多元函数的极值与最优化问题
7(10)无约束最优化问题
无约束最优化问题
三,极值的充分条件
定理2 充分条件) 定理2 (充分条件) 设函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 的某邻域内连续 有一阶及二阶连续偏导数 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0, 令 fxx ( x0 , y0 ) = A, fxy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C,
18
无约束最优化问题
作业
习题7.10 (112页 习题7.10 (112页) (A)2. 3.(2) 6. (B) 1. 2. 6.
19
�
一元函数 f ( x , y0 ) 在点 x0 处取得有极小值 处取得有极小值, 表示动点 P ( x , y ) ∈ U ( P0 , δ ),且 P ( x , y )沿直线
17
无约束最优化问题
y = y0上, 并沿该直线 即沿平行于 轴的正负 并沿该直线(即沿平行于 即沿平行于Ox轴的正负
方向)趋向于 方向 趋向于P0 ( x0 , y0 )时, f ( x, y) > f ( x0 , y0 ). 它们的关系是: 它们的关系是 取得极大(小 值 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极大 小)值 f ( x0 , y )和f ( x , y0 )分别在 y0点和x0点 取得极大(小 值 取得极大 小)值.
下半个圆锥面
x
点取极大值. 也是最大值). 在(0,0)点取极大值 (也是最大值 点取极大值 也是最大值 马鞍面
z
O
y
O
x
y
4
无约束最优化问题
多元函数的极值与最优化问题
P0 ,
P
Rn
)
例1 函数 z 3x2 4 y2
(1)
在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必要条件)
设函数 且在该点取得极值，则有
具有偏导数，
f x ( x0, y0 ) 0 ,
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
证 不妨设z f ( x, y)在点 P ( x0 , y0 ) 处有极大值,
即 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), ( ( x, y) U(P))
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x, y0 ) U ( P ))
P0( x0 , y0 ), y ( x0 , y0 ) 0.
z
f ( x,
(x, y) y) 0
在点(
x0
,
y0
)处取得
极
值
z f [ x, y( x)]在x x0处取得极值.
dz dx
x x0
(
fx
fy
d d
y) x x x0
0
而 dy
x ( x0 , y0 )
d x x x0 y ( x0 , y0 )
计
算
：f
(
函数( xfi xi , yi )
,在y(i该i)区1(,域i2,D1上,,2n一,);定, n取) 得最值
2 求 f ( x, y)在D的边界上的最值m0 , M0;
(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件
利用偏导数研究多元函数最优化问题
利用偏导数研究多元函数最优化问题多元函数最优化问题是数学中的重要研究领域之一。
在解决这类问题时，利用偏导数可以提供有价值的信息。
本文将介绍如何利用偏导数研究多元函数的最优化问题。
偏导数的概念偏导数是多元函数微分学中的一个重要概念。
对于一个多元函数，其自变量可能是多个变量，而不仅仅是一个变量。
而偏导数指的是当其他自变量保持不变时，函数对某一个自变量的变化率。
偏导数可以用符号∂ 表示，例如∂f/∂x 表示函数 f 对变量 x 的偏导数。
利用偏导数求最优解在多元函数最优化问题中，常常需要寻找函数的最大值或最小值。
这可以通过求函数的偏导数来实现。
具体步骤如下：1. 找到函数的所有偏导数。
对于一个多元函数，可能存在多个自变量，因此需要对每个自变量求对应的偏导数。
2. 将偏导数置为零，并解方程组。
令每个偏导数为零，可以得到一组方程。
解这个方程组可以得到函数的驻点（也就是函数可能的最优解）。
3. 求取二阶偏导数。
为了判断这些驻点是否为函数的极值点，需要求取二阶偏导数。
4. 利用二阶偏导数判断驻点的类型。
根据二阶偏导数的正负性可以判断驻点是极大值、极小值还是鞍点。
5. 将判断的结果应用到原函数中。
通过寻找函数的极值点，可以找到函数的最大值或最小值。
注意事项在利用偏导数研究多元函数最优化问题时，需要注意以下几点：- 需要求取各个偏导数时，注意其他变量保持不变。
只有在其他自变量保持不变的情况下，才能正确求取偏导数。
- 在解方程组时，要考虑方程组可能存在多个解的情况。
可能存在多组驻点，需要找到所有可能的最优解。
- 求取二阶偏导数时，需要注意求导的次序。
不同的求导顺序可能得到不同的结果，因此需要谨慎求取。
- 在判断驻点类型时，需要根据二阶偏导数的正负性进行判断。
结论利用偏导数研究多元函数最优化问题，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。
通过求取偏导数、解方程组和判断二阶偏导数，我们可以确定函数的驻点类型并找到最优解。
这为解决实际问题提供了有力的数学工具。
极值定义
一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。
