浙江省高一下学期期末考试数学试题(整理含答案)
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
浙江省宁波市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷含答案
镇海2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（）A.2B.C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =.故选：C .2.若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +-构成基底的向量是（）A.aB.2a b+C.2a c+D.c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +-表示即可得.【详解】由{,,}a b c 是空间中的一组基底，故,,a b c两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c ⎡⎤=++-⎣⎦，故A 错误；对B ：设()()22a b m a c n a c +=++- ，则有()()22a b m n a m n c +=++-，该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +-构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c ⎡⎤+=+--⎣⎦，故C 错误；对D ：有()()123c a c a c ⎡⎤=+--⎣⎦，故D 错误.故选：B.3.l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（）A.l 平行平面α内的无数条直线B.l 平行于平面α的法向量C.l 垂直于平面α的法向量D.l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误；对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行.所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确.故选：D4.己知 (2,2,1)(1,1,0)a b ==，，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(1,2,0)C.(2,2,0)D.(1,1,1)【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的概念求解即可.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b bb⋅⋅⨯==，故选：C5.点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的位置关系是（）A.相交B.平行C.重合D.不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交;若直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交；故选：A.6.如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈ ，则||AP的最小值为（）A.4B.3C.62D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈，则()()111AP AA x AB AA y AD AA -=-+- ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以111BD DA A B ===，所以三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以1223323A H ==⨯=，所以3AH ===，所以||AP的最小值为3AH =.故选：B .7.实数,x y 满足2222x y x y +=-，则|3|x y -+的最小值为（）A.3B.7C. D.3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=【详解】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=倍，圆心()1,1-到直线距离为d =则|3|x y -+的最小值为3-=.故选：A8.在棱长为2的正四面体O ABC -中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（）A.2,33⎡⎢⎣⎦B.2,33⎡⎢⎣⎦C.,33⎣⎦D.,33⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到3sin sin θϕ+=最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E O F O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC -为正四面体，所以13O A =，13O F =，13O O =，()10,0,0O，1,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,3O O ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设230,3M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,03N b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，230,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，则(),MN b a =，由题意得1O O uuu r可以作为平面ABC 的一个法向量，则113sin a MN O O MN O Oθ⋅==，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，033033m OB x y z m OC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，则0x =，令y =4z =，所以4m ⎛= ⎝⎭ ，33332sin a m MNm MNϕ--⋅==33sin sin θϕ-+=因为0,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，所以[]2332,3a -+∈，[]20,1b ∈，⎤⎦，3sin sin ,33θϕ+=⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,FF ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆C 的离心率为53B.12F PF △的周长为3C.12F PF ∠不可能是直角D.当1260F PF ∠=︒时，12F PF △的面积为3【答案】AD【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上，由245a -=3a ⇒=.所以椭圆的离心率3c e a ==，故A 正确；根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误；如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=-⋅--=-<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误；如图：当1260F PF ∠=︒时，设11PF t =，22PF t =，则1222121262cos6020t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒12221212620t t t t t t +=⎧⎨+-=⎩⇒12163t t =，所以12121116343sin 6022323F PF S t t =︒=⨯⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ．则下列选项正确的是（）A.直线12C C 恒过定点(3,0)B.当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C.若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D.当13a =时，圆1C 与圆2C 相交弦的弦长为2【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ，可知()()121,2,4,C a C a -，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=--，即()3y a x =--，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确；对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R 即()()222:44,C x y a a -++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++==；同理求得当43a =-时，max ||10PQ =，B 正确；对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C -<<+，即15<<，解得4433a -<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交，2212:(1)(93C x y -+-=，()2221:443C x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将两方程相减可得公共弦方程596203x y --=，则121,3C ⎛⎫⎪⎝⎭到596203x y --=4=，则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为2=，D 正确，故选：ABD11.埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E -与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n -=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D -''''的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45︒，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n n n n n A B C D A B C D n ''''-=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（）A.在图5中，1322A P E P ⊥B.在图5中，直线12Q A 与平面122A E P 所成角的正弦值为63C.在图10中，设点nA '的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D.在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===，则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以()13221111,1,1,,,222A P E P ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⎛⎫⋅=--⋅-=-+=≠ ⎪⎝⎭ ，13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q -，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()20,1,0P 则()121,1,1Q A = ，()120,0,1A P =-，22111,,222E P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z =，则122200n A P n E P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得01110222z x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1y =得，01z x ==，，即()01,1n =，，又由121212cos ,3Q A nQ A n Q A n⋅==，所以直线12Q A 与平面122A E P所成角的正弦值为3，故B 正确；对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45︒，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A '的坐标为(1,0,2,点2A '的坐标为(0,1,2,-点3A '的坐标为)2,0,1,-则()()()()322211212129n n n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D ，由图知：)22,1,0A -，)22,1,0B ，(22C ,(20,2D -,)32,0,1A ,则()2301,1A A =，，由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈，所以())222222220,2,02,0,22,2,2D E D C C E D C C B λλλλ=+=+=+-=-，则22322322223222cos ,44221D E A A D E A A D E A A λλλλ⋅--==⋅+⋅+2t λ=，22t ∈，则()223222cos ,322121221212333t D E A A tt tt ==⎛⎫-+-+-+⎪⎝⎭，由1221,2t ⎤∈⎥⎣⎦，得2212221,32318t ⎛⎛-≥-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即22322cos ,=211121232318333D E A A t=≤⎛⎫⨯+-+⎪⎝⎭ 所以异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)-，则点A 到平面α的距离是_______．【答案】62【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果.【详解】由题知(2,1,1)AB =-，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =-，所以点A 到平面α的距离为62AB n d n ⋅==，故答案为：2.13.已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______．【答案】34##0.75【解析】【分析】结合切线的性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠，设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==-，由()()22:114C x y -+-=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sin MC PCPC α==，又min PC ==，则()max min 2sin 4PC α===，则()22min 23cos 12sin 1244MPN α⎛⎫∠=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：34.14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，下顶点为点()0,M b -，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】①.12##0.5②.5【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ，由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =，又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =，由椭圆定义可知122NF NF a +=，即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==；则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =--=-，即12NF m =+，4NM m =-，则有()()()22222111442πcos 32224m m MF MN NF MF MN m +--++-==⨯⋅⨯⨯-，计算可得45m =，则()11π24sin 235MNF S m =⨯⨯-= ，又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有45r =，即5r =.故答案为：12；5.【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15.已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1．（1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 的坐标为(6,3)-，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +-=（2）10，1515,77P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)-关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =，此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11=，解得158k =-，即得15604088x y --++=，即158920x y +-=，故直线l 的方程为4x =或158920x y +-=；【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =，故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ，连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥==，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立，即||||PBPC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=-+-，联立y x =，解得157x y ==，即151577P ,⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D A B =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小.【小问1详解】如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()3,0C ，()13,2C ，1,0,23D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,1E ，所以4,0,23AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，113,03DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,1EC =--.设平面1AC D 的法向量为(),,n x y z =，由1n ADn DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()4,,,0,2031,,3,003x y z x y z ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒460330x z x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取()6n =-.因为()()16EC n ⋅=--⋅-9360=-++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D .【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos ,n AE n AE n AE ⋅===⋅5=.17.已知圆C 的圆心在x轴上，且过(-．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P -的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在，且()4,0A -【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得.【小问1详解】设圆C 为()222x a y r -+=，则有()()2222212a r a r ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩，解得24a r =⎧⎨=⎩，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =-，()11,E x y ，()22,F x y ，联立2214x my x y =-⎧⎨+=⎩，有()221230m y my +--=，2224121216120m m m ∆=++=+>，12221my y m +=+，12231y y m -=+，设(),0A t ，1t ≠-，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y yx t x t x t x t -+-+==----，即()1221120y x y x t y y +-+=，()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +-+=-+--+()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +--+-=-++=-==+++，即()()621240m m t m t ++=+=，则当4t =-时，0AE AF k k +=恒成立，故存在定点()4,0A -，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB ==，点E 是线段AB 的中点，（i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得14PB PB +=且1PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）（i ）10；（ii ）存在，(2,0,0)P -【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,联立（∗），解出即可【小问1详解】如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥= ，,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz .122BB ==,点E 是线段AB 的中点，则2AB BC CA ===1OA OB OC ===．1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,22A B C B C E --，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =-=-=- .设平面1ECC 法向量(,,)m x y z = ，则100m CE m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1102220x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩解得012x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故(0,1,2)m = ；同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n = .则cos ,2510m n m n m n ⋅==⋅ ，设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则310cos 10θ=．（ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若15PCPC =222215(2)1x z x z ++=--++，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,3a c b ===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,与（∗）联立方程组.2222560334x z x z x ⎧+++=⎪⎨=-⎪⎩，解得120x z =-⎧⎨=⎩，22180)x z =-<（，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)-．19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值；（3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．【答案】（1）212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭（2）1m =-（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥，1l β⊥ ，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =- ，根据p γ⊥ ，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可．【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取2x =，则(2,1,2)l =-- ，所以直线l 的单位方向向量为212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭．【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，所以4103105210a a b c a b c +=⎧⎪+-+=⎨⎪-+++=⎩，解得14140a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，即2:4x y α+=，所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p =-，所以p γ⊥ ，即()1210p m m m m γ⋅=-+++=+= ，解得1m =-．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =⨯⨯⨯=正四棱锥，3244461283S V =⨯⨯+⨯=，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +-=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n = ，平面:40ECD y z +-=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n = ，所以121cos cos ,2n n θ== ，所以几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案214人教版高一数学下学期期末考试卷第一卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.1920°转化为弧度数为A。
