复变函数与积分变换第二章测验题与答案

第二章 解析函数
一、选择题：
1．函数2
3)(z z f =在点0=z 处是( )
（A ）解析的 （B ）可导的
（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )
（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x
（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导
（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )
（A ）xyi y x 22
2
-- （B ）xyi x +2
（C ）)2()1(22
2x x y i y x +-+- （D ）3
3iy x +
5．函数)Im()(2
z z z f =在
=z 处的导数( )
（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在
6．若函数)(2)(2
2
2
2
x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-
7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )
（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是
（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设2
2)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )
（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i i 的主值为( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2
πe （D ）2
π-
e
11．z e 在复平面上( )
（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )
（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期
（C ）2
)(iz
iz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的
13．设α为任意实数，则α
1( )
（A ）无定义 （B ）等于1
（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )
（A ）3
)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 2
3π
-
15．设α是复数，则( )
（A ）α
z 在复平面上处处解析 （B ）α
z 的模为α
z
（C ）α
z 一般是多值函数 （D ）α
z 的辐角为z 的辐角的α倍
二、填空题
1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→z
z f z 1
)(lim
2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数x
v i x u z f ∂∂+∂∂=
')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2
233)(y ix y x z f ++=，则=+-
')2
3
23(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部2
2
y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导
7．设z i z z f )1(5
1)(5
+-=
，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i
10．方程01=--z e 的全部解为 三、设
),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，若记
)2,2()2,2(
),(i
z z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w
．
四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=
2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x
x
++-=
五、设023
=+-z
e zw w ，求
22,dz
w
d dz dw .
六、设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠++=0,00
,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.
七、已知2
2
y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s
按逆时针方向旋转
2
π
即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有
s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n
∂∂
分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.
答案
第二章 解析函数
一、1．（B ） 2．（B ） 3．（D ） 4．（C ） ５．（A ） ６．（C ） ７．（C ） ８．（C ） ９．（A ） 10．（D ） 11．（A ） 12．（C ） 13．（D ） 14．（B ） 15．（C ）
二、填空题
1．i +1 2．常数 3．
x v
x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,x
v y x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．
i 8
27
427- 5．ic xyi y x ++-222或ic z +2，c 为实常数 6．i 7．3,2,1,0),4
24sin 424(cos 28=π+π
+π+πk k i k 8．),2,1,0(2 ±±=π
-k e k
9．3
4
arctan
- 10．),2,1,0(2 ±±=πk i k 四、1．;sin )(z z f -=' 2．.)1()(z
e z z
f +='
五、z
w e w dz dw z
2322
--=, 2
222222
2
)
23(2431268234)(
6z w z e e w e w w e w z w e dz
dw dz dw w dz
w
d z z z z z
-+---+=--+-=. 七、c i z i z f )1(2
1)(2
++-=
.c 为任意实常数. 十、),2,1,0(4
ln 2 ±±=+π-=k i k z .。