曲线回归分析
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2 2
2
1
4062.27 4062.27 0.9683 2 1 188698 1552 128117.73 15
R2 接近1，表明曲线回归方程拟合良好
X
1 2 3 4 5 6
Y
355 211 197 160 142 106
Y2
126025 44521 38809 25600 20164 11236
19.12
-8.27 1.10 -6.16 0.49 3.44 -1.97 0.52 0.14
365.5744
68.3929 1.2100 37.9456 0.2401 11.8336 3.8809 0.2704 0.0196 4062.2669
对数曲线的拟合
（1）基本思路
Y a b lg X
n
项目
lxx ( X X )2
数值 2.5373 2.3821 2.2391 0.9994 0.9388 -0.1707 2.2363 0.0028
lxy ( X X )(Y Y )
l yy (Y Y )2 l x y r l x x l yy
常见曲线类型与图象
（5）S型曲线
Y 1 a be X
Y k 1 a be X
Logistic曲线：Y L
k 1 aebX
指数曲线的拟合
（1）基本思路
Y aebX
k Y aebX
lg Y lg a b(lg e) X
lg(k Y ) lg a b(lg e) X
5
10 20 40 80
0.479
0.776 1.071 1.366 1.610
0.6990
1 1.3010 1.6021 1.9031
160
∑
1.870
7.355
2.2041
9.1072
对数曲线的拟合
项目 n ∑X′ ∑X′2 ∑Y 数值 7 9.1072 14.3861 7.355 9.9671 11.9512
指数曲线的拟合
直线回归方程：
ˆ lgY A BX 2.591 0.0946 X Y
方差分析表：
变异源 回归 剩余 总和
平方和 2.5075 0.0297 2.5372
自由度 1 13 14
均方 2.5075 0.0023
F值 1090.22
因为：F > F 0.01[1，13] = 9.07 结论：方程有效
8 9 10 11 12 13 14 15 ∑ = 120
104
60 56 38 36 32 21 19 15 1552
10816
3600 3136 1444 1296 1024 441 361 225 288698
84.88
68.27 54.90 44.16 35.51 28.56 22.97 18.48 14.86
检验和比较的方法：F检验
F 较大剩余方差 较大剩余平方和 较小剩余方差 较小剩余平方和
令： X lg X 则原有的指数方程可简化为：
Y A BX
（上面，A = a、B = b）
对数曲线的拟合
（2）举例
X 2.5 Y 0.183 X′ = lgX 0.3979 X′ 2 0.1583 0.4886 1 1.6926 2.5667 3.6218 4.8581 14.3861 Y2 0.0335 0.2294 0.6022 1.147 1.866 2.5921 3.4969 9.9671 X′ Y 0.0728 0.3348 0.776 1.3934 2.1885 3.064 4.1217 11.9512
令：
Y lg Y
或： B = b lg e
Y lg(k Y )
A = lg a
则原有的指数方程可简化为：
Y A BX
指数曲线的拟合
X（照射次数） Y（细菌数） 355 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 Y′=lgY 2.5502 2.3243 2.2945 2.2041 2.1523 2.0253 2.0170 1.7782 1.7482 1.5798 1.5563 1.5051 1.3222 Y′2 6.5037 5.4023 5.2646 4.8581 4.6323 4.1019 4.0684 3.1618 3.0562 2.4957 2.4221 2.2655 1.7483 X Y′ 2.5502 4.6486 6.8835 8.8164 10.7615 12.1518 14.1190 14.2256 15.7338 15.7980 17.1193 18.0612 17.1886
lxy ( X X )(Y Y )
l yy (Y Y )2
r
B
l xy l xx l y y
l xy l xx
关系
建立方程 检验
A Y BX
X
∑XY′X
n
SS回 Blxy
Y
Y
n
SS剩 l yy Blxy
曲线回归分析
内容
曲线回归的意义与步骤 常见曲线类型与图象 指数曲线的拟合 对数曲线的拟合 曲线拟合度的比较
曲线回归的意义与步骤