32π/3B。
16π/3C。
16/3D。
3提示：1°=π/180.2.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用A。
散点图B。
茎叶图C。
频率分布直方图D。
频率分布折线图提示：散点图是用来观察变量间的相关性的。
3.函数y=sin(x+π/4)的一个单调增区间是A。
[-π,0]B。
[0,π/4]C。
[π/4,7π/4]D。
[7π/4,2π]提示：函数y=sin(x)的单调增区间是(2kπ-π/2,2kπ+π/2) (k∈Z)。
4.矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BC=5e1，DC=3e2，则OC等于A。
(5e1+3e2)/2B。
(5e1-3e2)/2C。
(-5e1+3e2)/2D。
-(5e1+3e2)/2提示：OC=AC=AD+DC=BC+DC=(5e1+3e2)/2.5.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A。
6，12，18B。
7，11，19C。
6，13，17D。
7，12，176.函数y=x/2sin(x)+3cos(x/2)的图像的一条对称轴方程是A。
x=π/2B。
x=-πC。
x=-π/2D。
x=π提示：函数y=sin(x)的对称轴方程是x=kπ+π/2 (k∈Z)。
7.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是A。
甲获胜B。
乙获胜C。
二人和棋D。
无法判断提示：由甲不输的概率为70%可得乙获胜的概率也为30%。
8.如图是计算1/11+1/12+。
+1/30的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是A。
2023-2024学年浙江省杭州市八县区高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市八县区高一上册期末数学试题一、单选题1．集合{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4A B ==，则A B =ð（）A ．1,5,6B ．2,3,4C ．{}1,5,6D ．{}2,3,4【正确答案】C【分析】根据补集的知识求得正确答案.【详解】依题意A B =ð{}1,5,6.故选：C2．若,a b ∈R ，则“0a b >>”是“22a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】由不等式性质知0a b >>时，22a b >成立，充分性满足，但2,1a b =-=-时满足22a b >，不满足0a b >>，不必要．因此应为充分不必要条件．故选：A ．3．已知1cos 3α=-，3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A ．23B ．23-C ．3D ．3-【正确答案】D【分析】根据角的范围，确定sin α的符号.然后根据正余弦的关系，即可求出答案.【详解】因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α<.又1cos 3α=-，所以sin 3α==-.故选：D.4．函数y =）A ．[)1,+∞B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎤ ⎝⎦【正确答案】C【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.【详解】解：函数y =()0.534304log 4301x x x x ⎧->⎧>⎪⇒⎨⎨-≥⎩⎪≤⎩，解得314x <≤，故函数定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C.5．三个数112223,3,log 3-的大小关系是（）A ．1122233log 3-<<B ．112223log 33-<<C ．112223log 33-<<D ．11222log 333-<<【正确答案】B【分析】根据指数、对数的知识求得正确答案.【详解】111122221213,31333--===<<，由于5832<，所以8532<8522281log 2log 3log 2 1.65=<<==所以112223log 33-<<.故选：B6．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2kg 的草莓，服务员先将1kg 的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A 使天平平衡；再将1kg 的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B 使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（）A ．等于2kgB ．小于2kgC ．大于2kgD ．不确定【正确答案】C【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案.【详解】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，设草莓A 有1a kg ，草莓B 有2a 千克，所以11212211x a x x a x ⨯=⨯⎧⎨⨯=⨯⎩，所以121212122121,,2x x x x a a a a x x x x ==+=+>=.故选：C7．函数()()2f x x x a =-，若()()230f f ⋅<，则()()()1,2,3f f f -的大小关系是（）A ．()()()123f f f -<<B ．()()()213f f f <-<C ．()()()231f f f <<-D ．()()()321f f f <<-【正确答案】A【分析】根据零点的存在性定理可得23a <<，求出(1),(2),(3)f f f -，进而得(3)0f >，(1)0,(2)0f f -<<，利用作差法可得(1)(2)f f -<，即可求解.【详解】令2()()0f x x x a =-=，解得0x =或x a =，即函数的零点为0和a ，又(2)(3)0<f f ，由零点的存在性定理，得23a <<，(1)1,(2)84,(3)279f a f a f a -=--=-=-，所以(3)0f >，(1)0,(2)0f f -<<，又(1)(2)1(84)3100f f a a a --=----=-<，得(1)(2)f f -<，所以(1)(2)(3)-<<f f f .故选：A.8．定义在R 上函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，当0x >时，()2xf x x =⋅，则不等式()()2120f x f x ++-≥的解集是（）A ．[]1,3-B ．[]0,3C ．[]1,9D ．[]0,9【正确答案】D【分析】先根据定义判断()f x 在()0,∞+上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为()()221f x f x +≥-.进而根据函数的单调性，即可列出不等式221x x +≥-，求解不等式即可得出答案.【详解】12,0x x ∀>，且12x x <.则()()()()12112121212222222x x x x xf x f x x x x x x -=⋅-⋅=-⋅+⋅-，因为12x x <，20x >，所以1222x x <，所以12220x x -<，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.又()()0f x f x -+=，所以()f x 为奇函数.又0x >时，有()()00f x f >=，所以，0x <时，有()0f x <.由()()2120f x f x ++-≥可得，()()()21221f x f x f x ++≥--=-.因为)22111x +=+≥，所以由()()221f x f x +≥-可得，221x x +≥-，整理可得30x -≤，即)130≤，10>30≤，解得09x ≤≤.所以，不等式的解集为[]0,9.故选：D.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1B ．若α是第二象限角，则2α是第一象限角C ．x ∀∈R ，2450x x -+≥D ．命题：0x ∀>，ln 1x x ≤-的否定是：00x ∃>，00ln 1x x >-【正确答案】CD【分析】根据题意求出扇形的面积，即可判断A 项；由第二象限角的范围得出2α的范围，即可判断B 项；由()2245210x x x -+=-+≥可得C 项正确；写出全称量词命题的否定，即可判断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，扇形面积211222S =⨯⨯=，故A 项错误；对于B 项，由已知可得90360180360k k α+⋅<<+⋅ ，k ∈Z ，所以45180901802k k α+⋅<<+⋅，k ∈Z .当k 为偶数时，设2,k n n =∈Z ，则45360903602n n α+⋅<<+⋅o oo o ，n ∈Z ，则2α为第一象限角；当k 为奇数时，设21,k n n =+∈Z ，则2253602703602n n α+⋅<<+⋅o oo o ，n ∈Z ，则2α为第三象限角.综上所述，2α是第一象限角或第三象限角，故B 错误；对于C 项，因为()2245210x x x -+=-+≥在R 上恒成立，故C 项正确；对于D 项，命题：0x ∀>，ln 1x x ≤-的否定是：00x ∃>，00ln 1x x >-，故D 项正确.故选：CD.10．已知函数()sin cos f x x x =-，则（）A ．()f x 的值域为⎡⎣B ．点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心C ．()f x 在区间π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．若()f x 在区间[],a a -上是增函数，则a 的最大值为π4【正确答案】ABD【分析】由辅助公式得()π)4f x x =-，根据正弦函数的值域判断A ；用代入法验证B ；由π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得[]π0,π4x -∈，根据正弦函数的单调区间判断C ；由正弦函数在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得()f x 在π3π[,44-上单调递增，从而判断D.【详解】解：因为()πsin cos )4f x x x x =-=-，所以函数的值域为⎡⎣，故A 正确；又因为πππ)0444f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，故B 正确；当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]π0,π4x -∈，由正弦函数的性质可知函数在[]0,π不单调，故C 错误；由正弦函数的性质可知函数在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以由πππ242x -≤-≤，可得π3π44x -≤≤，即函数()π4f x x -在π3π[,]44-上单调递增，又因为()f x 在区间[],a a -上是增函数，所以π4a ≤，即a 的最大值为π4，故D 正确.故选：ABD.11．已知函数()()()3222,log 2,2x f x x g x x x h x x x =+-=+-=+-的零点分别为,,a b c ，则有（）A ．1,0,1c a b =>>B ．b c a >>C ．2,1a b c +==D ．2,1a b c +<=【正确答案】ABC【分析】根据函数的单调性、零点存在性定理、对称性求得正确答案.【详解】()f x 在R 上递增，()()01,11f f =-=，所以01a <<.()g x 在()0,∞+上递增，()()11,21g g =-=，所以12b <<.()h x 在R 上递增，()10h =，所以1c =，则b c a >>，AB 选项正确.由()220xf x x =+-=得22x x =-+；由()2log 20g x x x =+-=得2log 2x x =-+；由2y x y x =⎧⎨=-+⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，由于2x y =与2log y x =关于直线y x =对称，y x =与2y x =-+相互垂直，所以212a b +=⨯=，C 选项正确，D 选项错误.故选：ABC12．已知()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，则（）A ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图象关于点()1,1中心对称B ．函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于y 轴对称C ．若()()1g x g x +=-，则函数()g x 是周期函数，其中一个周期2T =D ．若方程()()0x g f x -=有实数解，则()()f g x 不可能是21x x ++【正确答案】ACD【分析】根据函数的对称性、周期性、方程的根、图象变换等知识确定正确答案.【详解】A 选项，由()()112f x f x ++-=，得()()11110f x f x +-+-+-=，设()()11F x f x =+-，则()()0F x F x +-=，所以()F x 是奇函数，图象关于()0,0对称，所以根据函数图象变换的知识可知()f x 的图象关于点()1,1中心对称，A 选项正确.B 选项，()y f x =与()y f x =-的图象关于y 轴对称，所以()1y f x =-与()()()11y f x f x =--=-的图象关于直线1x =对称，B 选项错误.C 选项，()()()()2111g x g x g x g x +=++=-+=，所以()g x 是周期函数，其中一个周期2T =，C 选项正确.D 选项，设0x 是方程()()0x g f x -=的一个解，则()()000x g f x -=，所以()()00x g f x =，所以()()()()00f x f g f x =，令()0t f x =，则()()t f g t =，即方程()()x f g x =有解，当()()21f g x x x =++时，方程221,10x x x x =+++=无解，所以D 选项正确.故选：ACD 三、填空题13．若函数()22,01,0x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则()()1f f -=__________．【正确答案】2【分析】根据解析式可得()11f -=，再求(1)f 即可.【详解】由题意知，(1)121f -=-+=，2(1)112f =+=，所以((1))2f f -=.故2.14．写出一个定义域为R 值域为[]0,1的函数_______.【正确答案】sin y x =（答案不唯一）【分析】本题为开放型题目，答案有多个，但定义域为R ，值域为[]0,1的函数容易联想到定义域为R ，值域为[]1,1-三角函数，而值域可以通过加绝对值来处理，由此可以得到答案.【详解】令sin y x =，则易知其定义域为R ，而由1sin 1x -≤≤得0sin 1x ≤≤，即sin y x =的值域为[]0,1，故sin y x =满足题意.显然cos y x =也满足题意，即答案不唯一，这里以sin y x =为代表.故答案为.sin y x=15．若()()()24sin 2,R,0,πf x x kx x k ϕϕ=-++∈∈是偶函数，则k ϕ+=__________．【正确答案】π2##12π【分析】根据函数的奇偶性求得,k ϕ，从而求得正确答案.【详解】依题意，()f x 是偶函数，所以()()()224sin 24sin 2f x x kx x x kx x ϕϕ-=++-+=-++，()()2sin 2sin 2kx x x ϕϕ=++-，22sin 2cos ,sin 2cos kx x kx x ϕϕ=⨯=⨯，所以0,cos 0k ϕ==，而()0,πϕ∈，所以π2ϕ=，所以π2k ϕ+=.故π216．在平面直角坐标系中，半径为1的圆C 与x 轴相切于原点O ，圆C 上有一定点P ，坐标是()1,1．假设圆C 以π5（单位长度）/秒的速度沿x 轴正方向匀速滚动，那么当圆C 滚动t 秒时，点P 的横坐标x =__________．（用t 表示）【正确答案】ππcos 55t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】将P 点的运动分解为沿x 轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动，易求匀速运动部分的横坐标；顺时针转动部分，先求出P 的角速度，再求出横坐标即可.【详解】将P 点的运动分解为沿x 轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动.匀速运动部分：与圆的速度相等，π5v =匀，得π5x v t t ==匀；顺时针转动部分：以圆心为参照系，P 点的运动为半径不变的顺时针转动，初始P 与圆心的连线与x 轴的夹角为θ，当P 转动π2的角度时，圆向前滚动了14个圆周，即1π2π1=42⨯⨯长度，此时过了π52π25=秒，故P 在52秒内转动π2的角度，所以P 每秒转动π5角度，横坐标为()ππcos 1cos cos 55r θ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，所以t 秒后P 转动5t π角度，横坐标为πcos 5t ⎛⎫⎪⎝⎭，综上，P 运动的横坐标为ππcos 55t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为.ππcos 55t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题17．求解下列问题：(1)求值：()27π3227log 42⋅；(2)已知tan 3α=，求()()()()sin πcos πcos 2πsin αααα-++---的值．【正确答案】(1)27(2)12【分析】（1）根据指数、根式、对数运算求得正确答案.（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】（1）()27π3227log 42⋅()()2314π323π4log 2+=+-+()()234π14π27=+-++=；（2）()()()()sin πcos πcos 2πsin αααα-++---sin cos tan 1311cos sin 1tan 132αααααα---====+++.18．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O ，始边均为x 轴的非负半轴．若点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转4π后与角β的终边OQ 重合．(1)直接写出β与α的关系式；(2)求()cos αβ+的值．【正确答案】(1)π4βα=+(2)50-【分析】（1）根据题意即可得到角β与α的关系.（2）首先根据题意得到3cos 5α=，4sin 5α=，再利用二倍角和两角和余弦公式求解即可.【详解】（1）由题意可得π4βα=+；（2）∵34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=.∵π4βα=+，∴πππcos()cos 2cos 2cos sin 2sin 444⎛⎫+=+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭αβααα7242525=--=19．已知函数()4f x x x=+．(1)用定义证明()f x 在区间(]0,2上是减函数；(2)设()0,απ∈，求函数()sin f α的最小值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)5.【分析】(1)直接利用定义法即可证明函数在(0,2]上是减函数；(2)利用换元法可得4()f t t t=+(01t <≤)，结合对勾函数的性质即可求解.【详解】（1）12,(0,2]x x ∀∈，且12x x <，121212121212()(4)44()()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+-+=，又12120,04x x x x -<<<，得12440x x -<-<，所以121212()(4)0x x x x x x -->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在(0,2]上是减函数；（2）由0απ<<，得0sin 1α<≤，令sin t α=，则01t <≤，4(sin )sin sin f ααα=+可转化为4()f t t t =+，由(1)知，函数4()f t t t=+在(]0,1上单调递减，所以当1t =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为()5f =5，即函数(sin )f α的最小值为5.20．已知函数()()cos 2(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=++>><<的最小值为1，最小正周期为π，且()f x 的图象关于直线π3x =对称．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的单调递减区间．【正确答案】(1)()πcos 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)ππππZ 44k k ,k 轾-++Î犏犏臌，【分析】（1）根据最值可求1A =，根据周期可求2ω=，根据对称可得π3ϕ=，即可求解解析式，（2）根据平移和诱导公式得()sin 22g x x =-+，进而根据整体法即可求解单调区间.【详解】（1）有题意可知21A -+=,所以1A =，又2ππ2ωω=⇒=，此时()()cos 22f x x ϕ=++，由()f x 的图象关于直线π3x =对称可知π2φπ,Z 3k k ´+=Î，所以2πφπ,Z 3k k =-Î，由于0πϕ<<，故取1k =，则π3ϕ=，故()πcos 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()ππ=cos 22=sin 22122y g x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ2π22π,Z 22k x k k -+≤≤+∈,解得ππππ,Z 44k x k k -+≤≤+∈，故()y g x =的单调递减区间为ππππZ 44k k ,k 轾-++Î犏犏臌，21．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 的之间的函数关系；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【正确答案】(1)0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)0.6【分析】（1）利用函数图象经过点()0.1,1，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭．【详解】（1）解：依题意，当00.1x ≤≤时，可设y kx =，且10.1k =，解得10k =又由0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）解：令0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即20.21144a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，得20.21a ->，解得0.6x >，即至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．22．已知函数()()2log 22a f x x =-，()()2log a g x x t =+，其中0a >且1a ≠．(1)当1t =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；(2)若函数()()()()221681f x F x a t x t x t =+-+-++在区间(]2,5上有零点，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析；(2)43t t ≤-≥或【分析】（1）代入1t =，分为01a <<以及1a >两种情况，根据对数函数的单调性即可得出答案；（2）求出2()(68)1F x t x x x =-++-.根据0t ≠，分离参数可得13141x t x -=-+--.换元求出3341414x x ≤-+-≤-，即可得出104t<≤-或3104t ≤<-，即可求出t 的范围.【详解】（1）当1t =时，不等式可化为2log (22)2log (1)a a x x -≤+，当01a <<时，得()22222010221x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≥+⎪⎩，解得3x ≥；当1a >时，得()22222010221x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≤+⎪⎩，解得13x <≤.综上，当01a <<时，不等式的解集为[)3,∞+；当1a >时，不等式的解集为(]1,3.（2）由题意可得，函数()()()221681681F x tx t x t t x x x =+-+-=-++-.令2(68)10t x x x -++-=，因为(]2,5x ∈，所以(]11,4x -∈，则有0t ≠，故216831411x x x t x x -+-==-+---.令1m x =-，则14m <≤.因为()34k m m m =+-在(上单调递减，在4⎤⎦上单调递增.所以，当m 时，()k m 有最小值4k =，又()11340k =+-=，()3344444k =+-=，所以当4m =时，()k m 有最大值()344k =.所以33444m m ≤+-≤，即3341414x x ≤-+-≤-.又0t ≠，所以140t ≤-<或1304t <-≤.即104t<≤-3104t ≤<-，解得t 的取值范围为43t t ≤-≥或关键点点睛：已知函数2()(68)1F x t x x x =-++-在区间上有零点，求参数范围.推出0t ≠，可分离参数得出13141x t x -=-+--，然后只需求出函数3141y x x =-+--在(]2,5上的值域，即可得出参数范围.。
