二次曲线、指数函数、两点式拟合回归方程在混凝土凝结时间算法中的应用(定稿英文)

的数据处理，得到粗略结果。那么回归分析、方差分析、插值法等数学方法的应用，会 使问题较好解决。
混凝土凝结时间利用贯入阻力法测定，绘制初凝时段和终凝时段贯入阻力与时间关 系曲线，以 3.5MPa 及 28MPa 划两条平行横坐标的直线，直线与曲线交点对应的横坐标 值即为初凝时间与终凝时间。那么受作图与读图影响，结果自由度较大。为此，我们可 以对所测数据回归分析，建立凝结时间与贯入阻力关系的回归方程，利用解析法直接求 解。本文分别利用线性方程、指数函数、二次曲线等数学模型，对所测数据进行拟合， 得到回归方程。在解算过程中涉及矩阵求逆等问题，因此又采用 Microsoft Excel 函数， 使得运算简便，可操作性强。
表1
混凝土拌合物凝结时间试验结果
分别绘制了凝结时间与贯入阻力关系曲线图 1，凝结时间自然对数（lnt）与贯入阻力 自然对数（lnp）关系曲线图 2。前着明显呈曲线状，不能直接建立直线方程，后者则 近似于直线，可建立直线方程。
图 1 凝结时间与贯入阻力关系曲线图
图 2 凝结时间 lnt 与贯入阻力 lnp 关系曲线图
x1
⎢∑ x2
⎢⎣ i=1
n
∑ x1
i =1
n
∑ x12
i =1
n
∑ x2x1
i =1
∑n ⎤
x2 ⎥
i =1 n
⎥
∑i=1
n
x1
x2
⎥ ⎥
Байду номын сангаас
⎥
∑i=1
x22
⎥ ⎥⎦
在 Microsoft Excel 中计算，结果见表 3；
（2.2.3）
表3
EXCEL 计算结果
A3=COUNT(A1:I1)，即为矩阵元素 a11 B3=SUM(A1:I1),即a12 C3=SUMSQ(A1:I1)，即a13 A4=SUM(A1:I1),即a21 B4=SUMSQ(A1:I1)，即a22 C4=SUMPRODUCT(A1:I1,A1:I1,A1:I1)，即a23 A5=SUMSQ(A1:I1),即a31 B5=SUMPRODUCT(A1:I1,A1:I1,A1:I1)，即a32 C5=SUMPRODUCT(A1:I1,A1:I1,A1:I1,A1:I1)，即a33 则（A3：C5)区域为矩阵A；
拟合，建立回归方程。即贯入阻力p（A5:A7）区间及对应的凝结时间t(B5:B7）区间，
为初凝时段；贯入阻力p（A7:A10）区间及对应的凝结时间t(B7:B10）区间，为终凝时
段。在表1中解算。
A20=GROWTH(B5:B7,A5:A7,3.5)；即初凝时间813min。
B20=GROWTH(B7:B10,A7:A10,28)；即终凝时间1122min。
Application of Point Conic, Exponential Function and Two Regression Equations in Algorithm of Concrete Setting Time
Zhang Long, An Yingdong, ZengQingwen
(Chinese hydropower three innings co. LTD investigation and design institute )
Abstract: Determination of concrete setting time test, which personnel carry out in accordance with the standard implementation steps. However there is not unified mathematical approach in the current domestic regulations or industry standards, for the subsequent processing of experimental data. So it will lead to different results of data processing. This paper introduces the application of point conic, exponential function and two regression equations in algorithm of concrete setting time, as well as using the function of sample solution, such as LINEST、CORREL、MINVERSE and so on in Microsoft Excel, further promoting the scientific of experimental data and standardized treatment.
