K*
32r3w
第3节 有约束最优化
• 有约束最优化问题
optimize f (x; a) s.t. g(x; a) b
拉格朗日函数
Z f (x;a) (b g(x;a))
最优解
x* x*(c)
最优值函数 M (c) f (x*(c); a)
包络定理 II
（ii）间接影响，通过 x*
包络定理：
dM (a) f (x; a)
dai
ai x*
• 证明：
dM (a) n f (x*(a); a) x*j f (x*; a)
dai
j 1
x j
ai
ai
而由最优化一阶条件可知
那么
f (x*(a); a) f (x; a)
0
x j
x j x*
dM (a) f (x*; a) f (x; a)
Z2 U2 p2 0
• 马歇尔需求函数 x1* x1*( p1, p2 ,Y )
x2* x2* ( p1, p2 ,Y )
拉格朗日乘子 * *( p1, p2 ,Y ) • 对一阶条件关于 p1 求导
x1
p1
x1 p1
p2
x2 p1
0
U11
x1 p1
U12
x2 p1
p1
p1
0
U 21
第七章 最优化问题中的比较 静态分析
第1节 引言
• 在最优化问题中，最优解为参数的函数，在经济模型中， 参数常常是外生变量而最优解为内生变量，在最优化问题 相关联的比较静态分析中我们感兴趣的是：一，当某一个 参数或者外生变量变化时，最优解或者均衡值如何发生变 动？二，当某一个参数变动时，目标函数的最优值如何变 动？
• 2、收入效应
价格不变而收入变动
d dY
H
dx1
0
dx2 0
利用克拉默法则
dx1
H12 H
dY
那么
x1* Y
价格
H12 H
保持不变
• 3、替代效应
收入随价格变化而变化使得消费者的效用水平保持不变
或者
dU U1dx1 U2dx2 0
U1 U2
dx1
dx2
0
有一阶条件可知，均衡时
U1 p1 U 2 p2
那么
p1 p2
dx1
dx2
0
或者
p1dx1 p2dx2 0
前面已知
p1dx1 p2dx2 dY x1dp1 x2dp2
则外生变量的变化必须使得
dY x1dp1 x2dp2 0
只有商品1价格变化时，有
由克拉默法则
d 0
H
dx1
dp1
dx2 0
x2* p1
0 p1 p2
p1 U11 U 21
x1
0
H
若对一阶条件等式两边取微分，则
p1dx1 x1dp1 p2dx2 x2dp2 dY 0
U11dx1 U12dx2 p1d dp1 0
U21dx1 U22dx2 p2d dp2 0
整理可得
•
d dY x1dp1 x2dp2
• 求导可得
dM n Z * x*j Z * * Z*
dci j1 x*j ci * ci ci
由一阶条件可知
Z * x*j 0
Z *
*
0
另外
Z * Z
ci ci x* ,*
从而得证
• 作为影子价格的拉格朗日乘子*
dM Z *
db b x*,*
• 故*告诉我们的是参数 b 增加一单位对目标函数最优值所
x1 p1
U 22
x2 p1
p2
p1
0
用矩阵表示为
0 p1 p2
p1 U11 U 21
p2 U12 U 22
p1 x1 p1 x2
x1
0
p1
也即 H 为加边海赛矩阵
H
பைடு நூலகம்
p1 x1 p1 x2
x1
0
p1
由克拉默法则可得
dx1 dp1 H22 / H
则 就有
x1* p1
效用
保持不变
*
H 22 H
x1* p1
x1*
x1* Y
价格
保持不变
x1* p1
效用
保持不变
收入效应 替代效应
– 对于上述第一个结果的解释
• (x*/Px)表明Px的变化如何影响x的最优购买数量 • T1=-(x*/B)x*,看起来它似乎是Y变化对最优购买量x*的
dM Z dci ci x* ,*
其中 x*和* 为拉格朗日函数的临界点
证明 将最优点代入拉格朗日函数
Z *(c) f (x*(c), *(c); a) *(c)[b g(x*(c))]
由于最优解满足约束条件从而 b g(x*(c)) 以及
Z *(c) f (x*(c); a) M (c)
第4节 斯拉斯基方程
• 消费者面临的效用最大化问题
Max U (x1, x2 ) s.t. p1x1 p2x2 Y
拉格朗日函数 Z U (x1, x2 ) ( p1x1 p1x2 Y )
一阶条件 Z p1x1 p1x2 Y 0
Z1 U1 p1 0
dai
ai
ai x*
•例
厂商利润函数
pL1/4K1/2 wL rK
最优点
L*
p4 64r 2w2
K*
p4 32r 3 w
最大值函数
M ( p, r, w) pL*1/ 4K *1/ 2 wL* rK *
p4 64r 2 w
r 对其关于 求导
dM dr
p4 32r 3
w
而利用包络定理
影响的度量,且x*本身充当加权因子,但显然这就使导数与 价格变化相关,于是,必须将它解释成价格变化的收入效应 !