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则A B = （）A.{}|12x x << B.{}|03x x << C.{}|23<<x x D.{}3|1x x <<【答案】A 【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则{}|12A B x x ⋂=<<.故选：A.2.“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由π6θ=，可得1sin 2θ=成立，即充分性成立；反正：若1sin 2θ=，可得π2π6k θ=+或5π2π,6k k Z θ=+∈，即必要性不成立，所以π6θ=是1sin 2θ=的充分不必要条件.故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【解析】【分析】根据中位数的求解方法可得【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据，又最中间两个数的平均数为454.52+=，该组数据的中位数为4.5故选：C 4.复数13i1iz -=+，则z =（）A.5B.C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.【详解】因为()()()()2213i 1i 13i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z -----+--=====--++--,所以z ==故选：B.5.已知,OA a OB b == ，点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，则PQ =uu u r（）A.a b+ B.22a b + C.b a - D.22b a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量加、减法的法则可得【详解】因为点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，所以22,22OP OM OA a OQ OM OB b +==+==，两式相减可得所以PQ =uu u r OQ OP -= 22b a - ，故选：D6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A.20πB.30πC.60πD.90π【答案】C【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.【详解】如图所示，设球O 与圆锥底面相切于点N ，与母线BS 相切于点M ，根据已知得6,3BN OM ==，设母线长BS l =，则在直角△SBN 中SN ==因为SNB SMO △∽△，所以OS BSOM BN=即36336l =，化简得24600l l --=，解得10l =，或6l =-(舍去)，所以圆锥的侧面积为：ππ610=60πBN l ⋅⋅=⨯⨯.故选：C.7.若函数()()22e e 4e e 2xx x x f x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可判断()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，由函数有且只有一个零点，()f x 过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为R ，因为()()()22ee 4e e 2xx x x f x b f x ---=+-++=，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数()f x 过坐标原点，()024220f b =-⨯+=，解得3b =.故选：B .8.已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222224a b c ++=，则ABC 面积的最大值为（）A.8B.4C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用两次基本不等式得到2162ABC S ≤ ，从而得解.【详解】因为222224a b c ++=，则222122b c a +=-，24a <，即2222322b c a a +-=-，由余弦定理可得232cos 22bc A a =-，又2sin 4ABC bc A S = ，所以2222234cos 22b c A a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①，22224sin 16ABC b c A S = ②，①+②可得22222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又()22222221422b c b ca ⎛⎫≤+=- ⎪⎝⎭，即2222231216222ABC a S a ⎛⎫⎛⎫-+≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()22222221316222222ABCSa a a a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222a a ⎛⎫+-≤= ⎪⎝⎭，即2162ABC S ≤ ，即0ABC ABC S S ⎛+-≤ ⎝，解得04ABC S <≤=，当且仅当22222b c a a⎧=⎨=-⎩时，即21a =，2234b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为24.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，从而结合基本不等式即可得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.对于事件A 和事件B ，()0.4P A =，()0.5P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.4=P ABB.若A 与B 互斥，则()0.9P A B ⋃=C.若A B ⊂，则()0.1P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.2P AB =【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB ，由A B ⊂，则AB A =，即可判断C ，由相互独立事件的定义，即可判断D【详解】因为()0.4P A =，()0.5P B =，若A 与B 互斥，则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=，故A 错误，B 正确；若A B ⊂，则AB A =，所以()()0.4P AB P A ==，故C 错误；若A 与B 相互独立，则()()()0.40.50.2P AB P A P B ==⨯=，故D 正确；故选：BD10.已知,O A 与,B C 分别是异面直线a 与b 上的不同点，E ，F ，G ，H 分别是线段OA ，OB ，BC ，CA 上的点.以下命题正确的是（）A.直线OB 与直线AC 可以相交，不可以平行B.直线EH 与直线BC 可以异面，不可以平行C.直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交D.直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交【答案】BCD 【解析】【分析】A 可假设直线OB 与直线AC 相交，推出矛盾；B 先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C 根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D 由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.【详解】A 选项，若直线OB 与直线AC 相交，则,,,O B A C 四点共面，则直线a 与b 共面，与题目条件直线a 与b 异面矛盾，故直线OB 与直线AC 不可以相交，A 错误；B 选项，当,E H 分别和,O A 重合时，直线EH 与直线BC 异面，直线EH 与直线BC 不可以平行，假如直线EH 与直线BC 平行，EH ⊂平面OAH ，BC ⊄平面OAH ，故//BC 平面OAH ，但BC 与平面OAH 有交点C ，显然这是不可能的，假设不成立，B 正确；C 选项，当,E F 均与O 重合，此时直线EG 与直线FH 相交，当调整,E G 的位置，可能有EG ⊥OA ，且令,F H 分别与,O A 重合，此时满足直线EG 与直线FH 垂直，故直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交，C 正确；D 选项，当,E H 均与A 重合，或,GF 均与B 重合时，直线EF 与直线GH 相交，当OE OF OA OB =时，EF 与AB 平行，当CG CHCB CA=时，GH 与AB 平行，此时EF 与GH 平行，其他情况，直线EF 与直线GH 异面，故直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交，D 正确.故选：BCD11.小明在研究物理中某种粒子点(),P x y 的运动轨迹，想找到y 与x 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现y 和x 都与某个变量()t t ∈R 有关联，且有sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩.小明以此为依据去判断函数()y f x =的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于原点对称B.函数()y f x =是以2π为周期的函数C.函数()y f x =的图象存在多条对称轴D.函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据y 的取值情况判断A 选项，根据正弦余弦函数周期性判断B 选项，根据圆的特性判断C 选项，应用复合函数单调性判断D 选项.【详解】对于A ：由题意知1cos 0y t =-≥，故()f x 不可能关于原点对称，A 选项错误；对于B:sin ,cos y x y x ==周期为2π，则()y f x =是以2π为周期的函数，B 选项正确；对于C ：当π,Z t k k =∈时，πsin ππ,Z x k k k k =-=∈,此时1cos y t =-有多条对称轴，C 选项正确；对于D:sin ,x t t =-设()()()sin ,1cos 0,h t t t h t t h t =-=-≥'单调递增，()11cos ,0,2g t t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭单调递增，根据复合函数的单调性可得()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则()()1ff =_____________.【答案】2【解析】【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.【详解】因为()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以()211213f =+⨯=，()()()()2213log 31log42f f f ==+==.故答案为：2.13.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发向北偏东60 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.【答案】【解析】【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.【详解】如图所示，设甲船航行到点C ，同时乙船航行到点D ，由已知得10AB =，120ABD ∠=︒，设BD AC x ==，则10BC x =-，在△BCD 中，由余弦定理得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒，代入得222221(10)2(10)(10100(5)752CD x x x x x x x =-+---=-+=-+，所以当5x =时，CD =千米.故答案为：.14.在ABC 中，3AB =，6AC =，60BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到E ，使15AE =.若32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则BD =_____________.【答案】4【解析】【分析】建系标点，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的坐标运算解得3cos 5θ=，进而可得4tan 3θ=，结合图形即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()(0,0,3,0,3,33A B C ，可知AB BC ⊥，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()15cos ,15sin ,315cos ,15sin ,315cos ,3315sin EA EB EC θθθθθθ=--=--=--，因为32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()3315cos 315cos 15cos 2t t θθθ⎛⎫-+--=-⎪⎝⎭，解得3cos 5θ=，且π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4sin 5θ==，sin 4tan cos 3θθθ==，所以tan 4BD AB θ=⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：建系，根据15AE =可设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合题意运算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，()12122,2a e e b e e λλ=-=-∈R .（1）若,a b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；（2）若,a b垂直，求实数λ的值；（3）求b的最小值.【答案】（1）()(),44,-∞⋃+∞（2）0λ=（3【解析】【分析】（1）根据向量不平行，21,e e 的系数比值不相等可解；（2）根据0a b ⋅=，结合数量积运算性质即可得解；（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.【小问1详解】因为,a b 可以作为一组基底，所以,a b不平行，又21,e e 不共线，所以212λ≠--，即4λ≠，所以，实数λ的取值范围为()(),44,∞∞-⋃+.【小问2详解】因为,a b 垂直，所以()()1212220a b e e e e λ⋅=-⋅-=，即()2211222420e e e e λλ-+⋅+= ，又22121211,11cos 602e e e e ==⋅=⨯⨯︒= ，所以()124202λλ-++=，解得0λ=.【小问3详解】因为()()22222221211222442413be e e e e e λλλλλλ=-=-⋅+=-+=-+ ，所以，当1λ=时，2b 取得最小值3，所以b.16.已知函数()cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和其图象的对称中心；（2）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()f A =2a =，b =，求ABC 的面积S 的值.【答案】（1）值域为[]22-,，ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.（2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；（2）根据()f A =A ，利用余弦定理求出c ，然后由面积公式可得.【小问1详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以值域为[]22-,，令ππ6x k k +=∈Z ，，得ππ,6x k k =-+∈Z ，所以()f x 的对称中心坐标为ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.【小问2详解】由()π2sin 6f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πA << ，ππ7π666A ∴<+<，所以ππ63A +=或2π3，即π6A =或π2A =，2a b =<=，π6A ∴=，由余弦定理得2π4122cos 6c =+-⨯，即2680c c -+=，解得2c =或4.当2c =时，11222S =⨯⨯=；当4c =时，11422S =⨯⨯=故所求ABC 的面积S 17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.【答案】（1）0.07a =，20.32小时（2）21.73小时（3）25【解析】【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a ，利用平均数的定义进行计算；（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为y ，从而得到方程，求出答案；（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.【小问1详解】由()0.020.060.0750.02541a ++++⨯=，解得0.07a =，因为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.【小问2详解】时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格，由题意知，即求60百分位数，又()0.020.0640.32+⨯=，()0.020.060.07540.62++⨯=，所以60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y ，则180.60.3222180.3y --=-，解得561821.7315y =+≈小时.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.【小问3详解】易知，5名学生中，优秀有452442⨯=++人，设为,A B ，良好有452442⨯=++人，设为,C D ，合格有251442⨯=++人，设为E .任选3人，总共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B E A C D A C E A D E ()()()(),,,,,,,,,,,B C D B C E B D E C D E ，10种情况，其中符合的有()()()(),,,,,,,,,,,A C E A D E B C E B D E ，共4种，故概率为42105p ==.18.在四棱台1111ABCD A B C D -中，BC AD ∥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，2AD =，CD =，1111AB BC AA A D ====，1120A AB ∠= .（1）求证：1//A B 平面11CDD C ；（2）求直线1AA 与直线CD 所成角的余弦值；（3）若Q 是1DD 的中点，求平面QAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24（3）75555.【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得11A B CD ∥，然后根据线面平行的判定可得（2）方法一，取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式1cos cos AA CD θ=，求出即可（3）利用二面角的定义找出QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角，求出平面QAC 的法向量()m x y z = ，，和平面ABCD 的法向量()001n = ，，，利用cos cos ,n m θ= 求解即可.【小问1详解】连接1CD ，111BC A D == ，11BC AD A D ∥∥，11A BCD ∴是平行四边形，11AB CD ∴∥.又1⊄A B 面11CDD C ，1CD ⊂面11CDD C ，故1//A B 平面11CDD C 【小问2详解】法一：取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角.在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥平面11ABB A ，BC ∴⊥平面1CED ，1BC CD ∴⊥，12BD ∴=，1cos 4BED ∠∴==-，所以，直线1AA 与直线CD所成角的余弦值为4.法二：在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥面11ABB A ，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，()020D ，，，11022AA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，()110CD =-，，1cos cos 4AA CD θ∴==，.【小问3详解】法一：过1D 作CE 延长线的垂线于O ，连接OD ，取OD 中点H ，连接QH ，过H 作HM AC ⊥，连接QM .易证QH ⊥面ABCD ，则QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角.11324QH OD ==，728MH =，所以1108MQ =，故cos 55MH QMH MQ ∠==.法二：()11010A D BC == ，，，11122D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，，13424Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，设()m x y z = ，，是平面QAC的法向量，则0130424x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，，令x =，得)m =-，又()001n =，，是平面ABCD 的法向量，所以cos cos ,55n m θ===.19.假设()G x 是定义在一个区间I 上的连续函数，且(){|}G x x I I ∈⊂.对0x I ∀∈，记()()1100x G x G x ==，()()()()22100x G x G G x G x ===，…，()()()100n n n x G G x G x -== .若某一个函数()G x 满足()()()21000n n n Gx pG x qG x ++=+，则有n n n x s t αβ=+（其中α，β为关于x 的方程2x px q =+的两个根，s ，t 是可以由0x ，1x 来确定的常数）.（1）若02x =，13x =且满足()()()212222n n n G G G ++=-+.（ⅰ）求2x ，3x 的值；（ⅱ）求n x 的表达式；（2）若函数()G x 的定义域为A ，值域为B ，且()0,A B ∞==+，且函数()G x 满足()()()216n n n G x G x G x ++=-+，求()G x 的解析式.【答案】（1）（ⅰ）21x =，35x =；（ⅱ）()71233n n x =-⋅-（2）()2G x x =【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，利用递推关系即可求解；（ⅱ）由题意知n nn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根可得()2nn x s t =+-，从而可得()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，求解即可；（2）由题意得()32nnn x s t =⋅-+⋅，又由值域为()0,B ∞=+可得0s =，从而可得0x t =，再由()10022x G x t x ===即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，又02x =，13x =，所以2102341x x x =-+=-+=，32121235x x x =-+=-+⨯=.（ⅱ）由题意知，nnn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根1，2-，()2n n x s t ∴=+-.又()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，所以7313s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()71233n n x ∴=-⋅-.【小问2详解】由题意知，α，β为关于x 的方程26x x =-+的两个根，所以3,2αβ=-=，则()32nnn x s t =⋅-+⋅，因为值域为()0,B ∞=+，易知0s =；2n n x t ∴=⋅，则002x t t =⋅=，()10022x G x t x ∴===，()2G x x ∴=.。
浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题含答案