通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。
最值（最优化）问题占有较大比重。
最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。
二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。
该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。
这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
设函数f（x）在x。
附近有定义，如果对x。
附近的所有的点都有f（x）<f（x。
），则f（x。
）是函数f（x）的一个极大值。
如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。
），则f （x）。
是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。
若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。
变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。
（xi,其中i是下标。
下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数的极值和最优化问题
多元函数的极值和最优化问题多元函数是指同时含有两个或更多个变量的函数。
在数学中，研究多元函数的极值和最优化问题是一项重要的工作。
通过寻找函数取得最大值或最小值的点，可以在各种实际问题中找到最优解。
对于多元函数，极值点可以是极大值或极小值。
极值点可以通过求偏导数和解方程组来求解。
在求解时，首先需要计算函数的偏导数，然后令偏导数等于零，解此方程组可以得到极值点。
为了更好地理解多元函数的极值问题，下面以一个简单的例子进行解释。
假设有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^2 ，我们的目标是找到这个函数的极值点。
首先，我们计算函数 f(x, y) 对 x 和 y 的偏导数。
偏导数是指在其他变量保持不变的情况下，对某一变量求导。
对于本例中的函数 f(x, y)，我们有以下偏导数：∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y接下来，我们令偏导数等于零，并解这个方程组：2x = 02y = 0从方程组可以得到 x = 0，y = 0。
因此，函数的极值点为 (0, 0)。
同时，我们还需要判断这个极值点是极大值还是极小值，或者是鞍点。
为了做出判断，我们可以利用二阶偏导数的判定方法。
通过计算二阶偏导数的行列式，判断其正负性来确定。
在本例中，我们计算函数 f(x, y) 的二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂y² = 2二阶偏导数的行列式为H = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (2)(2) - 0 = 4由于 H 大于零，所以函数的极值点 (0, 0) 是极小值点。
除了求取多元函数的极值点外，最优化问题也是多元函数的重要应用之一。
最优化问题的目标是找到函数取得最大值或最小值的点，并且通常还需要满足一些约束条件。
最常见的最优化问题是线性规划和非线性规划问题。
在线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (9)
1 1 1 , y = , z = − , 代入式(8)解得 λ λ 2λ
λ=
当λ =
3 3 或λ = − , 2 2
3 1 2 2 时, 可得 x = − , y = , z = − , 2 3 3 3
3 1 2 2 当 λ = − 时, 可得 x = , y = − , z = . 2 3 3 3
第九节
多元函数的极值与最优化问题
习题 8-9
1. (1) 解
求下列函数的极值: f ( x, y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) ; (1) 先求函数的驻点. (2) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) .
2 ⎧ ⎪ f x = (6 − 2 x)(4 y − y ) = 0, 求得五组解 解方程组 ⎨ 2 f = (6 x − x )(4 − 2 y ) = 0, ⎪ y ⎩
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 (1 ≤ y ≤ 2) ,
由 f ′( x, y ) = −2 + 6 y = 0 , 得 y =
1 (舍去). 3
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 对应于 y = 1, y = 2 处的值分别为 2,9.
因此通过比较可知, f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值为 11, 最小值为 2. 注意 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续, 在 D 内可微分, 且只有有限个驻 点, 那么求二元函数在 D 上的最值的一般方法是, 先求函数在 D 内的所有驻点处的 函数值, 再考虑函数在 D 的边界上的最大值和最小值, 把它们加以比较, 其中最大 的就是最大值, 最小的就是最小值.