意义： 在实际情景中，许多变量之间不存在线性关系 在实际情景中，也存在许多计算曲线回归的需求 一般步骤： 确定两个变量之间是否存在曲线关系 曲线线性化 计算线性回归方程 线性回归方程曲线化 评估曲线回归方程的有效性
（2）举例
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14
15 ∑ = 120
19
15 1552
1.2788
1.1761 27.5124
1.6352
1.3832 52.9993
17.9032
17.6415 193.6022
指数曲线的拟合
汇总结果如右：
具体步骤如下： 绘制散点图，揭 示X与Y之间的指数关系 绘制半对数坐标 图，揭示lgY与X的直线
回归方程为： Y = A + B lg X = -0.1707 + 0.9388 lg X
∑Y2 ∑X′Y
X
B
l xy l xx
X
A Y BX
SS回 Blxy
SS剩 l yy Blxy
1.3010 1.0507
Y
Y
n
曲线拟合度的比较
检验和比较的主要内容： 曲线回归拟合值与实际值的差异 曲线回归模型与直线回归模型的差异 一种曲线回归模型与另一种曲线回归模型的差异
ˆ Y
313.62 252.23 202.86 163.15 131.22 105.54
ˆ) (Y Y
41.38 -41.23 -5.86 -3.15 10.78 0.46
ˆ )2 (Y Y
1712.3044 1699.9129 34.3396 9.9225 116.2084 0.2116
7
指数曲线的拟合
ˆ Y
直线回归方程可转化为：
ˆ 102.5910,0946 X Y
1 R 1 剩 1 lyy
2
Leabharlann Baidu
曲线回归方程的拟合度 以相关系数表示：
ˆ )2 需要根据实际计算求得 其中， (Y Y
(Y Yˆ ) (Y Y )
2 2
R
2
ˆ) (Y Y 1 ( Y ) Y n
项目 n ∑X ∑X2 ∑Y ∑Y′ ∑Y′2 数值 15 120 1240 1552 27.5124 52.9993 193.6022 8 1.8342 项目 数值 280 -26.497 2.5372 -0.9941 -0.0946 2.591 2.5075 0.0297
lxx ( X X )2
常见曲线类型与图象
（1）指数曲线
Y aebX
Y 10a bX
k Y aebX
Y k aebX
常见曲线类型与图象
（2）对数曲线
Y a b lg X
常见曲线类型与图象
（3）双曲线
1 1 a Y X
常见曲线类型与图象
（4）抛物线
Y a b1 X b2 X 2
2
1
4062.27 4062.27 0.9683 2 1 188698 1552 128117.73 15
R2 接近1，表明曲线回归方程拟合良好
X
1 2 3 4 5 6
Y
355 211 197 160 142 106
Y2
126025 44521 38809 25600 20164 11236
19.12
-8.27 1.10 -6.16 0.49 3.44 -1.97 0.52 0.14
365.5744
68.3929 1.2100 37.9456 0.2401 11.8336 3.8809 0.2704 0.0196 4062.2669
对数曲线的拟合
（1）基本思路
Y a b lg X
n
项目
lxx ( X X )2
数值 2.5373 2.3821 2.2391 0.9994 0.9388 -0.1707 2.2363 0.0028
lxy ( X X )(Y Y )
l yy (Y Y )2 l x y r l x x l yy
常见曲线类型与图象
（5）S型曲线
Y 1 a be X
Y k 1 a be X
Logistic曲线：Y L
k 1 aebX
指数曲线的拟合
（1）基本思路
Y aebX
k Y aebX
lg Y lg a b(lg e) X
lg(k Y ) lg a b(lg e) X
5
10 20 40 80
0.479
0.776 1.071 1.366 1.610
0.6990
1 1.3010 1.6021 1.9031
160
∑
1.870
7.355
2.2041
9.1072
对数曲线的拟合
项目 n ∑X′ ∑X′2 ∑Y 数值 7 9.1072 14.3861 7.355 9.9671 11.9512
指数曲线的拟合
直线回归方程：
ˆ lgY A BX 2.591 0.0946 X Y
方差分析表：
变异源 回归 剩余 总和
平方和 2.5075 0.0297 2.5372
自由度 1 13 14
均方 2.5075 0.0023
F值 1090.22
因为：F > F 0.01[1，13] = 9.07 结论：方程有效
8 9 10 11 12 13 14 15 ∑ = 120
104
60 56 38 36 32 21 19 15 1552
10816
3600 3136 1444 1296 1024 441 361 225 288698