奉化区2023学年第二学期期末试卷高一数学（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由实部与虚部概念可得1a =-，代入计算可求出结果.【详解】易知i z a =-的实部为a ，虚部为1-，由题意可知1a =-，则i 1i i 12i z -=---=--==故选：B2.两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（）A.13B.16C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】由古典概型的计算公式即可求解.【详解】两名男生，一名女生记为,,a b c两名男生，一名女生排成一排可能为：,,,,,abc acb bac bca cab cba ，故总可能数6N =，女生站在中间的可能为：,acb bca ，故可能数2n =，则女生站在中间的概率2163n p N ===.故选：A.3.已知平行四边形ABCD ，()1,2B -，()2,4C ，则AC BD +=（）A.()2,2- B.()3,3 C.()4,6 D.()6,4【答案】D 【解析】【分析】由,B C 两点的坐标求得()3,2BC = ，由平行四边形的性质有2AC BD BC +=，求值即可.【详解】由()1,2B -，()2,4C ，有()3,2BC =，平行四边形ABCD 中，有AB DC =，即0AB CD +=，().26,4AC BD AB BC BC CD BC +=+++==故选：D.4.已知平面,αβ，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（）A.若m β⊥，//l m ，则αβ⊥B.若//m β，//l m ，则//αβC.若//αβ，//m β，则//l mD.若αβ⊥，l m ⊥，则//m β【答案】A 【解析】【分析】运用面面垂直判定定理可判断A ，借助长方体举反例可判断BCD.【详解】对于A ，若m β⊥，//l m ，则l β⊥，且l ⊂α，则αβ⊥.故A 正确.对于B,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//m β，//l m ，此时αβ⊥，故B 错误.对于C,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//αβ，//m β，此时,l m 异面，故C 错误.对于D,如图所示，l ⊂α，m α⊄，αβ⊥，l m ⊥，此时m β⊂，故D 错误.故选：A ．5.某射击初学者在连续6次射击练习中所得到的环数：4,3,7,5,1,x ，该组数据的平均数与中位数相等，则x =（）A.1B.4C.7D.以上答案均有可能【答案】D 【解析】【分析】表示出数据的平均数，由中位数的定义分类讨论求解.【详解】这组数据的平均数为134572066x x++++++=，若中位数为342+，则有03342026Z x xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得1x =；若中位数为442+，则有4442026x x =⎧⎪++⎨=⎪⎩，解得4x =；若中位数为452+，则有510452026Zx xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得7x =.故选：D.6.在ABC ∆中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆半径R 与内切圆半径r 的比值是（）A.43B.53C.73D.83【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解.【详解】在ABC 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，设5,7,8a b c ===，由余弦定理得22222278511cos 227814b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin 14A =，则22sin 5314a R R R A =⇒=⇒=，所以()11sin 22S bc A r a b c ==++，则()11785782142r r ⨯⨯⨯=⨯++⇒=所以73Rr ==，故选：C7.已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,AB A B AA ===，球O 与上底面1111D C B A 以及各侧棱1111,,,AA BB CC DD 均相切，则该球的表面积为（）A.28π B.24πC.20πD.16π【答案】B 【解析】【分析】作出过正四棱台的截面，再求出正四棱台的高，从而根据勾股定理求出球的半径，最后代入球的表面积公式，即可求解．【详解】设过棱台上下底面的中心以及一条侧棱作该棱台的轴截面如下图：正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =，∴正四棱台的高为12O O ，设球O 的半径为R ，球与侧棱1AA 切于M ，则在图中11Rt A O O V 中，2222111R A O R A M +=+，则111A O A M ==，所以1AM A M ==，在图中2Rt AO O 中，222222O A OO R AM +=+，(2222)R R∴+=+，解得R =，∴球O 的表面积为24π24πR =．故选：B8.已知R a ∈，在复数范围内12,x x 是关于x 的方程220x x a -+=的两个根，则关于a 的函数()1212122920x x x x f a x x ++=-+的零点的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】根据根与系数的关系得12122,x x x x a +=⎧⎨=⎩，进而根据方程的的虚根和实数根分类讨论，即可求解.【详解】若12,x x 是方程220x x a -+=的两个虚数根，所以12122Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-<⎩，且1211x x =+=-，则12x x ==，()1212122929010*******x x x x f a a x x ++=-=-=⇒-+=+2920±=，（满足1a >），若12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，所以12122,Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-≥⎩，且1211x x ==1211x x =+=-，当01a ≤≤时，1211x x =+=-()12121229229902022010x x x x a f a a x x +++=-=-=⇒=+，当a<0时，1211x x =+=，()121212292902020x x x x f a x x ++=-=-=+，2910=2910=，t =，由于20a -≤<，所以1t <≤故函数()3g t t t =-在1t <≤单调递减，且()291210g =<，故29310t t=-在1t <≤综上可得，零点个数为3，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个命题为真命题的是（）A.已知平面向量,,a b c ，若//a b ，//b c，则//a cB.若()1,2a =-r ，()3,6b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底C.()1,a λ= ，()4,b λ=- ，若a b ⊥，则2λ=D.()5,0a = ，()4,3b =- ，则b 在a方向上的投影向量为()4,0-【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：根据向量共线的坐标表示分析可知,a b不共线，结合基底向量的定义分析判断；对于C ：根据向量垂直的坐标表示运算求解；对于D ：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】对于选项A ：例如()()1,0,0,0,1a b c ===，可知//a b ，//b c ，但,a c不共线，故A 错误；对于选项B ：因为1623⨯≠-⨯，可知,a b不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，故B 正确；对于选项C ：若a b ⊥，则240a b λ⋅=-+=r r，解得2λ=±，故C 错误；对于选项D ：若()5,0a = ，()4,3b =- ，则20,5a b a b ⋅=-==，所以b 在a 方向上的投影向量为()244,05a b a a a ⎛⎫⋅ ⎪=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BD.10.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0,1,2,2,4,5的极差与众数之和为7B.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件A =“至少有2个红球”，事件B =“都是白球”，则事件A 与事件B 是对立事件C.甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为23，乙每次投中的概率为12，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为13D.一组不完全相同数据12,,...,n x x x 的方差为2，则数据1221,21,...,21n x x x +++的方差为4【答案】AC 【解析】【分析】利用极差与众数定义可判断A ；由对立事件概念可判断B ；根据独立事件概率乘法公式计算可判断C ；由方差的概念代入计算可判断D.【详解】对于A ，数据0,1,2,2,4,5的极差为505-=，众数为2，它们的和为7，故A 正确；对于B ，事件A 包括“2个红球1个白球”和“3个红球”两个基本事件，与事件B =“都是白球”不能同时发生，可知事件A 与事件B 是互斥事件；但还有可能出现“1个红球2个白球”的情况，所以事件A 与事件B 是互斥但不对立事件，故B 错误；对于C ，由相互独立事件的乘法公式可得甲乙各投篮一次同时投中的概率为211323⨯=，故C 正确；对于D ，设数据12,,...,n x x x 的平均数为12...nx x x x n+++=，则其方差为()()()222121...2n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦，所以数据1221,21,...,21n x x x +++的平均数为122121...21221n x x x nx ny x n n+++++++===+；所以方差为()()()22212121212121...2121n x x x x x x n ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦()()()()()()22222212121444...4...8n n x x x x x x x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-=⎣⎦⎣⎦，故D 错误.故选：AC11.在ABC 中，π6A =，2AB =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则1BC = B.若BC =π4C =C.若ABC 有两解，则(1,2)BC ∈ D.若ABC 是锐角三角形，则3AC ∈⎪⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用余弦定理求解判断，对于B ，利用正弦定理求解判断，对于C ，根据正弦定理结合图形分析判断，对于D ，由正弦定理得5π2sin 2sin 6sin sin C B AC C C⎛⎫- ⎪⎝⎭==，化简后，再求出角C 的范围，从而可求出AC 的范围.【详解】对于A ，在ABC 中，π6A =，2AB =，AC =1BC ===，所以A 正确，对于B ，在ABC 中，π6A =，2AB =，BC =，则由正弦定理得sin sin BC AB A C =，2πsin sin 6C =，得2sin 2C =，因为AB BC >，π5π66C <<，所以π4C =或3π4C =，所以B 错误，对于C ，如图，过B 作BD AC ⊥于D ，则1sin 212BD AB A ==⨯=，因为ABC 有两解，所以BD BC AB <<，即12BC <<，所以C正确，对于D ，由正弦定理得sin sin AB ACC B =，2sin sin AC C B=，所以5π2sin 2sin cos 16sin sin sin tan C B C C AC C C C C⎛⎫- ⎪+⎝⎭====+因为ABC 为锐角三角形，所以π025ππ062C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ32C <<，所以πtan tan3C >=，所以10tan 3C <<，1tan 3C <+<3AC <<，所以D 正确.故选：ACD12.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1B C 的中点，点,P Q 分别是在线段111,A C BD 上的动点，下列结论正确的是（）A.异面直线11A C 与1AB 所成角为45B.1BD ⊥平面1AB CC.三棱锥1P ACB -的体积是定值D.QM QN +【答案】BCD 【解析】【分析】由定义法求异面直线所成的角判断选项A ；利用线线垂直证明线面垂直判断选项B ；由底面积和棱锥的高计算体积判断选项C ；利用翻折到同一平面求距离和的最小值判断选项D.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC =，11//AA CC ，则四边形11ACC A 为平行四边形，有11//A C AC ，异面直线11A C 与1AB 所成角等于直线AC 与1AB 所成角，正方体1111ABCD A B C D -中，1ACB 为等边三角形，所以异面直线11A C 与1AB 所成角为60 ，A 选项错误；正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1BB AC ⊥，正方形ABCD 中，有BD AC ⊥，1,BB BD ⊂平面11BDD B ，1BB BD B ⋂=，则有AC ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，B 选项正确；11//A C AC ，11A C ⊄平面1ACB ，AC ⊂平面1ACB ，则11//A C 平面1ACB ，点P 是线段11A C 上的动点，则点P 到平面1ACB 的距离为定值，1ACB 是边长为的等边三角形，面积为定值，所以三棱锥1P ACB -的体积是定值，C 选项正确；正方形11BCC B 中，点N 是线段1B C 的中点，也是线段1BC 的中点，以1BD 为轴，把11BD C △和11BD B 旋转到同一平面内，则QM QN +的最小值为MN ，由1112D C BB ==，111BC D B ==，1BD =，1111BD C BD B ≅ ，222221111111BD D C BC BB D B =+=+，平面四边形111BB D C 为矩形，N 是线段1BC 的中点，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，设T 为11B D 的中点，则Rt MTN 中，12NT BB ==，111242MT D B ==，所以2MN ===，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：立体图形上的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 12i z ⋅=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为____.【答案】()2,1-【解析】【分析】由复数的除法求得z ，由共轭复数的定义可得出复数z ，再由几何意义求z 在复平面内对应的点的坐标.【详解】由i 12i z ⋅=-，得2212i i 2i 2i i iz --===--，则2i z =-+，z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-.故答案为：()2,1-.14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为____.【答案】3π3【解析】【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积.【详解】设圆锥的母线长l 为2，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r ，高为h ，则得到2π2πr =，解得：1r =，这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高h ===所以圆锥的体积为：21π33r h =.故答案为：3.15.如图，相距1l ，2l 之间是一条小路（1l ，2l 可看作两条平行直线），为测量点A 到2l 的距离h （1l ，2l 在点A 的同侧），某研究小组在2l 一侧东边选择点B ，作为测量起始位置，AB 与1l 交于点M ，从点B 出发向西走N ，测得2MN l ⊥，继续向西走6米到达点C ，AC 与1l 交于点P ，继续向西走2米到达点Q ，测得2⊥PQ l ，则h =___.【答案】【解析】【分析】根据两角差的公式，可解出()sin sin BAQ PCQ MBN ∠=∠-∠，再根据正弦定理可得出AC ，再利用直角三角形的性质求解距离h 即可.【详解】由题意知相距米的1l ，2l 之间是一条小路，所以PQ MN ==BN =，2CQ =，)661BC =-+=，所以,34PCQ MBN ππ∠=∠=，则())1sin sin sin cos cos sin 4BAC PCQ MBN PCQ MBN PCQ MBN ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=，在BAC 中根据正弦定理知sin sin BC AC BACMBN=∠∠，解得12AC =，由sin hPCQ AC∠=，得到h =.故答案为：16.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，120,2,3ABC AB BC ∠=== ，且PA ⊥面ABCD ，则向量PC 在向量BD方向上的投影向量是____(结果用BD表示).【答案】57BD【解析】【分析】运用投影向量的概念，结合数量积，基底只是求解即可.【详解】向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为2||||||PC BD BD PC BD BD BD BD BD ⋅⋅⋅=⋅.运用运用余弦定理求得222||2cos604967BD AB AD AB AD =+-⋅︒=+-= .PC PA AC PA BC BA =+=+- ，BD BA AD BA BC =+=+ ，()()PC BD PA BC BA BA BC ⋅=+-⋅+，展开化简得到，2222PC BD PA BA PA BC BC BA BC BA BA BC PA BA PA BC BC BA ⋅=⋅+⋅+⋅+--⋅=⋅+⋅+- ，由于且PA ⊥面ABCD ，则0,0PA BA PA BC ⋅=⋅=,则225PC BD BC BA ⋅=-= .代入2||PC BD BD BD ⋅⋅，得到57BD .则向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为57BD .故答案为：57BD.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，第18—22题每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面向量,a b ，满足3,2a b == ，且a 与b 的夹角为3π.（1）求a b ⋅的值；（2）求a 与b a -夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2）277-【解析】【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果；（2）由向量夹角的计算公式代入（1）中结论即可.【小问1详解】由3,2a b == 可得π1cos 32332a b a b ⋅==⨯⨯= ；即可得1a b ⋅= .【小问2详解】易知b a -== 所以()227cos ,7a b a a b a a b a a b aa b a ⋅-⋅--=====---.即可得a 与b a -夹角的余弦值为7-.18.全国中学生奥林匹克数学竞赛是由中国数学会主办的获得教育部批准的全国性赛事，相应的赛区初赛也是该项活动的一个环节.按照中国数学会有关全国中学生奥林匹克数学竞赛组委会的精神，以及浙江省科协的要求，2024年5月19日全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛如期举行.已知某中学有40人参加此次数学竞赛（满分为150分），其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m 的值及学生成绩的第75百分位数；（2）若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[)100,120内的学生中抽取3人参加座谈会，求成绩为107分的学生甲恰好被抽到的概率.【答案】（1）0.035m =，第75百分位数96；（2）1.2【解析】【分析】（1）利用所有小矩形面积之和为1即可求得0.035m =，根据百分位数定义计算即可得出结果；（2）由分层抽样比计算出各组抽取的人数，再由古典概型计算可得结果.【小问1详解】由题意可知()0.010.0150.0250.010.005101m +++++⨯=，解得0.035m =；易知60分到90分的人数频率之和为0.6，60分到100分的人数频率之和为0.85.所以第75百分位数位于90分到100分之间，且90分到100分之间的频率为0.25；估计第75百分位数为0.750.69010960.25-+⨯=，【小问2详解】在[)[)100,110,110,120的学生频率分别为0.1和0.05，则其人数分别为4和2，设在[)100,110中的4人为a b c d ,,,，在[)110,120中的2人为,e f ，令a 为甲，且其成绩为107.由分层随机抽样可得在[)[)100,110,110,120分别抽取2人与1人，则总共有以下12种可能：()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,e a b e a c e a d e b c e b d e c d ,()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,f a b f a c f a d f b c f b d f c d ;其中学生甲恰好被抽到的情况共有6种，所以抽到107分的学生甲的概率12P =.19.如图，已知在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱AC 的中点，1AB AA =.（1）证明：1AB //面1C BD ；（2）求直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）法一：作出辅助线，构造平行四边形，得到线线平行，进而得到面面平行，证明出线面平行；法二：作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）法一：证明出线面垂直，得到1BD C D ⊥，设11AB AA ==，求出其他各边长，得到1158BDC S =，利用等体积法得到点C 到平面1C BD 的距离，进而得到直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值；法二：作出辅助线，证明出线面垂直，得到CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，设11AB AA ==，求出各边长，得到线面角的正弦值.【小问1详解】法一：取11A C 中点M ，连接1AM B M DM，，因为1B M BD =，1DM BB =，所以四边形1B BDM 为平行四边形，所以1B M BD //.又因为1B M⊄平面1C BD ，BD ⊂平面1C BD ，所以1//B M 平面1.C BD 因为1C M 平行且等于AD ，所以四边形1ADC M 为平行四边形，所以1AM C D //.又因为AM ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AM 平面1.C BD 又因为AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M 且1AM B M M ⋂=.所以平面1//AB M 平面1C BD .因为1AB ⊂平面1AB M ，所以1AB //平面1.C BD 法二：连接1B C ，记1B C 与1BC 的交点为N ，连接DN .在1AB C V 中，1AD DC B N CN ==，，所以DN 为1AB C V 的中位线，所以1DN AB //，又因为DN ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ，所以1AB //平面1C BD .【小问2详解】法一：ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，故BD ⊥AC ，因为1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥BD ，因为AC ，1CC ⊂平面1C DC ，1AC CC C = ，所以BD ⊥平面1C DC ，又因为1C D ⊂平面1C DC ，所以1BD C D ⊥.设11AB AA ==，则sin 602BD AB =︒=，1cos 602CD AB =︒=，由勾股定理得12C D ===，故111122228BDC BD C D S ⨯⨯⋅===；设点C 到平面1C BD 的距离为d ，其中1111111111332322224C BCD BCD V S CC CD BD CC -=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，又1111332458C C BD C BCD C C BDBDC V V V d S ---==⇒== .所以5sin 15d BC θ===.法二：设11AB AA ==，取1AA 的中点E ，连接CE ，交1C D 于点F ，连接BF .因为AB BC AD DC ==，，所以BD AC ⊥又因为平面ABC⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ⊥，因为11,,90CD AE AC CC EAC DCC ==∠=∠=︒，所以EAC ≌1DCC △，所以1ACE CC D ∠=∠，故11190ACE FCC CC D FCC ∠+∠=∠+∠=︒，故1C D CE ⊥，又因为1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC .所以CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，有勾股定理得221115142C D CD C C =+=+=，故111152552CD CC CF C D ⨯⋅===，所以555sin 15CF CBF BC ∠===.20.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.（1）若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；（2）若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.【答案】（1）112-；（2）1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD为基底表示出EF得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【小问1详解】如下图所示：由2DE EC =可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；【小问2详解】法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=-，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--= 显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1c =且()2cos a C B -=.（1）请在以下两个条件中任选一个（若两个条件都选，则按①的解答过程给分）①sin sin 2sin b B c C a A-=②cossin 2A Ca b A +=，求ABC 的面积S ；（2）求3a b -的最大值.【答案】（1）4；（2）3【解析】【分析】（1）由三角恒变换可得π6C =，若选择①利用余弦定理可得2π3B =，代入面积公式即可得结果；若选择②，由诱导公式以及二倍角公式可得结果；（2）利用正弦定理以及辅助角公式即可求得结果.【小问1详解】由1c =可得，原式可化为()2cos cos a C B -=利用正弦定理可得2sin cos cos cos A C B C C B =，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A ≠，所以cos 2A =，又()0,πA ∈，可得π6C =.选择①由sin sin 2sin b B c C a A -=利用正弦定理可得2222b c a -=，222cos 22b ac C ab +-==，解得,b a c ==；易知2221cos 22c a b B ac +-==-，所以2π3B =.