多元函数的极值与最优化
多元函数的极值与最优化多元函数是指具有多个自变量的函数，它在数学及实际问题中都扮演着重要的角色。
在求解多元函数的极值及最优化问题中，需要运用一系列数学方法和工具，如导数、梯度、约束条件等。
本文将简要介绍多元函数的极值和最优化，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、多元函数的极值多元函数的极值是指在一定范围内，函数取得最大值或最小值的点。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，常用的求得其极值的方法是求导。
假设函数的各个偏导数存在，则需要解方程组∂f/∂xi = 0 (i = 1, 2, ..., n)来求得驻点。
进一步，可以通过二阶偏导数的符号来判断该点是否为极值点。
通过求解多元函数极值问题，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值，从而指导实际问题的决策。
例如，在经济学中，利润函数可以看作是一个多元函数，通过求解其极值，可以帮助企业寻找最佳的经营策略。
二、多元函数的最优化多元函数的最优化问题是指在一定范围内，寻找使得函数取得最大值或最小值的自变量的值。
在最优化问题中，除了极值点外，还需要考虑约束条件。
最优化问题可以通过无约束最优化和约束最优化两种情况来进行求解。
无约束最优化问题是指在没有约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步接近最优解。
约束最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有拉格朗日乘数法、KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数，从而转化为无约束最优化问题进行求解。
最优化问题在现实中有着广泛的应用，如在工程设计中，需要优化设备的性能指标，可以利用最优化方法找到最佳的设计参数值。
三、多元函数的极值与最优化的实际应用多元函数的极值和最优化在实际中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：在经济学中，通过求解效用函数的最大值问题，可以帮助消费者做出最优的消费决策；求解利润函数的最大值问题，可以帮助企业找到最佳的生产策略。
多元函数的极值概念及其应用
多元函数的极值概念及其应用在微积分领域中，极值是函数理论中一个重要的概念。
当我们研究多元函数时，我们也需要理解多元函数的极值概念以及应用。
本文将介绍多元函数的极值概念，并探讨其在实际问题中的应用。
一个多元函数可以定义为一个以多个变量为自变量的函数，通常表示为f(x₁, x₂, ..., xn)。
多元函数的极值概念是指函数取得的最大值或最小值。
对于单变量函数，我们可以使用导数来判断其极值点；而对于多元函数，我们可以利用偏导数和二阶偏导数来判断其极值。
在多元函数的极值问题中，我们首先要找到函数的临界点。
临界点是函数的偏导数等于零或者不存在的点。
对于一个具有n个自变量的多元函数，我们需要计算出这n个自变量的偏导数，然后令其等于零来求解各个自变量的值。
只有在这些值处取得的函数值才有可能是极值。
接下来，我们需要对求解得到的临界点进行判断，以确定是否为极值点。
我们可以使用二阶偏导数来判断这些点的性质。
如果所有二阶偏导数都存在且满足一定条件，我们可以通过计算二阶偏导数的行列式（即海森矩阵）来判断这些点是极小值、极大值还是鞍点。
除了求解多元函数的极值点，我们还可以利用极值概念来解决一些实际问题。
例如，在经济学中，我们可以利用多元函数的极值概念来最大化或最小化一个经济指标。
假设我们有一个多元函数表示一个企业的成本，我们可以通过求解该函数的最小值来确定最佳生产策略。
类似地，我们也可以利用多元函数的极值概念来解决最优控制问题、最优化问题等多个领域的实际问题。
此外，在物理学和工程学中，多元函数的极值概念也具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过求解多元函数的最小值来确定物体在重力作用下的平衡位置；在工程学中，我们可以利用多元函数的极大值来确定最优设计方案。
总之，多元函数的极值概念在数学和其他学科中都具有广泛的应用。
通过理解多元函数的极值概念，我们可以更好地解决实际问题，并优化我们的决策和设计。
因此，对于任何研究多元函数的学生或研究人员来说，深入理解和应用多元函数的极值概念是非常重要的。
多元函数的极值与最优化问题
要点二
算法改进
在算法方面，我们可以进一步改进现 有的最优化算法，以提高它们的效率 和稳定性。此外，我们也可以探索新 的算法，以更好地处理大规模和高维 度的数据。
要点三
应用拓展
在应用方面，我们可以进一步拓展我 们的研究到更多的领域，包括但不限 于机器学习、数据科学、统计学、运 筹学等。此外，我们也可以将我们的 研究应用到实际问题中，以解决实际 问题并产生实际价值。
极值的判定条件