指数函数进行贯入阻力与凝结时间整区间拟合，相关系数R2=0.9484
4、两点式计算凝结时间
两点式是将初凝时间区域及终凝时间区域，分段建立直线方程。如表1中凝结时间
区域(B5:B6)对应的贯入阻力区域（A5:A6）视为直线，即初凝时间区域，建立直线方
程；凝结时间区域(B9:B10)对应的贯入阻力区域（A9:A10）视为直线，即终凝时间区
合为最佳直线方程，其相关系数接近 1，说明建立的直线方程比较可靠，提高了混凝土
凝结时间的解算精度。
2、二次曲线回归计算
凝结时间与贯入阻力关系图呈曲线，在横坐标[630,1170]区域内，形似抛物线状，
因此，建立二次曲线回归方程。
y=d2x2+d1x+d0
表2
二次曲线函数计算表
（2.2.1）
t=x1 t2=x2
将 A，B 代入式（2.1.2）、式（2.1.3）中；
A12=EXP((LN(3.5)-A11)/B11)，即 ts=821min B12=EXP((LN(28)-A11)/B11)，即 te=1123min
C11=CORREL(C2:C10,D2:D10),即相关系数 R2=0.9970
从求解结果看，对混凝土凝结时间及贯入阻力求自然对数，然后利用最小二乘法拟
域，建立直线方程。利用两点式得方程：
t − t1 = p − p1 t2 − t1 p2 - p1
（2.4.1）
解方程（2.4.1）得：
t =（ p − p1 - t1 ） p2 - p1 t2 - t1
（2.4.2）
分别将3.5MPa、28MPa，代入式（2.4.2）；即为初凝时间，终凝时间。
利用Microsoft Excel中函数求解，以表1为例； 初凝时间：A13=TREND（B5:B6，A5:A6,3.5）；即为811min。 终凝时间：B13=TREND(B9:B10,A9:A10,28)；即为1124min。
二次曲线、指数函数、两点式拟合回归方程 在混凝土凝结时间算法中的应用
张 龙 安映东 曾庆文
（中国水电三局有限公司勘测设计研究院）
[摘要] 混凝土凝结时间的测定，试验技术人员按照规范步骤实施，但是对实验数据 的后续处理，目前国内规程规范或行业标准没有统一的数学方法，因此会导致不同的数 据处理结果。本文介绍了二次曲线、指数函数、两点式等拟合回归方程在混凝土凝结时 间算法中的应用，并且用 Microsoft Excel 中 LINEST、CORREL、MINVERSE 等函数进行 示例解算。进一步促进实验数据科学化、规范化处理。 [关键词] 混凝土 凝结时间 函数 回归方程 数据处理
D3=MINVERSE(A3:C5) ； 选 择 以 D3 单 元 格 开 始 的 数 据 区 域 （ D3:F5), 按 F2 键 ， 再 按 Ctrl+Shift+Enter键，得到数据区域（D3:F5),则为A的逆矩阵A-1。
G3=SUM(A2:I2)
G4=SUMPRODUCT(A1:I1,A2:I2)
（2.2.4）
− d1 + t=
d12 − 4d（2 d0 − p）
2d2
（2.2.5）
分别将3.5MPa，28MPa代入式（2.2.5）中：
初凝时间：B6=(-I4+(I4*I4-4*I5*(I3-3.5))^0.5)/(2*I5)
终凝时间：F6=(-I4+(I4*I4-4*I5*(I3-28))^0.5)/(2*I5)
三、凝结时间与贯入阻力趋势线图分析
根据表 1 数据，绘制了凝结时间 t 与贯入阻力 p 曲线图及凝结时间 lnt 与贯入阻力 lnp 图，并且分别添加了趋势线，如图 3、图 4、图 5，图中的直线或平滑曲线，为趋势 线。图 3 凝结时间 lnt 与贯入阻力 lnp 折线图，与所添加的趋势线直线，几乎重合，相 关系数 R2=0.9970，说明分别对凝结时间及贯入阻力求自然对数，拟合为直线方程较可 靠。对凝结时间及贯入阻力分别求自然对数，使得凝结时间及贯入阻力数值不同幅度降 低，接近线性关系，这样提高了凝结时间的解算精度。此方法普遍适用于混凝土凝结时 间解算。