选择②原式可化为πsin cos sin sin 22B A B A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，可得sin sin 2B B =；因为0B ≠，所以π2B B +=.所以2π3B =.因此ABC的面积为111sin12024ABC S =⨯⨯⨯= .【小问2详解】由正弦定理可知121sin 2c C ==，因此2sin ,2sin a A b B ==；可得5π2sin 2sin sin 3336a b A B A A ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭πsin cos 336A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；又5π06A <<可知，当2π3A =时，πsin 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭取到最大值1，即3a b -有最大值322.如图，在ABC 中，π,2,42ACB AC BC ∠===，点P 满足AP PB λ= ，沿CP 将ACP △折起形成三棱锥1A PBC -.（1）若1λ=，1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上，求二面角1A CP B --平面角的余弦值；（2）若二面角1A CP B --为直二面角，当1A B 取到最小值时，求λ的值及点P 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）14；（2）69【解析】【分析】（1）根据二面角定义，作出二面角的平面角并由边长求出其余弦值；（2）由直二面角性质，结合余弦定理和线面垂直的性质可得1A B 的长度表达式，结合三角函数值域可得当1A B 取到最小值时12λ=，再利用等体积法可得点P 到平面1A BC 的距离.【小问1详解】过点A 作CP 的垂线交CP 于点D ，交BC 于点H ，如下图所示：翻折后仍有1,A D CP HD CP ⊥⊥，又因为1A D HD D ⋂=，且1A D ⊂平面1A DH ，HD ⊂平面1A DH ，所以⊥CP 平面1A DH ，所以1A DH ∠为二面角1A CP B --所成的平面角.由1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上得1A H ⊥平面BPC ，所以11cos DH DH A DH A D AD∠==，由1λ=可知PA PC =，因为sin sinACD CAB ∠=∠=所以sinAD AC ACD =⋅∠=又易知cos cosCAH ABC ∠=∠=所以cos AC CAH AH =∠，可得AH =，所以5DH AH AD =-=；所以11cos 4DH A DH AD ∠==，即二面角1A CP B --平面角的余弦值为1.4【小问2详解】过点1A 作CP 的垂线交CP 于点G ，如下图所示：设1,2sin ,2cos ACP A G CG ααα∠===，由二面角1A CP B --为直二面角可知平面1ACP ⊥平面BPC ，平面1A CP ⋂平面BPC PC =，1A G CP ⊥，又1A G ⊄平面BPC ，CP ⊂平面BPC ，所以1A G ⊥平面BPC ，又BG ⊂平面BPC ，所以1A G BG ⊥，则有()2222cos 4πcos cos sin 2242cos BG BCG αααα+-⎛⎫∠=-== ⎪⨯⨯⎝⎭，可得224cos 16sin cos 16BG ααα=-+，又22211A B A G BG =+，所以22214sin4cos 16sin cos 16208sin 2A B ααααα=+-+=-，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当π4α=时，1A B 取到最小值π3πsin sin πsin 4410APC A A ⎛⎫⎛⎫∠=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin sin AC AP APC ACP =∠∠，可得,33AP BP ==，所以1.2λ=（注：π4ACP BCP ∠=∠=，12AC BC =，由角平分线定理得12AP BP =也可）则有118sin ,23BCPA BC S BP BC CBP S =⋅⋅∠== ,11181333A BCP P A BC V V d --==⨯=⨯，解得469d =.即点P 到平面1A BC 的距离为9.【点睛】关键点点睛：本题在求解二面角问题大小时，关键是根据题意作出二面角的平面角，并结合余弦定理和三角形相似等求出结论.。
浙江省丽水市2022-2023学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题及参考答案
丽水市2022学年第二学期普通高中教学质量监控高一数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至6页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷 选择题部分（共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知i 为虚数单位，则i(12i)−=A. 2i +B.2i −C.2i −+D. 2i −−2．已知向量()1,2a = ，()cos ,sin b θθ= ，且向量a 与b平行，则tan θ的值为A. 12−B. 2−C.12D. 23．甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，则两人各射击一次，恰有一人中靶的概率是 A.0.2B.0.4C. 0.5D. 0.94．演讲比赛共有9位评委，分别给出某选手的原始评分9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，8.8，9.3，9.7，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到7个有效评分．这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A.极差B. 中位数C. 平均数D. 方差5．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误．．的是A. 成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人B. 成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人C. 成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人D. 成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多 6．如图，,,A B C 三点在半径为1的圆O 上运动，且AC BC ⊥，M 是圆O 外一点，2OM =，则2MA MB MC ++的最大值是A. 5B. 8C. 10D. 127．一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，从中一次性随机摸出2个球，则下列说法正确的是A. “恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”是互斥事件 B. “恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事件 C. “至少摸到1个红球”的概率大于“至少摸到1个白球”的概率 D. “恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”是相互独立事件 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移3πω个单位得到函数()y g x =的图象，点,,A B C 是()y f x =与()y g x =图象的连续相邻的三个交点，若ABC ∆是锐角三角形，则ω的取值范围是 A. ) B. ) C. ,)+∞ D. ,)+∞(第6题图)前200名学生排名分布扇形图前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图前200名学生分布的扇形图 前200名中高一学生排名分布的频率条形图二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分．9．已知复数i (,R)z a b a b =+∈在复平面内对应的点为Z ，则下列结论中正确的是 A. 222||z a b =+ B. 222z a b =+C. 22z z a b⋅+D. 222||OZ a b =+10．已知,m n 是异面直线，αβ,是不同的平面，m α⊥，n β⊥，直线 l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列关系不可能．．．成立的是 A. //αβB. αβ⊥C. //l αD. l α⊥互相垂直，2BD =，1DE =，点P 是线段EF 上的动点，则下列命题中正确的是A. 不存在点P ，使得直线//DP 平面ACFB. 直线DP 与BC 所成角余弦值的取值范围是C. 直线DP 与平面ACF 所成角的取值范围是[0,]4πD. 三棱锥A CDE −的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8(第12题图)第Ⅱ卷 非选择题部分（共90分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(原卷版)
宁波市2022学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数13i12i z +=−，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 1B. iC. i −D. 1−2. 在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点()4,3−，则2πcos α −的值为（ ）A. 35B.35C. 45−D.453. 设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若l α∥，l β ，则αβ∥ B. 若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ C. 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥D. 若αβ∥，l α∥，则l β4. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且1ABBC CD ===，则其内切球表面积为（ ） A. 3πB.C. (3π−D.)1π−5. 已知等比数列{}n a 的前n 项积．为n T ，若798T T T >>，则（ ） A.0q <B. 10a <C. 15161T T <<D. 16171T T <<6. 如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABC A B C 中，D 是11A B 的中点，过B 、C 、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（ ）A.B.C.D.7. 在ABC 中，0P 是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则ABC 一定是（ ） A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 1−B. 45−C. 35D. 25−二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a c B. ()a b c a b c ⋅⋅≤C. 若()a cb ⊥− ，则a b ac ⋅=⋅D. ()()2a b b a b⋅⋅=⋅10. 下列说法正确的是（ ）A. 若()πsin 2cos 3f x x x ωω=++()0ω>的最小正周期为π，则2ω= B. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“A B ＞”是“a b ＞”的充要条件 C. 三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列 D. ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则ABC的面积为11. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）的A. 存在某条直径CD ，使得AD SD ⊥B. 若2AB =，则三棱锥S AOD −体积的最大值为16C. 对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D. 若π6ABD ∠=，则异面直线SA 与CD12. 已知数列{}n a 中各项都小于2，221143n n n n a a a a ++−=−，记数列{}n a 前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ）A. 任意1a 与正整数m ，使得10m m a a +≥B. 存在1a 与正整数m ，使得134m m a a +>C. 任意非零实数1a 与正整数m ，都有1m m a a +<D. 若11a =，则()2022 1.5,4S ∈非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 杭州第19届亚运会会徽“潮涌”主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______.的的14. 已知等差数列{}n a ，88a =，9π83a =+，则576cos cos cos a a a +=______. 15. 如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，13BC CC ==，4AC =，AC BC ⊥，动点P 在111A B C △内（包括边界上），且始终满足1BP AB ⊥，则动点P 的轨迹长度是______.16. 已知向量a ，b 夹角为π3，且3a b ⋅= ，向量c 满足()()101c a b λλλ+−<< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记c a x a ⋅=，c b y b ⋅= ，则22x x y y +−的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 定义一种运算：(),c a b ac bd d=+.（1）已知z 为复数，且()3,73i 4z z =−，求z ；（2）已知x 、y 为实数，()()2sin i sin 2,21,sin x y x x y+−也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间.18. 今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数()()40cos 4f x A x k ω=++ 来刻画.其中正整数x 表示月份且[]1,12x ∈，例如1x =时表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多.的的（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()y f x =的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243n S n n =+−.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记125n n n n b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .20. 在ABC 中，内角A ，B 都是锐角.（1）若π3C ∠=，2c =，求ABC 周长的取值范围； （2）若222sin sin sin A B C +>，求证：22sin sin 1A B +>.21. 已知边长为6的菱形ABCD ，π3ABC ∠=，把ABC 沿着AC 翻折至1AB C 的位置，构成三棱锥1B ACD −，且112DE DB = ，13CF CD =，FE =（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求二面角1B AC D −−的大小； （3）求EF 与平面1AB C 所成角的正弦值.22. 已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：()21n n n S a S =−，且0n S ≠，数列{}n b 满足：对任意*n ∈N 有()11212122n n nb b b n S S S ++++=−⋅+ . （1）求证：数列1n S是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n T 是数列122n n n b b − −的前n 项和，求证：32n T <.。
浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(解析版)
2022学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名､姓名､试场号､座位号､准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3.答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合{}{}21,2,3,4,230AB xx x ==−−≤∣，则A B = （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}1,2D. {}1【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集.【详解】由2230x x −−≤，得(1)(3)0x x +−≤，解得13x −≤≤， 所以{}13B x x =−≤≤，因为{}1,2,3,4A =，所以A B = {}1,2,3， 故选：B2. 若i 23i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 2B. 3C.D. 【答案】C 【解析】【分析】先求得32i z =−，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为()()()23i i 23i32i ii i z +−+===−−，所以z =.故选：C3. 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，.若角1000α=密位，则α=（ ） A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C 【解析】【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，10002π6000α=×，从而可得解． 【详解】因为1密位等于圆周角的16000， 所以角1000α=密位时，1000π2π60003α=×=， 故选：C ．4. 已知平面α⊥平面β，直线l α⊄，则“l β⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断. 【详解】设m αβ= ，在平面α内作a m ⊥， 因为平面α⊥平面β，所以a β⊥， 因为l β⊥，所以a ∥l ， 因为l α⊄，a α⊂， 所以//l α，而当平面α⊥平面β，直线l α⊄，//l α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直， 所以“l β⊥”是“//l α”的充分而不必要条件， 故选：A5. 杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度h 随时间t 变化的下降速度. 【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗， 燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快， 燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢， 结合所得的函数图象，A 选项较为合适. 故选：A.6. 雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得ABC ∠、ADC ∠的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC =（ ）A. ()sin sin sin d αββα−B. ()sin sin cos d αββα−C.()tan tan tan d αββα−D.()sin cos sin d αββα−【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可求得AD ，进而可得出sin AC AD β=，即为所求. 【详解】在ABD △中，BAD ADC ABC βα∠=∠−∠=−，由正弦定理可得sin sin BD AD BAD ABC=∠∠，即()sin sin d AD βαα=−，得()sin sin d AD αβα=−， 由题意可知，AC BC ⊥，所以，()sin sin sin sin d AC AD ADC αββα=∠=−.故选：A.7. 已知函数()()πe π,e xf x xg x =+=（e 为自然对数的底数），则（ ） A. ()()()0,,x f x g x ∞∀∈+> B. 0e ,e ππx∃∈，当0x x =时，()()f x g x = C. ()()e ,e π,πx f x g x∀∈<D. ()2π0e ,x ∞∃∈+，当0x x >时，()()f x g x <【答案】D 【解析】【分析】观察到()(),f x g x 分别为一次函数和指数函数，则数形结合，依次判定即可.【详解】由题，假设当1x x =时，()()f x g x =，作出示意图如图所示：则1(0,)x x ∈时，()()f x g x >， 当1(,)x x ∈+∞时，()()f x g x <，则A 选项错误；因为e 1e π9π<<<，()()π1e π,1e f g =+=，()()11f g >，故C 选项错误，且()()()()()39393π99e π10e,9 1.299128,e .2f g f g=+>=<><<=，则结合图像可知，当ee ππx <<时，()()f x g x >恒成立，故B 选项错误； 对于D 选项，x →+∞时，由图可知()()f x g x <，则D 选项正确.故选：D.8. 设函数()()ππ3πsin 0,,0,1288f x x f f ωϕωϕ=+><−==，且()f x 在区间π,1224π− 上单调，则ω的最大值为（ ） A. 1 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据π08f−= 与3π18f =可得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，再根据单调性可得8ω≤，验证7ω=， 5ω=与3ω=即可.【详解】由π08f−=,得()11ππ8k k ωϕ−+=∈Z ， 由3π18f =，得()223πππ82k k ωϕ+=+∈Z ， 两式作差，得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，因为()f x 在区间π,1224π−上单调，所以π12π2412π2ω+≤⋅，得8ω≤.当7ω=时，()117ππ8k k ϕ−+=∈Z ,因为π2ϕ<,所以π8ϕ=−, 所以()πsin 78f x x=−. 24ππ,12x∈−，π17π7π,8246x −∈− ,因为17ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当5ω=时，()115ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因π2ϕ<,所以3π8ϕ=−， 所以()3πsin 58f x x=−. 24ππ,12x∈−，3π19π5π,8246x −∈−− ,因为19ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当3ω=时，()113ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因为π2ϕ<,所以3π8ϕ=,所以()3πsin 38f x x=+. 24ππ,12x∈−，3πππ3,882x +∈ ，所以()f x 在区间π,1224π−上单调，符合题意，所以ω的最大值是3.故选:B.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 已知函数()2121x x f x −=+，则（ ）为A. 函数()f x 的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于y 轴对称C. 函数()f x 的值域为()1,1−D. 函数()f x 是减函数【答案】AC 【解析】【分析】求函数()f x 的奇偶性可判断AB ；分离参数可得()2121x f x =−+，根据指数函数的值域可判断C ；根据单调性的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为R ，()2121x x f x −=+，则()()21212121x x x x f x f x −−−−−==−=−++，所以()f x 为奇函数，()f x 的图象关于原点对称,A 正确，B 错误；()21212121x x x f x −==−++，因为211x +>,所以10121x<<+,20221x <<+， 所以211121x −<−<+,故()f x 的值域为()1,1−,C 正确； 设21x x >,则()()212122112121x x f x f x−=−−− ++()()()2112122222221212121x x x x x x −−=++++, 因为21x x >，所以2112220,210,210x x x x −>+>+>， 所以()()210f x f x −>,即()()21f x f x >， 所以函数()f x 是增函数，故D 错误， 故选:AC.10. 如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A. AB AF AO −=B. 3AC AE AD +=C. OA OC OB OD ⋅=⋅D. AD 在AB上的投影向量为AB【答案】CD 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A 、B 不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C 正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D 正确. 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于A 中，由B F AO FB A A =−≠，所以A 不正确；对于B 中，由232AO OC AO OE A AC AE O OC OE AO O A D O =+++=+=+++，所以B 不正确；对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得111cos1202OA OC ⋅=××=−，111cos1202OB OD ⋅=××=− ，所以OA OC OB OD ⋅=⋅ ，所以C 正确；对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD AB ⊥，可得cos AD DAB AB ∠=，所以AD 在向量AB 上的投影向量为AB AB AB AB⋅= ，所以D 正确. 