必要条件
如果$f(x_0)$是极小值，那么$f_{xx}(x_0) geq 0$；如果$f(x_0)$是极大值，那 么$f_{xx}(x_0) leq 0$。
充分条件
如果$f_{xx}(x_0) > 0$，则$f(x_0)$为极小值；如果$f_{xx}(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$为极大值。
投资组合优化
在金融领域，投资者需要选择一组资产进行投资，以实现风险和收益的平衡。这需要解 决多元函数的极值问题，找到最优的投资组合。
在工程领域的应用
结构优化设计
在机械、建筑等领域，工程师需要通过优化设计，使 得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，重量最轻 、成本最低。这需要求解多元函数的极值问题，找到 最优的设计方案。
应用领域
我们的研究在许多领域都有广泛的应用，包括机器学习、数据科学、统计学、运筹学等。这些领域中的 许多问题都可以转化为多元函数的极值和最优化问题，我们的研究为解决这些问题提供了重要的理论依 据和工具。
研究展望
要点一
新的理论工具
尽管我们已经取得了一些重要的成果 ，但仍然有许多挑战需要解决。例如 ，我们可以进一步探索新的理论工具 ，以更好地理解和解决多元函数的极 值和最优化问题。
多元函数的极值和最优化问题
多元函数的极值和最优化问题多元函数的极值和最优化问题是微积分中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要确定一个函数在给定约束条件下的最大值或最小值，以寻找最优解。
这个过程通常称为最优化问题的求解。
在多元函数中，我们考虑的是具有多个自变量和一个因变量的函数。
首先，我们来讨论多元函数的极值。
类似于一元函数中的极值点，对于多元函数而言，极值点是函数局部最大值或最小值出现的点。
对于多元函数的极值问题，我们需要使用梯度和Hessian矩阵来判断是否存在极值点。
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向；Hessian矩阵是一个方阵，它包含了函数的二阶偏导数。
通过分析梯度和Hessian矩阵的特征值，我们可以判断局部极值点的存在性和类型。
若函数的Hessian矩阵在某一点的特征值全为正，则该点为局部最小值点；若全为负，则为局部最大值点。
若特征值出现正和负的情况，则该点为鞍点。
然而，需要注意的是，极值点并不一定是最优解，最优解可能是全局最大值或最小值点。
在解决最优化的问题时，我们常常需要引入约束条件。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，它们限制了自变量的取值范围。
最优化问题分为无约束和有约束两种情况。
对于无约束的最优化问题，我们可以使用梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等方法来寻找最优解。
这些方法的基本思想是通过迭代计算，逐步逼近最优解。
梯度下降法是一种常用的无约束优化方法。
它利用函数的梯度信息来确定下降的方向，不断更新自变量的取值，直到达到极小值。
牛顿法则利用二阶导数信息，通过二次逼近的方式求解最优解。
拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，用近似的方式来代替Hessian矩阵，从而减少计算复杂度。
对于有约束的最优化问题，我们需要引入拉格朗日乘子法或KKT条件来求解。
拉格朗日乘子法将约束条件与目标函数联立起来，通过求解拉格朗日函数的驻点来确定最优解。
KKT条件是一种常用的方法，在满足一定条件下，将有约束优化问题转化为无约束优化问题，再应用相应的方法求解。
偏导数与多元函数的极值与最优化
偏导数与多元函数的极值与最优化多元函数的极值与最优化是数学中重要的问题之一。
在解决这类问题时，我们经常使用偏导数的概念和方法。
本文将详细介绍偏导数的定义、计算方法以及如何利用偏导数来确定多元函数的极值和最优解。
一、偏导数的定义与计算方法对于多元函数而言，由于其自变量是多个变量，因此其求导的方式也略有不同。
偏导数就是多元函数对其中某一个自变量的偏导数。
1. 偏导数的定义设函数f(x1, x2,..., xn)是一个多元函数，其定义域为D。
对于函数f(x1, x2,..., xn)中的任一自变量xi（1≤i≤n），当其他自变量保持不变时，函数f对xi的导数就称为偏导数，记作∂f/∂xi或者fxi'(x1, x2,..., xn)。
2. 计算偏导数的方法计算偏导数的方法可以通过求取对应的偏导数公式，对函数中的每一个自变量进行求导运算。
以下为一些常用的偏导数计算方法：- 当函数f(x1, x2,..., xn)为线性函数时，偏导数f对任意自变量xi的偏导数为常数系数，即偏导数为a。
- 若函数f(x1, x2,..., xn)为常数函数，那么函数对任意自变量xi的偏导数为0。
