晶体的宏观对称性和点群
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§1.6 晶体的宏观对称性和点群 —— 晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现
（a）圆 b）正方形 c）等腰梯形 d）不规则四边形
.
晶体的宏观对称性的描述
—— 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不 同的宏观对称性
概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的不变性
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A’点 —— A’点必有一个格点
且有 B'A' nAB — n为整数
.
B'A' nAB
B'A'A(B 12co)s
12co sn
cos:1~1
n 1 , 0, 1 , 2, 3
00,60,090,012 0,108 0 0
—— 任何晶体的宏观对称 1, 2, 3, 4, 6 性只能有以下十种对称素 1, 2, 3, 4, 6
.
1) 绕三个立方轴转动 —— 共有3个对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴
转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
1 0
3)
正交变换
0
1
—— 1个对称操 0作 0
0
0 1
—— 正四面体 对.称操作共有24个
3 正六面柱的对称操作
1) 绕中心轴线转动
, 2,, 4, 5
33 3 3
——
5个
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 正交变换
—— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
.
4 对称素 “对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴
一个物体绕某一个转轴转动 2 / n ，以及其倍数不变时
对称轴之间的夹角将受到严格的限制
两个2重轴之间的夹角只能是 300 ,405 ,600 ,900
—— 三维情况下，正交变换的表示
x x' a11 a12 a13x
y
y'
a12
a22
a23y
z z' a13 a13 a33z
{aij},i, j1,2,3 —— 其中矩阵是正交矩阵
.
保持两点距离不变的变换都是正交变换。如 旋转和反射
—— 中心反演的正交矩阵
1 0 0 0 1 0
0
0
—— 该轴为物体n重旋转轴，计为 n
一个物体绕某一个转轴转动 2 / n 加上中心反演的联
合操作，以及其联合操作的倍数不变时
—— 该轴为物体n重旋转－反演轴，计为 n
.
立方体
立方轴 ( , , 3 ) 为4重轴，计为4
22 同时也是4重旋转－反演轴，计为 4 面对角线 ( ) 为2重轴，计为2
同时也是2重旋转－反演轴，计为 2 体对角线轴 ( 2 , 4 ) 为3重轴，计为3
33 同时也是2重旋转－反演轴，计为 3
.
正四面体 立方轴是4重旋转－反演轴 —— 不是4重轴 面对角线是2重旋转－反演轴 —— 不是2重轴 体对角线轴是3重轴 —— 不是3重旋转－反演轴
.
对称素2 的含义
—— 先绕轴转动，再作中心反演 A’’点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，
—— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
.
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
表明对称素 2 存在一个对称面M
—— 对称素为镜面
—— 用 mor 表示
一个物体的全部对称操 作构成一个对称操作群
.
5 群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列
性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
具有一定的限制 描述晶体周期性的布喇菲格子
{ l1a 1l2a 2l3a 3}
—— 经历一个对称操作晶体不变，相应的布喇菲格子不变
.
晶体点群的构成 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以
用 l1a 1l2a 2来描述
—— 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度 B点转到B’点 —— B’点必有一个格点
1
—— 空间转动，矩阵行列式等于＋1 —— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
.
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变 —— 物体的对称操作越多，其对称性越高
1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动
, , 3
22
—— 9个对称操作
.
2) 绕6条面对角线轴转动 —— 共有6个对称操作
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则
—— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
.
单位元素 —— 不动操作
任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴 角度－ ；中心反演的逆操作仍是中心反演；
连续进行A和B操作 —— 相当于C操作
A 操作 —— 绕OA轴转动/2 —— S点转到T’点
.
00, 600, 900, 120,01800
十种对称素
1, 6, 4, 3, 2 1 , 6 , 4 , 3 , 2
—— 长方形、正三角形、正 方形和正六方形可以在平面 内周期性重复排列
—— 正五边形及其它正n边 形则不能作周期性重复排列
.
点群 —— 以10种对称素为基础组成的对称操作群 —— 由对称素组合成群时，对称轴的数目
B 操作 —— 绕OC轴转动/2
—— T’点转到S’点
S’
.
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
表示为 CBA
—— 群的封闭性
wk.baidu.com
可以证明
A(B)C (A)B C
—— 满足结合律
S’
.
6 点群 —— 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性 —— 不同的形式原子排列形成的宏观对称性，对称操作也
3) 绕4个立方体对角线
轴转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
4) 正交变换
1 0 0 0 1 0 0 0 1
—— 1个对称操作
.
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
.