84.88
68.27 54.90 44.16 35.51 28.56 22.97 18.48 14.86
检验和比较的方法：F检验
F 较大剩余方差 较大剩余平方和 较小剩余方差 较小剩余平方和
令： X lg X 则原有的指数方程可简化为：
Y A BX
（上面，A = a、B = b）
对数曲线的拟合
（2）举例
X 2.5 Y 0.183 X′ = lgX 0.3979 X′ 2 0.1583 0.4886 1 1.6926 2.5667 3.6218 4.8581 14.3861 Y2 0.0335 0.2294 0.6022 1.147 1.866 2.5921 3.4969 9.9671 X′ Y 0.0728 0.3348 0.776 1.3934 2.1885 3.064 4.1217 11.9512
令：
Y lg Y
或： B = b lg e
Y lg(k Y )
A = lg a
则原有的指数方程可简化为：
Y A BX
指数曲线的拟合
X（照射次数） Y（细菌数） 355 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 Y′=lgY 2.5502 2.3243 2.2945 2.2041 2.1523 2.0253 2.0170 1.7782 1.7482 1.5798 1.5563 1.5051 1.3222 Y′2 6.5037 5.4023 5.2646 4.8581 4.6323 4.1019 4.0684 3.1618 3.0562 2.4957 2.4221 2.2655 1.7483 X Y′ 2.5502 4.6486 6.8835 8.8164 10.7615 12.1518 14.1190 14.2256 15.7338 15.7980 17.1193 18.0612 17.1886
lxy ( X X )(Y Y )
l yy (Y Y )2
r
B
l xy l xx l y y
l xy l xx
关系
建立方程 检验
A Y BX
X
∑XY′X
n
SS回 Blxy
Y
Y
n
SS剩 l yy Blxy
曲线回归分析
内容
曲线回归的意义与步骤 常见曲线类型与图象 指数曲线的拟合 对数曲线的拟合 曲线拟合度的比较
曲线回归的意义与步骤
意义： 在实际情景中，许多变量之间不存在线性关系 在实际情景中，也存在许多计算曲线回归的需求 一般步骤： 确定两个变量之间是否存在曲线关系 曲线线性化 计算线性回归方程 线性回归方程曲线化 评估曲线回归方程的有效性
（2）举例
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14
15 ∑ = 120
19
15 1552
1.2788
1.1761 27.5124
1.6352
1.3832 52.9993
17.9032
17.6415 193.6022
指数曲线的拟合
汇总结果如右：
具体步骤如下： 绘制散点图，揭 示X与Y之间的指数关系 绘制半对数坐标 图，揭示lgY与X的直线
回归方程为： Y = A + B lg X = -0.1707 + 0.9388 lg X
∑Y2 ∑X′Y
X
B
l xy l xx
X
A Y BX
SS回 Blxy
SS剩 l yy Blxy
1.3010 1.0507
Y
Y
n
曲线拟合度的比较
检验和比较的主要内容： 曲线回归拟合值与实际值的差异 曲线回归模型与直线回归模型的差异 一种曲线回归模型与另一种曲线回归模型的差异
ˆ Y
313.62 252.23 202.86 163.15 131.22 105.54
ˆ) (Y Y
41.38 -41.23 -5.86 -3.15 10.78 0.46
ˆ )2 (Y Y
1712.3044 1699.9129 34.3396 9.9225 116.2084 0.2116
7
指数曲线的拟合
ˆ Y
直线回归方程可转化为：
ˆ 102.5910,0946 X Y
1 R 1 剩 1 lyy
2
Leabharlann Baidu
曲线回归方程的拟合度 以相关系数表示：
ˆ )2 需要根据实际计算求得 其中， (Y Y
(Y Yˆ ) (Y Y )
2 2
R
2
ˆ) (Y Y 1 ( Y ) Y n
项目 n ∑X ∑X2 ∑Y ∑Y′ ∑Y′2 数值 15 120 1240 1552 27.5124 52.9993 193.6022 8 1.8342 项目 数值 280 -26.497 2.5372 -0.9941 -0.0946 2.591 2.5075 0.0297
lxx ( X X )2
常见曲线类型与图象
（1）指数曲线
Y aebX
Y 10a bX
k Y aebX
Y k aebX
常见曲线类型与图象
（2）对数曲线
Y a b lg X
常见曲线类型与图象
（3）双曲线
1 1 a Y X
常见曲线类型与图象
（4）抛物线
Y a b1 X b2 X 2