- 若函数f(x1, x2,..., xn)为多项式函数，对应自变量xi的偏导数为xi的幂指数减一乘以该幂指数前的系数。
- 若函数f(x1, x2,..., xn)为指数函数，对应自变量xi的偏导数为xi乘以指数函数的导数。
二、多元函数的极值与最优化当我们研究多元函数时，经常关注的问题是如何确定函数的极值与最优解。
通过计算偏导数来找到函数的驻点，再通过二阶偏导数的计算来判断驻点的类型。
1. 驻点的判断对于函数f(x1, x2,..., xn)的驻点的判断可以通过计算偏导数来实现。
驻点即偏导数均为0的点，即对于函数f的所有自变量xi，∂f/∂xi=0。
找到这些点可以帮助我们进一步确定极值与最优解的存在性。
2. 极值的判断通过计算二阶偏导数，我们可以进一步判断驻点的类型，从而确定函数的极值情况。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem），简称极值问题，是一个常见的数学问题，也是非常实用的数学方法之一。
它可以求解多元函数的极大极小值。
条件极值问题在工程、经济、物理等各个领域都有广泛的应用，是现代科学研究的重要工具。
本文将就极值问题的一般性定义、求解方法、实例应用和最优化原理等方面作一简要介绍。
一、极值问题的一般性定义条件极值问题是一个多元函数的极大极小值的求解问题，也称为最优化问题。
它就是求解函数f(x)在给定条件C(x)=0下的极大或极小值，这里f(x)表示目标函数，C(x)表示约束条件。
二、极值问题的求解方法求解极值问题的关键是利用数学方法求解多元函数的极大或极小值。
一般有以下几种方法：1、求导法。
首先要利用微积分求出函数极值的判据，即最优原理，然后利用求导法求出函数的极值；2、等价转化法。
首先将求解的极值问题转化为等价的标准型解，然后利用判别函数的变化情况求解极值；3、线性规划法。
这是极值问题最常用的求解方法，它可以把极值问题转化为一个线性规划问题，然后求解出解析解；4、善用数值方法。
求解极值问题时，也可以善用数值方法，比如牛顿法、梯度下降法等。
三、实例应用1、求一个凸多元函数的极小值。
这里给出一个凸多元函数f(x)=x1+2x2+3x3。
求它的极小值问题，其约束条件为x1+x2+x3=1，即C(x)=x1+x2+x3-1=0。
利用求导法研究函数极值判据，其一阶导数为f(x)=1+2+3=6，它的极小值出现在导数恒为零的地方。
将约束条件带入判别函数，即F(x)=f(x)-λC(x)=x1+2x2+3x3-λ(x1+x2+x3-1)=0，其中λ为拉格朗日乘子，由于极小值时一阶导数恒为零，所以可以得到F(x)=6-3λ=0，可以求出λ=2，此时可以把原问题转化为等价的标准型问题，即F(x)=x1+2x2+3x3-2(x1+x2+x3-1)=0，然后求解这个非线性方程组，得出x1=0, x2=0.5,x3=0.5,此时f(x)=3，即极小值为3。
多元函数的广义极值和约束下的最优化问题
多元函数的广义极值和约束下的最优化问题在高等数学中，讨论函数的极值是一个很基础也很重要的问题。
对于单变量函数，我们只需要找到导数为0的点，跟踪一下这些点的上下文境，就可以确定极值点。
但是对于多元函数，这种方法并不一定奏效。
本文将介绍多元函数的广义极值问题以及在约束下的最优化问题。
一、多元函数的广义极值我们先来看一个具体的例子。
如果要求f(x,y) = x^2 + y^2 + 2x+ 4y的最小值，那么我们可以用导数的方法，求出对x求导，对y 求导，解方程组求出驻点，然后验证哪些驻点是极值点。
但是如果我们要求f(x,y) = x^2 - y^2的最大值，这个方法就没用了，因为我们无法求出导数为0的点。
这时候我们就需要用到广义极值。
首先我们来定义一下边界点和内部点。
对于一个点(x,y)，如果它在某个给定的区域内部，并且在这个区域内可以找到一个半径非常小的圆，使得这个圆内的所有点都比(x,y)的函数值更小，那么我们就可以称(x,y)为内部点。
而如果在这个区域内不存在这样的圆，那么(x,y)就是边界点。
（如果你对这个定义不太理解，可以想象一下函数图像）接下来我们来看广义极值的定义：- 如果在某个区域的每一个内部点处，函数f(x,y)的函数值都不超过(x,y)的函数值，那么(x,y)是函数f(x,y)在这个区域内的极大值点。
- 如果在某个区域的每一个内部点处，函数f(x,y)的函数值都不小于(x,y)的函数值，那么(x,y)是函数f(x,y)在这个区域内的极小值点。
以上两个定义都可以简洁地表示为：极值点是无法在内部找到更大/小的点。
由此可以推断，如果一个点不是极大值点也不是极小值点，那么它一定是一个鞍点（即函数值在一些方向上上升，在另一些方向上下降）。
当然，如果这个点是边界点，情况就可能有些不同，因为它可能没有那么多方向。
广义极值的意义在于，它扩展了单变量函数求极值的思路，在多元函数中也可以使用。
当然，如果你只是要求函数f(x,y)在一个闭合矩形区域内的最大值最小值，你还是可以用求导数的方法，判断哪些点是驻点，然后判断一下边界上的点的函数值就行了。
多元函数的极值与最优化问题