2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面 体的四个顶角上，正 四面体的对称操作包 含在立方体操作之中 —— 金刚石晶格
（a）圆 b）正方形 c）等腰梯形 d）不规则四边形
.
晶体的宏观对称性的描述
—— 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不 同的宏观对称性
概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的不变性
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A’点 —— A’点必有一个格点
且有 B'A' nAB — n为整数
.
B'A' nAB
B'A'A(B 12co)s
12co sn
cos:1~1
n 1 , 0, 1 , 2, 3
00,60,090,012 0,108 0 0
—— 任何晶体的宏观对称 1, 2, 3, 4, 6 性只能有以下十种对称素 1, 2, 3, 4, 6
.
1) 绕三个立方轴转动 —— 共有3个对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴
转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
1 0
3)
正交变换
0
1
—— 1个对称操 0作 0
0
0 1
—— 正四面体 对.称操作共有24个
3 正六面柱的对称操作
1) 绕中心轴线转动
, 2,, 4, 5
33 3 3
——
5个
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 正交变换
—— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
.
4 对称素 “对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴
一个物体绕某一个转轴转动 2 / n ，以及其倍数不变时
对称轴之间的夹角将受到严格的限制
两个2重轴之间的夹角只能是 300 ,405 ,600 ,900
—— 三维情况下，正交变换的表示
x x' a11 a12 a13x
y
y'
a12
a22
a23y
z z' a13 a13 a33z
{aij},i, j1,2,3 —— 其中矩阵是正交矩阵
.
保持两点距离不变的变换都是正交变换。如 旋转和反射
—— 中心反演的正交矩阵
1 0 0 0 1 0
0
0
—— 该轴为物体n重旋转轴，计为 n
一个物体绕某一个转轴转动 2 / n 加上中心反演的联
合操作，以及其联合操作的倍数不变时
—— 该轴为物体n重旋转－反演轴，计为 n
.
立方体
立方轴 ( , , 3 ) 为4重轴，计为4
22 同时也是4重旋转－反演轴，计为 4 面对角线 ( ) 为2重轴，计为2
同时也是2重旋转－反演轴，计为 2 体对角线轴 ( 2 , 4 ) 为3重轴，计为3
33 同时也是2重旋转－反演轴，计为 3
.
正四面体 立方轴是4重旋转－反演轴 —— 不是4重轴 面对角线是2重旋转－反演轴 —— 不是2重轴 体对角线轴是3重轴 —— 不是3重旋转－反演轴
.
对称素2 的含义
—— 先绕轴转动，再作中心反演 A’’点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，
—— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
.
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
表明对称素 2 存在一个对称面M
—— 对称素为镜面
—— 用 mor 表示
一个物体的全部对称操 作构成一个对称操作群
.
5 群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列
性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
具有一定的限制 描述晶体周期性的布喇菲格子
{ l1a 1l2a 2l3a 3}
—— 经历一个对称操作晶体不变，相应的布喇菲格子不变
.
晶体点群的构成 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以
用 l1a 1l2a 2来描述
—— 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度 B点转到B’点 —— B’点必有一个格点
1
—— 空间转动，矩阵行列式等于＋1 —— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
.
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变 —— 物体的对称操作越多，其对称性越高
1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动
, , 3
22
—— 9个对称操作
.
2) 绕6条面对角线轴转动 —— 共有6个对称操作
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则
—— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
.
单位元素 —— 不动操作
任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴 角度－ ；中心反演的逆操作仍是中心反演；
连续进行A和B操作 —— 相当于C操作
A 操作 —— 绕OA轴转动/2 —— S点转到T’点
.
00, 600, 900, 120,01800
十种对称素
1, 6, 4, 3, 2 1 , 6 , 4 , 3 , 2
—— 长方形、正三角形、正 方形和正六方形可以在平面 内周期性重复排列
—— 正五边形及其它正n边 形则不能作周期性重复排列
.
点群 —— 以10种对称素为基础组成的对称操作群 —— 由对称素组合成群时，对称轴的数目
B 操作 —— 绕OC轴转动/2
—— T’点转到S’点
S’
.
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
表示为 CBA
—— 群的封闭性
wk.baidu.com
可以证明
A(B)C (A)B C
—— 满足结合律
S’
.
6 点群 —— 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性 —— 不同的形式原子排列形成的宏观对称性，对称操作也
3) 绕4个立方体对角线
轴转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
4) 正交变换
1 0 0 0 1 0 0 0 1
—— 1个对称操作
.
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
.
2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面 体的四个顶角上，正 四面体的对称操作包 含在立方体操作之中 —— 金刚石晶格