9 组，则对应 9 组方程，用待定系数法求解 d2、d1、d0，利用矩阵表示：
⎡dˆ 0⎤
⎢⎡∑n y
⎤ ⎥
⎢ i=1
⎥
∑ Dˆ
=
⎢⎥ ⎢dˆ 1 ⎥
=
A
-1
⎢ ⎢
n
⎥ x1y ⎥
⎢⎢⎣dˆ
2
⎥ ⎥⎦
⎢ i=1
⎥
⎢n ⎥
⎢∑ x2 y⎥
⎣ i=1
⎦
（2.2.2）
⎡ ⎢
n
⎢n
∑ A
=
⎢ ⎢ ⎢
i =1 n
630
684
744
804
858
949
1044
396900 467856 553536 646416 736164 900601 1089936
1104
1170
1218816 1368900
p=y
0.5
1.1
1.9
3.2
5.5 10.1 15.0
25.0
34.5
将表 2 代入式 （2.2.1），求解 d2、d1、d0，则可以得到二次曲线方程。因为实验数据为
凝结时间与贯入阻力图呈曲线，分别添加二次曲线趋势线、指数函数趋势线，从图 4 可知，二次曲线趋势线，与贯入阻力与凝结时间曲线图吻合最好，相关系数 0.9932， 计算结果也相对可靠；指数函数次之，相关系数 0.9484，计算结果可靠程度略低。对于 选用曲线函数回归方程，应根据贯入阻力与凝结时间实际曲线图，选择图形比较吻合的， 相关系数更接近 1 的回归方程模型。
根据式（2.1.1）求得当贯入阻力 3.5MPa 时为初凝时间 ts，贯入阻力 28MPa 时为终 凝时间 te，求解得
ln3.5 - A
ts = e B
（2.1.2）
ln28 - A
te = e B
（2.1.3）
线性回归计算实例：
已知贯入阻力(MPa)及累计时间 t（min），对应的自然对数，lnp 及 lnt，见表 1；
相关系数：R2=0.9932
3、指数函数回归计算
凝结时间与贯入阻力建立指数函数回归方程。并且结合 GROWTH函数特点，以贯入
阻力为横坐标，凝结时间为纵坐标，建立贯入阻力与凝结时间曲线图，回归方程如下：
t=bmp
（2.3.1）
利用GORWTH函数求解，为了提高计算准确度，将初凝时段与终凝时段分别进行指数函数
将 lnt 作为横坐标，lnp 作为纵坐标，代入方程（2.1.1），用最小二乘法求回归系数 A
及 B。利用 Microsoft Excel 中函数求解。
B11=INDEX(LINEST(C2:C10,D2:D10),1),即 B=6.6359
A11=INDEX(LINEST(C2:C10,D2:D10),2),即 A=-43.2757
Keyword: concrete Setting time function regression equation data processing
一、引言
混凝土试验过程中，应严格按照相关规程操作。但是对实验数据的处理，以求平均 值、加权平均值或读趋势线等作简单化处理，这样往往会使严谨的试验数据，经粗放式
G5=SUMPRODUCT(A1:I1,A1:I1,A2:I2)
I3=D3*G3+E3*G4+F3*G5；即为d0 I4=D4*G3+E4*G4+F4*G5；即为d1 I5=D5*G3+E5*G4+F5*G5；即为d2 令式（2.2.1）中，p=y，t=x，则 p=d2t2+d1t+d0 将d0、d1、d2代入式（2.2.4）中求得t：
二、混凝土拌合物凝结时间计算
1、线性回归计算
所谓线性回归方法，就是将贯入阻力 p 与凝结时间 t 建立线性关系。
Lnp=A+Blnt
（2.1.1）
式中 t—时间，min；
p—贯入阻力，MPa
A、B—线性回归系数
由于凝结时间与贯入阻力呈曲线图，不能直接建立线性关系。因此对贯入阻力 p 及时间
t 求自然对数，这样会使其线性关系明显，在建立直线方程。