多元函数的极值与最优化问题多元函数的极值是数学分析中的重要概念，它与最优化问题密切相关。
在本文中，我们将讨论多元函数的极值及其与最优化问题的关系。
一、多元函数的定义多元函数是指依赖于多个变量的函数。
一般地，我们可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是函数的自变量，而f是函数的因变量。
多元函数在实际问题的建模与求解中具有广泛应用。
二、多元函数的极值多元函数的极值包括极大值和极小值两种情况。
在定义域内，如果存在一个点，使得在该点邻域内的函数值都小于（或大于）该点的函数值，则称该点为极小值点（或极大值点）。
此时，我们说函数在该点取到了极小值（或极大值）。
三、求解多元函数的极值要求解多元函数的极值，通常可以采用以下两种方法：一是利用二阶导数判别法，二是利用约束条件法。
1. 利用二阶导数判别法对于多元函数而言，如果所有的二阶偏导数都存在且连续，可以利用二阶导数判别法来判断该点是否为极值点。
具体地，根据二阶导数的符号来判断：若二阶导数为正，则该点为极小值点；若二阶导数为负，则该点为极大值点；若二阶导数为零，则不能确定该点是否为极值。
2. 利用约束条件法对于带有约束条件的多元函数极值问题，我们需要引入拉格朗日乘子法。
该方法将约束条件与目标函数结合起来，通过构造拉格朗日函数，将多元函数约束问题转化为无约束的极值问题。
进而，我们可以通过对拉格朗日函数求偏导并令其为零，求解出极值点。
四、多元函数极值与最优化问题的关系多元函数的极值问题是最优化问题中的重要内容。
最优化问题是在一定的约束条件下，寻找使目标函数达到最优的自变量取值。
而多元函数的极值点恰好是最优化问题的解。
因此，通过研究多元函数的极值，我们可以求解最优化问题。
最优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如在经济学中的最大化和最小化问题、在工程学中的优化设计问题等。
通过对多元函数的极值进行分析，并结合具体问题的约束条件，可以帮助我们找到最优解，提高问题的解决效率。
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
多元函数的极值及其应用正文
多元函数极值及其应用内容摘要从极值的相关定义、性质及定理出发，结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论，研究并讨论了多元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题。
其次，从二元函数极值的定义、性质定理出发，对多元函数极值运用线性函数的理论加以讨论，并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函数极值问题中的实用性与灵活性。
文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用，以此说明研究极值问题的重要性与必要性。
关键词：多元函数极值正定矩阵稳定点极值判定应用序言多元函数的极值问题在近年来研究已经慢慢地完善起来，相关理论的完善也慢慢地越来越多，多元函数机制问题的应用也逐渐广泛。
然而，在常用书刊之中，与一元函数比较起来，多元函数极值问题的理论相对比较少。
但是，多元函数的应用却是比较广泛的。
在实际的生活之中，我们往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题。
然而，多元函数的最大值、最小值与多元函数的极大值、极小值有着密切的联系。
求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决。
同时，与一元函数相似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值，最小值。
但是由于自变量个数的增加，计算也相对复杂。
函数极值不仅是函数性态的一个重要特征，而且在实际问题中占有重要的地位。
尤其是在当今日益发展的社会生活中，工农业生产、自然科学和工程技术等发展带来了大量的问题，其实质都是函数极值问题。
多元函数极值则通过现在经济学中的热点问题——利润最大化和消费者效用最大化来体现。
一、 多元函数极值的定义定义1：设二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 的领域C 有定义，在P 处给出自变量的增量(,)P h k ∆=，相应有函数增量(,)(,)f a h b k f a b ∆=++-。
若f ∆0≤（0f ∆≥），则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）。
极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大点（极小点）。
多元函数的极值与最大值最小值