故选：CD.11. 如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针作匀速圆周运动.若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为12 ，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为()1,0，则（ ）A. 在1s 末，点B 的坐标为()sin2,cos2B. 在1s 末，扇形AOB 的弧长为π13− C. 在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合 D. AOB 面积的最大值为12 【答案】BCD 【解析】【分析】求出1s 末点A 和B 的坐标可判断选项AB;求出7πs 3末点A 和B 的坐标，结合诱导公式可判断C ；根据三角形面积公式可判断D.【详解】在1s 末,点B 的坐标为()sin2,cos2，点A 的坐标为ππcos 1,sin 133 ++；π13AOB ∠=−，扇形AOB 的弧长为π13−；设在s t 末，点,A B 在单位圆上第二次重合， 则π7π22π33t t t −==+=，故在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合； 1sin 2AOBS AOB =∠△,经过5π6s 后，可得π2AOB ∠=，AOB 面积的可取得最大值12. 故选:BCD.12. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A. 设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B. 设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C. 设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V =D. 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为2π15a【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB 为等边三角形，设球心为G （即为PAB 的重心），即可求出PAB 的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D.【详解】作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB 为等边三角形， 又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB 的重心），所以23PGPO ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==，所以212r r =，故A 正确；设内切球表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误； 设圆锥的体积为1V，则3121ππ3V a a ， 内切球的体积为2V，则3324π3V a ==，所以1249V V =，故C 正确； 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则 ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），的设ST的中点为D，则πsin3OD a==，不妨设D为OB上的点，连接PD，则PD过点G作GE PD⊥交PD于点E，则PEG POD∽，所以GE PGOD PD=，=，解得GE=，所以平面PST截内切球截面圆的半径r所以截面圆的面积为22π15πar=，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 设函数()12,01,02xx xf xx>=<，若()12f a=，则=a__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解.【详解】当0a>时，1212a=，14a∴=，当a<0时，1122a=，1a∴=(舍)．14a∴=．故答案为：14. 14. 将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到函数sin y x =−的图象，则ϕ的最小值为__________. 【答案】π 【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果.【详解】将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得sin()y x ϕ=+， 因为sin()y x ϕ=+与sin y x =−的图象相同， 所以π2π,k k ϕ=+∈Z ， 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为π， 故答案为：π15. 已知正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正切值为__________；直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 14##0.25【解析】【分析】空1：取AB 中点D ，连接1,CD B D ，则可得1CB D ∠为直线1CB 与平面11AA B B 所成角，然后在1CB D 中求解即可；空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则可得EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角，然后在EFG 中求解即可. 【详解】空1：取AB 的中点D ，连接1,CD B D ， 因为ABC 为等边三角形，所以CD AB ⊥， 因为1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1BB CD ⊥，因为1BB AB B ∩=，1,BB AB ⊂平面11AA B B ， 所以CD ⊥平面11AA B B ，的所以1CB D ∠直线1CB 与平面11AA B B 所成角， 因为正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，所以12CD DB ===所以11tan CD CB D DB ∠=所以直线1CB 与平面11AA B B空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则EF ∥1B C，11122EF B C ==×， FG ∥1A B，11122FG A B ==×，所以EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角， 连接,DG DE，则EG =，在EFG 中，由余弦定理得2221cos 24EF FG EG EFG EF FG +−∠==−⋅， 因为异面直线所成的角的范围为0,2π，所以直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为14，14.为16. 对于函数()()yf x x I ∈，若存在0x I ∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的“不动点”.若存在0x I ∈，使得()()0ff x x=，则称0x 为函数()y f x =的“稳定点”.记函数()y f x =的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即(){}()(){}|,|A x f x x B x f f x x ====.经研究发现：若函数()f x 为增函数，则A B =.设函数())R f x a ∈，若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则a 的取值范围是__________. 【答案】10,4【解析】【分析】先判断())R f x a ∈是增函数，再根据题意可得()f b b =，代入可得2a b b =−，再结合二次函数的性质即可求解a 的取值范围.【详解】因为())R f x a ∈是增函数，所以()()ff b b =等价于()f b b =b =，所以2a b b =−，而2a b b =−在10,2上单调递增，在1,12上单调递减， 所以max 14a =，而当0b =时，0a =；当1b =时，0a =，即min 0a =， 所以a 的取值范围为10,4.故答案为：10,4三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P−． （1）求sin α的值；（2）若角β满足()sin αβ+，求cos β的值．【答案】（1）45−（2【解析】【分析】（1）根据某个角正弦的定义，直接求解即可；（2）首先由同角的三角函数的平方关系求出()cos αβ+，根据()cos cos βαβα =+− 及两角差的余弦公式，代入计算即可． 【小问1详解】由角α的终边过点34,55P −，得4sin 5y r α===−．【小问2详解】由角α的终边过点34,55P − ，得3cos 5x r α==， 由()sin αβ+()1cos 2αβ+=±， ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα =+−=+++ ，当()1cos 2αβ+=时，134cos 255β =×+−=当()1cos 2αβ+=−时，134cos 255β =−×+−综上所述，cos β=．18. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg /L P 与时间h t 间的关系为0e kt P P −=（其中0,P k 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.（1）求k 的值（精称到0.01）； （2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）？参考数据：ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609===. 【答案】（1）0.02 （2）34.7【解析】【分析】（1）由题意可得5000.9e kP P −=，求解即可；（2）由题意可得0.02000.5e tP P −=，求解即可.【小问1详解】 由0ektP P −=知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%PP =−；即5000.9ekP P −=，所以1ln0.95k =−，即()()1911ln 2ln3ln102ln3ln2ln50.0251055k =−=−×−=−×−−≈； 【小问2详解】当00.5P P =时，0.02000.5e tP P −=，即0.020.5e t −=，则50ln234.7t≈.故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h .19. 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴,Ox Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，21,e e分别为,Ox Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+ ，则把实数对(),x y 叫做向量OP的“@未来坐标”，记{,}OP x y =.已知{}{}1122,,,x y x y 分别为向是,a b的@未来坐标.（1）证明：{}{}{}11221212,,,x y x y x x y y +=++；（2）若向量,a b 的“@未来坐标”分别为{}1,2，{}2,1，求向量,a b的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1314【解析】【分析】（1）因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+，则{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++计算即可证明；（2）由题意可得12122,2b e a e e e =+=+，根据向量夹角公式即可求解.因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+， 所以{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++()()211122x x y y e e =+++{}1212,x x y y =++【小问2详解】12122,2b e a e e e =+=+ ，()()221212121213222252a b e e e e e e e e ⋅+⋅+++⋅ ，122a e e =+=== ，212b e e =+===，所以13cos ,14a b a ba b⋅==. 20. 在四边形ABCD 中，//,sin 2sin AB CD AD ADC CD ABC ∠∠⋅=⋅.（1）求证：2BC CD =.（2）若33AB CD ==，且sin sin60AD ADB AB ∠°⋅=⋅，求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）证明见解析（2）若60ABD ∠= ，则四边形ABCD， 若120ABD ∠= ，则四边形ABCD【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理证明sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠，由此证明结论； （2）由条件结合正弦定理求ABD ∠，由余弦定理求BD ，结合三角形面积公式求结论.在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ADC AC ACD ∠⋅∠⋅，因为AB CD ，所以ACD CAB ∠=∠， 所以sin sin AD ADC AC CAB ∠⋅∠⋅， ABC 中，由正弦定理得，即sin sin AC CAB BC ABC ∠⋅=⋅∠， 所以sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠. 又sin 2sin AD ADC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以sin 2sin BC ABC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以2BC CD =.【小问2详解】在ABD △中，由正弦定理得sin sin sin60AD ADB AB ABD AB ∠∠⋅=⋅=⋅ ， 所以sin sin60ABD ∠= ， 所以60ABD ∠= 或120 ，①当60ABD ∠= 时，则60BDC ∠= ，在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD −−=，又0BD >，解得BD =此时四边形ABCD 的面积()1S sin602AB CD BD =+××= ②当120ABD ∠= 时，则120BDC ∠= ， 在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD +−=，解得BD =，在此时四边形ABCD 的面积()1sin1202S AB CD BD =+××=21. 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长AB ，宽BC ，高1AA 分别为30cm,20cm,10cm .（1）在方案(2)中，若111110cm LA A E IC C H FB BG ======，设平面LEF 与平面GHI 的交线为l ，求证：//l 平面ABCD ；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm ？ 【答案】（1）证明见解析 （2）方案(2)，最短绳长为100cm 【解析】【分析】（1）先证明LE IH ∥，从而可证LE 平面IHG ，进而得LE l ∥，从而可证l 平面1111D C B A ，从而可证//l 平面ABCD ；（2）方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，从而可计算最短绳长. 【小问1详解】连接,LI EH ，在长方体中，111110cm LA A E IC C H FB BG ======， 则111110cm,20cm B LD B E ID H ====，所以LE IHLI EH ==，所以LE IH =，LI EH =，所以四边形LEHI 是平行四边形，LE IH ∴∥，又LE ⊄ 平面,IHG LE ⊂平面LEF LE ∴ 平面IHG ； 又LE ⊂ 平面LEF ，平面LEF ∩平面,GHI l LE l =∴∥； 又l ⊄ 平面1111,A B C D LE ⊂平面1111,A B C D l ∴ 平面1111D C B A ， 又l ⊄ 平面,ABCD l ∴ 平面ABCD ； 【小问2详解】方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=； 方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF ′长度，因为FB F B =′′′，所以100cm FF BB ′′′===，所以彩绳的最短长度为100cm .22. 已知函数()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>. （1）直接写出()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集；（2）若()()()123f x f x g x ==，其中12x x <，求()()123f x x g x ++的取值范围；（3）已知x 为正整数，求()()()()22121h x m x m x m ∗=+−+∈N的最小值（用m 表示）.【答案】（1）()2,+∞； （2）()()12392f x xg x ++>；（3）()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= ∈ −=−+−+> N . 【解析】【分析】（1）转化为求解()1110x x x<−>，分01x <≤与1x >讨论即可求解； （2）根据韦达定理得()122t x x t +=>，再根据对勾函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.【小问1详解】∵()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>， ∴()()()()1f x g x g x f x −<−+即为()1110x x x <−>, 当01x <≤时，110x −≤，故()1110x x x<−>，显然不成立； 当1x >时，110x −>，故()1110x x x <−>，即()210x x<>,解得2x >. 综上所述，()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集为()2,+∞.【小问2详解】设()()()123f x f x g x t ===，则3x t =， 令1x t x+=，整理得：210x tx −+=， 故12x x t +=，且2Δ40t =−>，得2t >. ∴()()12312f x x g x t t ++=+在2+)∞（， 上单调递增， 所以11922222t t +>×+=， 即()()12392f x xg x ++>. 【小问3详解】 ()()()()()222222111211,11m mh x m x m x m x m m + +=+−+=+−− ++2121,11m m m m +=−+++ ()2,111m m m ∗∗∈∴−∈≤+N N ，， ①1m =时，()min 211,()121m h x h m −+=∴==−+； ②2m =时，()min 251,()2813m h x h m −+=∴==−+； ③3m =时，()()min 251,()232412m h x h h m −+=∴===−+； ④3m >时，2121,1111212m m m m m <−<−+<−+++， ∴()32min ()133h x h m m m m =−=−+−+. 综上所述，()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= =∈ −=−+−+> N。
2023年浙江省金兰教育合作组织数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π2．已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A ．B ．CD 3．函数y=tan （π4–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+3π4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π4，k ∈Z}D ．{x|x≠kπ+π4，k ∈Z}4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．13B ．26C ．13D ．265．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．152B ．5C ．6D ．3566．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（n *∈N 且2n ≥），且数列21{}n a -是递增数列，数列2{}n a 是递减数列，又12a a >，则100a = A ．5050-B ．5050C ．4950-D ．49507．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72D ．928．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为8:5，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ） A ．32B ．437C ．5314D ．879．已知21tan1cos1sin1,22cos 22.52,1tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．b a c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)
2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（A卷）1.已知向量，若∥，则（）A．2B．C．D．32.设是一条直线，、是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则3.复数（）A．B．C．D．4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角为，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角为，根据以上数据可得古塔AB的高为（）米.A．B．20C．10D．5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x的分位数为2.5，则x可以是（）A．2B．3C．4D．56.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A．18.2B．19.6C．19.8D．21.78.已知平面向量满足对任意实数恒成立．若对每一个确定的，对任意实数m，n，有最小值t．当变化时，t的值域为，则（）A．B．C．D．9.已知复数z满足，则下列结论正确．．的是（）A．B．C．的最大值为2D．10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A．图（1）的平均数中位数众数B．图（2）的平均数<众数<中位数C．图（2）的众数中位数<平均数D．图（3）的平均数中位数众数11.正方体棱长为1，E，F分别为棱，AD（含端点）上的动点，记过C，E，F三点的平面为，记为点B到平面的距离，为点到平面的距离，则满足条件（）的是不唯一的．A．B．C．D．12.已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______．13.设样本空间含有等可能的样本点，，则_______．14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足，，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为________．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．(1)求该圆台的体积；(2)求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．16.已知是单位向量，满足，记与夹角为．(1)求；(2)若平面向量在上的投影向量为，求．17.如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥．(1)证明：平面ACD；(2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过内一点M的直线l与直线AB交于D，记与夹角为.(1)已知，（i）求角A﹔（ii）M为的重心，，求；(2)请用向量方法．．．．探究与的边和角之间的等量关系.19.给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．(1)当时，求的所有可能取值；(2)当时，求的概率；(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由．。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