– 当Px上升时,消费者实际收入的下降将会对x*产生类似于Y实际 下降而产生的影响,所以用-(x*/B)表示
H
dx1
dp1
dx2
dp2
• 1、p1变化而 p2 和 Y 保持不变
d x1dp1
H
dx1
dp1
dx2 0
利用克拉默法则求 dx1
dx1 x1dp1
H12 H
dp1
H 22 H
从而
x1* p1
x1*
H12 H
*
H 22 H
这就是斯拉斯基方程，第一部分为“替代效应”而第二部 分为“收入效应”
• 本章在无约束最优化和有约束最优化框架下对其进行探讨
第2节 无约束最优化
M (a) optimal f (x; a) f (x*(a); a)
• M (a) 为最优（最大或者最小）值函数
• 定理：包络定理 I ai 变动对 M (a) f (x*(a); a) 产生影响的两种途径：
（i）直接影响，由于 ai 是 a 的一个元素而 a 包含在 f 中，
dM
K* p4
dr r L*,K*
32r3w
第3节 有约束最优化
• 有约束最优化问题
optimize f (x; a) s.t. g(x; a) b
拉格朗日函数
Z f (x;a) (b g(x;a))
最优解
x* x*(c)
最优值函数 M (c) f (x*(c); a)
包络定理 II
（ii）间接影响，通过 x*
包络定理：
dM (a) f (x; a)
dai
ai x*
• 证明：
dM (a) n f (x*(a); a) x*j f (x*; a)
dai
j 1
x j
ai
ai
而由最优化一阶条件可知
那么
f (x*(a); a) f (x; a)
0
x j
x j x*
dM (a) f (x*; a) f (x; a)
Z2 U2 p2 0
• 马歇尔需求函数 x1* x1*( p1, p2 ,Y )
x2* x2* ( p1, p2 ,Y )
拉格朗日乘子 * *( p1, p2 ,Y ) • 对一阶条件关于 p1 求导
x1
p1
x1 p1
p2
x2 p1
0
U11
x1 p1
U12
x2 p1
p1
p1
0
U 21
第七章 最优化问题中的比较 静态分析
第1节 引言
• 在最优化问题中，最优解为参数的函数，在经济模型中， 参数常常是外生变量而最优解为内生变量，在最优化问题 相关联的比较静态分析中我们感兴趣的是：一，当某一个 参数或者外生变量变化时，最优解或者均衡值如何发生变 动？二，当某一个参数变动时，目标函数的最优值如何变 动？
• 2、收入效应
价格不变而收入变动
d dY
H
dx1
0
dx2 0
利用克拉默法则
dx1
H12 H
dY
那么
x1* Y
价格
H12 H
保持不变
• 3、替代效应
收入随价格变化而变化使得消费者的效用水平保持不变
或者
dU U1dx1 U2dx2 0
U1 U2
dx1
dx2
0
有一阶条件可知，均衡时
U1 p1 U 2 p2
那么
p1 p2
dx1
dx2
0
或者
p1dx1 p2dx2 0
前面已知
p1dx1 p2dx2 dY x1dp1 x2dp2
则外生变量的变化必须使得
dY x1dp1 x2dp2 0
只有商品1价格变化时，有
由克拉默法则
d 0
H
dx1
dp1
dx2 0
x2* p1
0 p1 p2
p1 U11 U 21
x1
0
H
若对一阶条件等式两边取微分，则
p1dx1 x1dp1 p2dx2 x2dp2 dY 0
U11dx1 U12dx2 p1d dp1 0
U21dx1 U22dx2 p2d dp2 0
整理可得
•
d dY x1dp1 x2dp2
• 求导可得
dM n Z * x*j Z * * Z*
dci j1 x*j ci * ci ci
由一阶条件可知
Z * x*j 0
Z *
*
0
另外
Z * Z
ci ci x* ,*
从而得证
• 作为影子价格的拉格朗日乘子*
dM Z *
db b x*,*
• 故*告诉我们的是参数 b 增加一单位对目标函数最优值所
x1 p1
U 22
x2 p1
p2
p1
0
用矩阵表示为
0 p1 p2
p1 U11 U 21
p2 U12 U 22
p1 x1 p1 x2
x1
0
p1
也即 H 为加边海赛矩阵
H
பைடு நூலகம்
p1 x1 p1 x2
x1
0
p1
由克拉默法则可得
dx1 dp1 H22 / H
则 就有
x1* p1
效用
保持不变
*
H 22 H
x1* p1
x1*
x1* Y
价格
保持不变
x1* p1
效用
保持不变
收入效应 替代效应
– 对于上述第一个结果的解释
• (x*/Px)表明Px的变化如何影响x的最优购买数量 • T1=-(x*/B)x*,看起来它似乎是Y变化对最优购买量x*的
dM Z dci ci x* ,*
其中 x*和* 为拉格朗日函数的临界点
证明 将最优点代入拉格朗日函数
Z *(c) f (x*(c), *(c); a) *(c)[b g(x*(c))]
由于最优解满足约束条件从而 b g(x*(c)) 以及
Z *(c) f (x*(c); a) M (c)