多元函数的极值与最大值最小值多元函数的极值与最大值最小值是数学分析领域中重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在给定条件下的最大值或最小值，这对于优化问题求解、经济学建模、物理学模型等都具有重要的应用价值。
本文将介绍多元函数的极值和最大最小值的概念、求解方法以及一些实际应用。
一、多元函数的极值多元函数是指含有两个或多个自变量的函数，通常表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn为自变量。
对于多元函数来说，极值的概念与一元函数类似，都是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
1.1 局部极值多元函数的局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
对于局部极值点(x1,x2,...,xn)，满足以下条件：1) 在(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内，函数值在该点处达到极值；2) 对于(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内的任一点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)，函数值均小于(或大于)在(x1,x2,...,xn)点处的函数值。
寻找多元函数的局部极值需要使用偏导数的概念。
偏导数是指将多元函数对某一个变量求导时，将其他变量视为常数进行求导。
具体计算方法为在函数中对每个自变量分别求偏导数，然后令偏导数等于零，解方程组找到所有偏导数为零的点，即为可能的极值点。
再通过二阶偏导数的符号确定每个极值点的极值类型。
1.2 全局极值多元函数的全局极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
与一元函数的全局极值类似，全局极值点是指函数在整个定义域中取得最大值或最小值的点。
寻找多元函数的全局极值需要通过计算函数的驻点和边界上的函数值，并比较它们的大小。
驻点是指函数的偏导数为零的点，边界上的函数值可以通过限制条件将多元函数转化为一元函数，然后使用求一元函数的最大值或最小值的方法进行求解。
根据驻点和边界上的函数值，比较它们的大小即可确定全局极值。
二、多元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常需要求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值，这可以通过求解最优化问题来实现。
数学广角优化知识点总结
数学广角优化知识点总结优化是数学的一个重要分支，主要是研究如何找到一个函数的最大值或最小值。
在实际应用中，优化问题是非常常见的，也是数学在工程、经济学、物理学等学科中的重要应用之一。
在数学中，广角优化是优化问题的一个重要分支，它主要研究多元函数的最大值或最小值，也就是研究多元函数的极值问题。
本文将对广角优化的知识点进行总结，希望对广大学生和研究者有所帮助。
一、广角优化的基本概念1. 多元函数和多元极值多元函数是指有多个自变量的函数，它可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的极值问题就是研究如何找到这个多元函数的最大值或最小值。
通常我们可以通过求偏导数或者使用拉格朗日乘数法来解决多元函数的极值问题。
2. 梯度和梯度下降法在研究多元函数的极值问题时，梯度是一个非常重要的概念。
梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点上升最快的方向，它的大小表示了函数在这一点上升的速率。
而梯度下降法是一种求解多元函数极值的常用方法，它通过不断地沿着梯度的反方向移动，来找到函数的最小值点。
梯度下降法在机器学习和深度学习领域有着广泛的应用。
3. 条件极值和约束条件在实际问题中，我们经常会遇到一些带有约束条件的优化问题。
比如，我们需要在一些条件下最大化或最小化某个函数。
这种问题就可以通过约束条件来进行建模，并且可以使用拉格朗日乘数法来解决。
二、广角优化的具体应用1. 经济学中的应用在经济学中，广角优化有着非常广泛的应用。
比如，在市场中，供求关系是一个非常重要的经济学模型。
我们可以通过优化求解供求函数的交点，来得到市场的均衡价格和均衡数量。
同时，在生产过程中，企业也需要通过优化来最大化利润或者最小化成本，这些都是广角优化的具体应用。
2. 工程学中的应用在工程学中，广角优化也有着广泛的应用。
比如，在控制系统中，我们需要设计一些控制器来使得系统的性能最优化，这就是一个广角优化的问题。
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( f ( x, y) f ( x0, y0 ))
则称函数在点
取得极大值 (f极( x小0 ,值y0).f ( x0 , y0 ).
极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点
称为极值点.
推广：n 元函数 f (P ), 极小值 f (P0 )：f (P0 ) f (P)
(
P
U
(
P0
),
P0
,
(1) 当a 0 时，
驻点
A
(0,0) 9a2 0
z(x, y) 非极值
(a, a)
27a2 0
6a
(a 0) (a 0)
极小值 极大值
即当a 0时，z x3 y3 3axy 在(0,0)不
取得极值. 当a 0时，z x3 y3 3axy 在(a,a)取
得极小值：z(a,a) a3; 当a 0时，z x3 y3 3axy 在(a,a)取
P
Rn
)
例1 函数 z 3x2 4 y2
(1)
在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必有偏导数，
f x ( x0, y0 ) 0 ,
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
证 不妨设z f ( x, y)在点 P ( x0 , y0 ) 处有极大值,
即 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), ( ( x, y) U(P))
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x, y0 ) U (P ))
事实上， zx y, zy x,
z z
x y
(0,0) (0,0)
0 0
(0,0)是 z xy 的驻点.
但当 xy 0（一、三象限的点）时，z( x, y) z(0,0) 0 当 xy 0（二、四象限的点）时，z( x, y) z(0,0) 0
(0,0)不是 z xy 的极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
得 x2 ax 0, x 0, x a
有驻zz点xy ：
3x2 3(0y,20),
3ay 3(aa,xa)
0 0
① ②
3( x2 ax a2 ) 0
2º判断 zx 3x2 3ay , z y 3 y2 3ax A zxx 6x, B zxy 3a, C zyy 6 y, AC B2 36xy 9a2
A<0 时是极大值;
A>0 时是极小值.
2) 当 AC B2 0 时,
不是极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能判定 , 需另行讨论.
即有
f ( x0, y0 )
A 0, 极小值
0
A 0, 极大值 是极值
0
非极值
0
不定(需用其他方法确定)
( AC B2 )
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 1 求极值可疑点：驻点、偏导数不存在的点； 2 判断
第九节
第八章
多元函数的极值
与最优化问题
一、多元函数的无条件极值 二、多元函数的最值
三、多元函数的条件极值—— 拉格朗日乘数法
一、 多元函数的无条件极值
观察二元函数
z
xy ex2 y2
的图形
1. 极值定义
定义8.10 若函数
的某
邻域内有定义且满足
f ( x, y) f ( x0, y0 ) ( ( x, y) U(P))
x y
3x2 3 y2
3ay 3ax
0 0
① ②
当 a=0 时，有唯一驻点：(0,0)
当 a 0 时， ① – ②：( x2 y2 ) a( x y) 0
( x y)( x y a) 0
x ya0
否则 x y a 0
x y 代入①，
z x 3[ x2 a( x a)]
(0,0)不是z x3 y3的极值点.
当a =0 时，
z x3 y3 3axy 无极值.
-o + x
二、多元函数的最值
假设: 目标函数可微且只有有限个驻点. 求最值的一般方法：
情形1 D是有界闭区域，z f ( x, y)在D上连续.
定理8.11(充分条件)
若函数z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某邻域内
具有二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 记 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 则 1)当 AC B2 0 时,
令 ( x) f ( x, y0 ), 则
( x) ( x0 ) ( x U ( x0 )) ( x) f ( x, y0 )在x x0处可导
( x0 ) 0
即 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
注 1º 推广： 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 )具有偏导数，则它在点 P( x0 , y0 , z0 )处有极值的必要条件为:
得极大值：z(a,a) a3.
(2) 当a =0 时，在唯一驻点(0,0)处，
AC B2 (36xy 9a2 ) 0
(0,0)
充分判别法失效！
此时，z x3 y3 , z(0,0) 0
当 x 0时，z( x,0) x3 0 z(0,0) 当 x 0时，z( x,0) x3 0 z(0,0) y
(1) 利用极值的充分条件判定,
(2) 若充分条件不满足，则利用极值的定义.
例4 z x2 y2
zx (0,0), z y (0,0)均不存在，
但 z x2 y2在(0,0)处取得极小值 z(0,0) 0.
例5 求 z x3 y3 3axy (a为常数)的极值.
解 1º求驻点
z z
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
2º 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为多元函数的驻点.
驻点
可导函数的极值点
例如: 点(0,0)是函数 z xy 的驻点，但不是极值点.