宁波市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣22．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝13．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣114．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为（体积单位：立方米）．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．参考答案一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣2解：对于A：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，对于B：令x＝0，解得：y＝4，不合题意，对于C：令x＝0，解得：y＝2，符合题意，对于D：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，故选：C．2．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1解：如图所示，由图形知，与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的圆心为（1，0）或（3，0），所以圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1．故选：D．3．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣11解：∵A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），∴＝（﹣2﹣m，m+6），＝（﹣5，m+2），∵AB⊥PQ，∴﹣5（﹣2﹣m）+（m+6）（m+2）＝0，∴m＝﹣2或m＝﹣11，∵{﹣2}⊆{﹣2，﹣11}，∴m＝﹣2符合题意．故选：C．4．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2解：∵＝（﹣2﹣m，﹣m，8﹣m），＝（4﹣m，﹣4﹣m，6﹣m），∴•＝（﹣2﹣m）（4﹣m）+（﹣m）（﹣4﹣m）+（8﹣m）（6﹣m）＝3m2﹣12m+40，||＝＝，||＝＝，由•＝||||cos60°得：3m2﹣12m+40＝（3m2﹣12m+68）×，整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2．故选：B．5．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π解：如图，由等腰直角△ABC的直角边为2，可得DA＝DC＝DB＝，把三棱锥A﹣BCD放置在正方体中，则三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，外接球的半径R＝，∴三棱锥A﹣BCD外接球的体积为×＝．故选：A．6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．解：从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，基本事件总数n＝＝6，A，B种植在同一块地包含的基本事件个数m＝＝2，则A，B种植在同一块地的概率P＝＝＝．故选：B．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面解：对于A：在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有7个，故A错误；对于B：正方体12条棱中有48÷2＝24对异面直线，故B错误；对于C：平行同一个平面的两条直线平行或相交或异面，故C错误；对于D：如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面，故D 正确．故选：D．8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．解：连接BE，CF，交于点Q，作PM⊥BE，交BE于点M，由AC⊥平面DEB，得：PM⊥面ABC，则PE在底面ABC的射影为EM，∴cos＜＞＝cos∠PEM•cos∠EQC＝cos＝，当点P与D重合时，cos＝，则cos＜＞＝，当点P与点B重合时，cos∠PEM＝1，则cos＜＞＝．∴直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为[]．故选：A．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则解：正四棱柱的底面是正方形的直棱柱，所以正四棱柱中是长方体的一类，故选项A正确；如图所示的四面体中的四个面均是钝角三角形，故选项B正确；设z1＝a+bi，z2＝x+yi，因为z12＝z22，即a2﹣b2+2abi＝x2﹣y2+2xyi，所以，故（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝（a2﹣b2）2+（2ab）2＝（x2﹣y2）2+（2xy）2＝x4+2x2y2+y4＝（x2+y2）2，因为a2+b2≥9，x2+y2≥0，所以a2+b2＝x2+y2，则|z1|＝|z2|，故选项C正确；若z1＝i，z2＝i，则z1z2＝1∈R，但是，故选项D错误．故选：ABC．10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值解：A中，当点M是直线与圆的切点时，|OM|最小，且为圆的半径1，所以A正确；B中，因为直线与圆相切，所以d＝＝1，因为a＞0，所以2a＝，所以直线l的方程为：2x+y﹣＝0，因为M在直线上，所以2s+t＝，当s＞0，t＞0，则直线l的方程为：2s+t＝，所以+＝（+）•（2s+t）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当＝时取等号，所以B正确；因为+s＝+s＝+s＝+s，因为s∈R，所以+s的最小值为+|s|，所以C正确，D不正确，故选：ABC．三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．解：因为z＝12﹣5i，则＝＝．故答案为：．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为x＝3或x＝﹣1 ．解：∵所求直线的倾斜角是90°，∴所求直线和直线x＝1平行，与直线x＝1距离为2的直线方程为：x＝3或x＝﹣1，故答案为：x＝3或x＝﹣1．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为283 ．解：数据从小到大排序如下，246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，第8、9个数据为279，287，则其第50百分位数为＝283，故答案为：283．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．解：设M（x，y），由条件得，两边平方，化简整理得．故答案为：．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为6800 （体积单位：立方米）．解：大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，其中长方体的体积V1＝30×20×10＝6000，三棱柱的体积：，四棱锥的体积：，故大成殿的体积：V＝6000+600+2×100＝6800．故答案为：6800．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为（﹣，﹣1）∪（1，）．解：因为M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，即在圆x2+（y﹣t）2＝t2﹣1外，所以可得：t2﹣1＞0，且1+t2﹣2t2+1＞0，即1＜t2＜2，解得：（﹣，﹣1）∪（1，），故答案为：（﹣，﹣1）∪（1，）．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为2 ．解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，可得正方体的棱长为2，体对角线长为2，由题意，E，F是直径的两端点，可得+＝，•＝﹣1，则＝（+）•（+）＝+•（+）+•＝+0﹣1＝﹣1，当点G在正方体顶点时，最大，且最大值为2，则﹣1的最大值为2，故答案为：2．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．解：（1）设切线方程为y＝x+b，，∴．∴切线方程为或．（2）作CD⊥AB，，∴．∴．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，所以AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO＝O，即BC⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，所以PA⊥BC．（2）由（1）得：BC⊥平面PAO，又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAO且交线为AO．再作PM⊥AO，PM⊂平面PAO，所以：PM⊥平面ABC，即∠PAO即为直线PA与平面ABC所成角的平面角，易得：，所以∠PAO＝30°．另解：（1）以AC中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，设P（a，b，c），因为，所以⇒，故点，，所以，即PA⊥BC．（2）由题易得平面ABC的法向量为：，设直线PA与平面ABC所成角的大小为α，所以．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．解：（1）根据相互独立事件的概率计算公式，计算所求的概率为：P＝1﹣0.2×0.3﹣0.5×0.4﹣0.3×0.3＝0.65；（2）全体实验班的平均分为，方差为．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．解：（1）证明：取BC′上一三等份点M使得C′M＝2MB，由∥且EF＝，C′H＝2 HA，即HM∥且HM＝，所以FF∥HM且FF∥HM，所以EFMH为平行四边形，所以EH∥FM，又EH⊄平面BC′F，FM⊂平面BC′F，所以EH∥平面BC′F．（2）设AC的中为点O，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，以过O点且垂直平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以⇒，故点．设面ABC′的法向量，面BC′E的法向量，由，则⇒，取，解得．⇒，取，解得．即可得，所以．故二面角A﹣BC'﹣E的余弦值为．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．解：（1）因为动点C在直线l：y＝x﹣4上，设点C（x，x﹣4），又A（1，1），B（3，3），则|AB|＝，点C到直线AB：y＝x的距离为d＝，则△ABC的面积为，所以，要求r的最大值，即求AC+BC的最小值，点A（1，1）关于直线y＝x﹣4对应的点A'（5，﹣3），所以AC+BC＝A'C+BC，当且仅当A'，B，C三点共线时，A'C+BC最小，所以AC+BC＝A'C+BC，则r的最大值为；（2）由题意可知，AB中垂线方程为y＝﹣x+4，AC中垂线方程为，则两条中垂线方程的交点即为圆心的坐标，所以圆心坐标为，设t＝（m2﹣8m+19）∈[3，+∞），所以，所以，此时m＝4，圆心坐标为，所以外接圆方程为．。
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)7
人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) ． A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0【来源】吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题 【答案】D2．已知点()()0,2,2,0A B ．若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC V 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【来源】2011年普通高中招生考试北京市高考文科数学 【答案】A3．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．AC SB ⊥ B ．//AB 平面SCDC ．平面SDB ⊥平面SACD ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【来源】陕西省西安中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 【答案】D4．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c共面；④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外.其中错误命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】2016届上海市嘉定区高考一模（理科)数学试题 【答案】C5．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M 是唯一的，则a =（ ）A ．B ．CD 【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】A6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析) 【答案】B7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ） A ．αϕ≥B ．αϕ>C ．αϕ<D ．αϕ≤【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】C8．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,22⎡⋃+∞⎣ B ．[2,2]C ．(),0-∞D ．[0∞+，） 【来源】北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习数学（文)试题 【答案】D9．已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积是（ ） A ．8πB ．12πC ．15πD ．36π【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B10．已知正三棱锥P ABC -，点P ，A ，B ，C 若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为（ ）A ．2B C D 【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B11．已知直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，则直线l 的方程为（ ） A ．34140x y +-= B ．34140x y --= C ．43140x y +-=D ．43140x y --=【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A12．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行； ②若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【来源】2016届上海市闸北区高三上学期期末（文)数学试题 【答案】D13．某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A ．43B ．4C D ．【来源】北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题 【答案】B14．已知圆M ：221x y +=与圆N ：()2229x y -+=，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切【来源】北京市西城区2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】C15．已知空间两条直线,m n 两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//m n ，m n αα⊥⇒⊥； ②//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒； ③//m n ，////m n αα⇒；④//αβ，//m n ，m n αβ⊥⇒⊥． 其中正确的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④【来源】2017年上海市青浦区高考一模数学试题 【答案】A16．已知空间中两点(2,1,4),(4,1,2)A B --,则AB 长为( )A ．B ．C ．D ．【来源】天津市六校2018-2019高一下学期期末联考数学试题 【答案】C17．边长为6的两个等边ABC ∆，CBD ∆所在的平面互相垂直，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）A ．B ．60πC ．203πD ．【来源】湖南省娄底市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B18．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于 ( ) A ．1B ．5C ．-1D ．-5【来源】人教A 版高中数学必修二3.1.1 倾斜角与斜率 【答案】D19．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为( )A B ．C D ．【来源】2.3.3直线与圆的位置关系 【答案】D20．在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥A D ，P A =AD ，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ） A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o【来源】河南省汝州市实验中学2018-2019学年度高一上学期期末模拟数学试题 【答案】C21．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．2【来源】2015-2016学年吉林毓文中学高一上期末数学试卷（带解析) 【答案】B二、填空题22．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ .【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3Rπ 23．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】60︒ 120︒24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】25．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________． 【来源】2011年上海市普通高中招生考试理科数学【答案】326．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷带解析) 【答案】27．如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【来源】北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题 【答案】8328．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【来源】天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】4233π+ 29．不论a 为何实数，直线()()32170a x a y ++-+=恒过定点______.（请写出该定点坐标）【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】()2,1-；30．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.【来源】上海市奉贤中学2018-2019学年高二上学期月考数学试题 【答案】431．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是【来源】2015届河南省实验中学高三上学期期中考试文科数学试卷（带解析) 【答案】32．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为____．【来源】江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2019-2020学年高三上学期12月月考数学（理)试题三、解答题33．设直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=. （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程 （2）若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a .【来源】安徽省淮北师范大学附中2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】（1）3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. （2）a ＝2或a ＝－234．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面； （2）平面EFA 1∥平面BCHG ．【来源】2014-2015学年四川省中江县龙台中学高二上学期期中文科数学试卷（带解析) 【答案】（1）见解析（2）见解析35．（1）如图，对于任一给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，使得()1,2,3,4i i A i α∈=，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足：()1,2,3,4i i A i α∈=，求该正四面体1234A A A A 的体积．【来源】上海市实验学校2015-2016学年高二下学期期末数学试题【答案】（1）见解析； （2. 36．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =．（1）若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =，4DF FA =，求证：EF ⊥平面PBC ；（2）若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长． 【来源】上海市实验学校2015-2016学年高二下学期期末数学试题【答案】（1）见解析； （237．如图，PA ⊥正方形ABCD 所在平面，M 是PC 的中点，二面角P DC A --的大小为45︒.（1）设l 是平面PAB 与平面PCD 的交线，证明CD l ∥；（2）在棱AB 是否存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN 长.【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析（2）存在，3AN =38．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=. （1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； （2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长.【来源】2015届河南省郑州盛同学校高三12月月考文科数学试卷（带解析)【答案】（1）见解析；（2） 39．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷) 【答案】(1) 22(1)4x y ++=. (2) 423y x =-+. 40．已知直线l ：2y x =+，过点()1,2A -且圆心在x 轴上的圆C 与y 轴相切. （1）求圆C 的方程；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长.【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】（1）2252524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）2 41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA PD =，E 、F 为AD ，PB 的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PE AB ⊥.【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析42．如图，三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是菱形，四边形11BCC B 是矩形，AB BC ⊥，1CB =，2AB =，160A AB ∠=︒.（1）求证：平面1CA B ⊥平面11A ABB ；（2）求直线1A C 与平面11BCC B 所成角的正切值.【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（243．已知22120C x y Dx Ey +++-=⊙：关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上.（1）求C e 的标准方程；（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C e 的两条切线MA 、MB ，切点分别为,A B .①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；②证明直线AB 恒过定点.【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】（1）()22216x y +-=（2）①min S ②证明见解析44．如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A PD C --的余弦值．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析)【答案】（1）见解析；（2）645．如图，在四棱柱中，底面，90BAD ∠=o ，，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F.（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证：AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）【来源】2015届北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）12[,]33.46．如图，已知点()()2,3,4,1A B ，ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l :220x y -+=上．（1）求AB 边上的高CE 所在直线的方程；（2）求ABC ∆的面积．【来源】2011—2012学年浙江省海宁中学高二期中理科数学试卷【答案】解：（Ⅰ） x －y －1＝0；（Ⅱ）247．如图,点B 是以AC 为直径的圆周上的一点， ,4PA AB BC AC ===,PA ⊥平面ABC ，点E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PAC 所成角的大小.【来源】浙江省安吉，德清，长兴三县2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）6π 48．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD ==.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD -的体积.【来源】湖南省娄底市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）11249．已知圆C 经过1(1,0)M -，2(3,0)M ，3(0,1)M 三点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点N 1)-的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角．【来源】2019年广东省海珠区高一下学期期末考试数学试题【答案】(1) 22(1)(1)5x y -++= (2) 30°或90°．50．如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6．⑴求证：平面ABD⊥平面ACD；--的平面角的正切值；⑵求二面角A CD B⑶设过直线AD且与BC平行的平面为α，求点B到平面α的距离．【来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（理)试题【答案】（1）见解析；（2）2；（3。
浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期数学期末试题
浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期数学期末试题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出.）1．设集合A={1，2，3，4}，B={x∣x2−2x−3≤0}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{1}2．若z⋅i=2+3i（i是虚数单位），则|z|=（）A．2B．3C．√13D．3√2所对的圆心角的大3．军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000小，.若角α=1000密位，则α=（）A．π6B．π4C．π3D．5π124．已知平面α⊥平面β，直线l⊄α，则“l⊥β”是“l//α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．杭州亚运会火炬如图(1)所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图(2)所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为ℎ，则ℎ关于时间t的函数的大致图象可能是()A ．B ．C ．D ．6． 雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得∠ABC 、∠ADC 的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC =（ ）A ．dsinαsinβsin(β−α)B ．dsinαsinβcos(β−α)C ．dtanαtanβtan(β−α)D ．dsinαcosβsin(β−α)7． 已知函数f(x)=ex +π，g(x)=(πe)x （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．∀x ∈(0，+∞)，f(x)>g(x)B ．∃x 0∈(eπ，eπ)，当x =x 0时，f(x)=g(x) C ．∀x ∈(eπ，eπ)，f(x)<g(x)D ．∃x 0∈(e 2π，+∞)，当x >x 0时，f(x)<g(x)8． 设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0，|φ|<π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f(x)在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．74小题，每小题5分，共20分.在每小题5分，有选错的得02分.）9． 已知函数f(x)=2−12x +1，则（ ）A ．函数f(x)的图象关于原点对称B ．函数f(x)的图象关于y 轴对称C ．函数f(x)的值域为(−1，1)D ．函数f(x)是减函数10．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则( )A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．AC⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11．如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针作匀速圆周运动.若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad/s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad/s ，起点位置坐标为(1，0)，则( )A ．在1s 末，点B 的坐标为(sin2，cos2)B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为1212． 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2=2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1=4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST =a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 2154小题，每小题5分，共20分.）13． 设函数f(x)={x 12，x>0(12)x ，x <0，若f(a)=12，则a = .14． 将曲线y =sinx 上所有点向左平移φ(φ>0)个单位，得到函数y =−sinx 的图象，则φ的最小值为 .15． 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 .16． 对于函数y =f(x)(x ∈I)，若存在x 0∈I ，使得f(x 0)=x 0，则称x 0为函数y =f(x)的“不动点”.若存在x 0∈I ，使得f(f(x 0))=x 0，则称x 0为函数y =f(x)的“稳定点”.记函数y =f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ={x|f(x)=x}，B ={x|f(f(x))=x}.经研究发现：若函数f(x)为增函数，则A =B .设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f(f(b))=b 成立，则a 的取值范围是 .17． 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)．（1）求sinα的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cosβ的值．18． 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L 与时间tℎ间的关系为P =P 0e −kt （其中P 0，k 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物. 参考数据：ln2=0.693，ln3=1.099，ln5=1.609. （1）求k 的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1ℎ）？19． 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，e 1⃗⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗⃗ 分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量.若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1⃗⃗⃗⃗ +ye 2⃗⃗⃗⃗ ，则把实数对(x ，y)叫做向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的“@未来坐标”，记OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ={x ，y}.已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a⃗ ，b ⃗ 的@未来坐标.（1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}={x 1+x 2，y 1+y 2}；（2）若向量a ⃗ ，b ⃗ 的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角的余弦值. 20． 在四边形ABCD 中，AB//CD ，AD ⋅sin∠ADC =2CD ⋅sin∠ABC .（1）求证：BC =2CD .（2）若AB =3CD =3，且AD ⋅sin∠ADB =AB ⋅sin60°，求四边形ABCD 的面积.21． 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm.（1）在方案(2)中，若LA1=A1E=IC1=C1H=FB=BG=10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l//平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？22．已知函数f(x)=x+1(x>0)，g(x)=x(x>0).x（1）直接写出|f(x)−g(x)|<|g(x)−f(x)+1|的解集；（2）若f(x1)=f(x2)=g(x3)，其中x1<x2，求f(x1+x2)+g(x3)的取值范围；（3）已知x为正整数，求ℎ(x)=(m+1)x2−2(m2+1)x(m∈N∗)的最小值（用m表示）.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】 解：∵集合A={1，2，3，4}，B={x[x 2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，∴A∩B={1，2，3}． 故选：B ．【分析】 先求出集合B ，即可求出集合A 与集合B 的交集．2．【答案】C【解析】【解答】解：∵z·i=2+3i ，∴z ＝2+3i i ＝(2+3i )·ii2＝3−2i ，所以|z|＝√(32+(−2)2)＝√13． 故选：C ．【分析】 先求得z=3-2i ，再根据模长公式即可求解|z|．3．【答案】C【解析】【解答】解： ∵1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，∴角α=1000密位时，α＝10006000×2π=π3． 故选：C ．【分析】 由密位制与弧度的换算公式可得，α＝10006000×2π，从而可求得α的解．4．【答案】A【解析】【解答】解： 设α⋂β=m ，在平面α内作a ⊥m ，因为平面α⊥平面β，所以a ⊥β， 因为l ⊥β，所以a ∥l ， 因为l ⊄α，a ⊂α， 所以l ∥α，而当平面α⊥平面β，直线l ⊄α，l ∥α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直， 所以“l ⊥β”是“l ∥α”的充分而不必要条件． 故答案为：A.【分析】 根据面面垂直的性质并结合充分条件和必要条件的定义分析判断．5．【答案】A【解析】【解答】 由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，故选： A.【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，可得答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABD 中，∠BAD=∠ADC-∠ABC=β-α，由正弦定理可得BD sin∠BAD ＝AD sin∠ABC ，即d sin (β−α)＝AD sinα，得AD ＝dsinαsin(β−α)，又∵AC ⊥BC ， ∴sin ∠ADC ＝AC AD， ∴AC ＝ADsin ∠ADC ＝dsinαsinβsin(β−α)．故选：A ．【分析】 先利用正弦定理求得AD ，再根据sin ∠ADC ＝AC AD求得AC.7．【答案】D【解析】【解答】解：A 、∵指数函数的增长速度更快，∴当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ），故A 错误；B 、f （eπ）=e 2π+π＞25，g (eπ)=(πe)eπ＜(√2)9=25，∴f （x ）=g （x ）的零点x 0＞eπ， 故B 错误；C 、∵f （x ）=g （x ）的零点x 0＞eπ，∴∃x 0∈(eπ，eπ)，f （x ）＞g （x ），故C 错误；D 、当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立， 故D 正确． 故选：D ．【分析】根据指数函数的增长速度更快，可判断AD 选项的正确性；又f （eπ）=e 2π+π＞25，g (eπ)=(πe )eπ＜(√2)9=25，可判断BC 选项的正确性．8．【答案】B【解析】【解答】解：∵f(−π8)=0，∴−π8ω+φ=k1π(k1∈Z)，∵|f(3π8)|=1，∴3π8ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，两式作差，得ω=2（k2-k1）+1（k1，k2∈Z），∵f（x）在区间(−π12，π24)上单调，∴π24+π12≤12·2πω，得ω≤8．①当ω=7时，−7π8+φ=k1π(k1∈Z)，∵|φ|＜π2，∴φ=−π8，∴f(x)=sin(7x−π8 )．∵x∈(−π12，π24)，∴7x−π8∈(−17π24，π6)，∵−17π24＜−π2，∴f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，故D不符合题意；②当ω=5时，−5π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，∴φ=−3π8，∴f(x)=sin(5x−3π8)．∵x∈(−π12，π24)，∴5x−3π8∈(−19π24，−π6)，∵−19π24＜−π2，∴f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，故C不符合题意；③当ω=3时，−3π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，∴φ=3π8，∴f(x)=sin(3x+3π8)．∵x∈(−π12，π24)，∴3x+3π8∈(π8，π2)，∴f（x）在区间(−π12，π24)上单调，故B符合题意，∴ω的最大值是3．故选：B．【分析】根据f(−π8)=0与|f(3π8)|=1，可得ω=2（k2-k1）+1（k1，k2∈Z），再根据单调性可得ω≤8，验证ω=7，ω=5与ω=3即可．9．【答案】A,C【解析】【解答】解：f（x）的定义域为R，f(x)=2x−1 2x+1，则f(−x)=2−x−12−x+1=−2x−12x+1=−f(x)，所以f（x）为奇函数，f（x）的图象关于原点对称，故A正确，B错误；∵f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，又∵2x+1＞1，∴0＜12x+1＜1，∴0＜22x+1＜2，∴−1＜1−22x+1＜1，故f （x ）的值域为（-1，1）， 故C 正确； 设x 2＞x 1，则f (x 2)−f (x 1)=(1−22x 2+1)−(1−22x1+1)=22x1+1−22x 2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x 2+1)， ∵x 2＞x 1，∴2x 2−2x 1＞0，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， ∴f (x 2)−f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴函数f （x ）是增函数， 故D 错误， 故选：AC ．【分析】求函数f （x ）的奇偶性可判断AB 选项；分离参数可得f (x )=1−22x +1，根据指数函数的值域可判断C 选项；根据单调性的定义可判断D 选项．10．【答案】C,D【解析】【解答】 因为ABCDEF 为正六边形，即每个内角都是120°，对于A ，由 AB →−AF →=FB →≠AO →，故A 选项错误；对于B ，由 AC →+AE →=AO →+OC →+AO →+OE →= 2AO →+OC →+OE →=2AO →+OD →=3AO →，故B 选项错误；对于C 中，设正六边形的边长为1，OA →·OC →=1×1×cos120°=−12，OB →·OD →=1×1×cos120°=−12，即 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 选项正确； 对于D 中，连接BD ，可得BD ⊥AB ，可得|AB →|=|AD →|cos∠DAB ， 即 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为|AB →|·AB→|AB →|， 故D 选项正确；故选：CD.【分析】 根据向量加、减法的三角形法则和加法的平行四边形法则，可判断A 、B ；结合向量的数量积的运算，可判断C ；利用向量的投影的定义与运算，可判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】 在1s 末，点B 的坐标为(cos2，sin2)，故A 选项错误；点A 的坐标为(cos (π3+1)，sin (π3+1))，则∠AOB =π3−1， 扇形AOB 的弧长为∠AOB ·r =(π3−1)·1=π3−1，故B 选项正确；设在ts 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，则2t −t =t =2π+π3=7π3，即在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合， 故C 选项正确；S △AOB =12OA ·OB ·sin∠AOB =12sin∠AOB ，经过5π6s 后，可得∠AOB =π2，此时△AOB 面积的可取得最大值 12 ，故D 选项正确.故选： BCD.【分析】 求出1s 末点A 和B 的坐标可判断选项A 、B ；假设在ts 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，可得t =7π3，可判断C ；根据三角形面积公式可判断D.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：A 、∵圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合， ∴△PAB 为等边三角形， 又∵PB=2a ，∴OP ＝√PB 2−OB 2=√3a ， 设球心为G （即为△PAB 的重心）， ∴PG =23PO =2√33a ，OG =13PO =√33a ，即内切球的半径为r 1=OG ＝√33a ，外接球的半径为r 2=PG ＝2√33a ，∴r 2=2r 1， 故A 正确；B 、设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 2=4S 1，故B 错误；C 、设圆锥的体积为V 1，则V 1=13πa 2×√3a =√33πa 3，内切球的体积V 2，则V 2=43π(√33a )3=4√327πa 3， ∴V 1V 2=94，故C 正确；D 、设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST=a ，则ST 所对的圆心角为π3（在圆O 上），设ST 的中点为D ，则OD =asin π3=√32a ，设D 为OB 上的点，连接PD ，则PD =√PO 2+OD 2=√15a 2，过点G 作GE ⊥PD 交PD 于点E ，则△PEG ∽△POD ， ∴GE OD =PG PD， 解得GE =2√1515a ，∴平面PST 截内切球截面圆的半径r =√r 12−GE 2=√115a 2，∴截面圆的面积为πr 2=πa 215，故D 正确． 故选：ACD ．【分析】首先作出圆锥的轴截面，可知△PAB 是等边三角形，设球心为G （即为△PAB 的重心），即可求出△PAB 的外接圆和内切圆的半径，即可求出圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B 选项；由圆锥及球的体积公式可判断C 选项；ST 所对的圆心角为π3，设ST 的中点为D ，即可求出OD ，设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE ⊥PD 交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D 选项．13．【答案】14【解析】【解答】解：当a ＞0时，f (a )=a 12=12，解得a ＝14，当a ＜0时，f (a )=(12)a=12，解得a=1（与a<0矛盾，舍去）． ∴a ＝14.故答案为：14.【分析】本题主要考查了由函数值求解变量 ， 分段求解方程和指数方程， 即可求出a 的值.14．【答案】π【解析】【解答】 解：将曲线y =sinx 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y =sin (x +φ)，因为y =sin (x +φ)与y =−sinx 的图象相同， 所以x+φ=x+π+2kπ，k ∈Z ， 即φ=π+2kπ，k ∈Z ，因为φ＞0，所以当k=0时，φ取得最小值， φ的最小值为π． 故答案为：π．【分析】 本题主要考查三角函数的图象与性质，先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果．15．【答案】√155；14【解析】【解答】解：取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D ，因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ， 因为BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥CD ，因为BB 1∩AB=B ，BB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CD ⊥平面AA 1B 1B ，所以∠CB 1D 为直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角， 因为正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各条棱长都是2，所以CD ＝√32×2=√3，DB 1＝√22+12=√5，所以tan∠CB 1D =CDDB 1=√35=√155，所以直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为√155，故填：√155；分别取BC ，BB 1，A 1B 1的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，EG ，则EF ∥B 1C ，EF ＝12B 1C ＝12×2√2=√2，FG ∥A 1B ，FG ＝12A 1B ＝12×2√2=√2， 所以∠EFG （或其补角）为直线CB 1与直线A 1B 所成角， 连接DG ，DE ，则EG ＝√DG 2+DE 2=√22+12=√5， 在△EFG 中，由余弦定理得：cos∠EFG ＝EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =2+2−52×√2×√2=−14，因为异面直线所成的角的范围为(0，π2]，所以直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14，故填：14.【分析】 空1：取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D ，则可得∠CB 1D 为直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角，然后在△CB 1D 中求解即可；空2：分别取BC ，BB 1，A 1B 1的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，EG ，则可得∠EFG （或其补角）为直线CB 1与直线A 1B 所成角，然后在△EFG 中求解即可．16．【答案】[0，14]【解析】【解答】解：因为f (x )＝√x −a (a ∈R )是增函数，所以f(f (b ))=b 等价于f (b )=b ，即√b −a =b ， 所以a=b-b 2，而a=b-b 2在[0，12)上单调递增，(12，1]上单调递减，所以a max ＝14， 而当b=0时，a=0；当b=1时，a=0，即a min =0，所以a 的取值范围为[0，14]．故答案为：[0，14]．【分析】先判断f (x )＝√x −a (a ∈R )是增函数，再根据题意可得f (b )=b ，代入可得a=b-b 2，再结合二次函数的性质即可求解a 的取值范围．17．【答案】（1）解：由角α的终边过点P(35，−45)，得sinα=y r =−45√(35)2+(−45)2=−45． （2）解：由角α的终边过点P(35，−45)，得cosα=x r =35，由sin(α+β)=√32，得cos(α+β)=√1−sin 2(α+β)=±12，cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα，当cos(α+β)=12时，cosβ=12×35+√32×(−45)=3−4√310；当cos(α+β)=−12时，cosβ=−12×35+√32×(−45)=−3−4√310，综上所述，cosβ=3−4√310或−3−4√310．【解析】【分析】 （1）直接根据正弦的定义求解sinα；（2）首先根据角α的终边过点P ，求出cosα，之后根据cos (α+β)=√1−sin 2(α+β)求出cos (α+β)，根据cosβ=cos [(α+β)−α]及两角差的余弦公式，代入计算即可．18．【答案】（1）解：由P =P 0e −kt 知，当t =0时，P =P 0；当t =5时，P =(1−10%)P 0； 即0.9P 0=P 0e −5k ，所以k =−15ln0.9，即k =−15ln 910=−15×(2ln3−ln10)=−15×(2ln3−ln2−ln5)≈0.02；（2）解：当P =0.5P 0时，0.5P 0=P 0e −0.02t ，即0.5=e −0.02t ， 则t =50ln2≈34.7.故污染物减少50%需要花的时间约为34.7ℎ.【解析】【分析】（1）由题意可得， 在前5个小时消除了10%的污染物 ，可得0.9P 0=P 0e −5k ，求解即可得k 的值；（2）将P =0.5P 0代入关系式中可得0.5P 0=P 0e −0.02t ，求解即可求出需要花的时间． 19．【答案】（1）证明：因为{x 1，y 1}=a =x 1e 1⃗⃗⃗ +y 1e 2⃗⃗⃗ ，{x 2，y 2}=b ⃗ =x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ ， 所以{x 1，y 1}+{x 2，y 2}=(x 1e 1⃗⃗⃗ +y 1e 2⃗⃗⃗ )+(x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ )=(x 1+x 2)e 1⃗⃗⃗ +(y 1+y 2)e 2⃗⃗⃗={x 1+x 2，y 1+y 2}（2）解：a⃗=e1⃗⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗⃗ ，b⃗=2e1⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ ，a⃗⋅b⃗=(e1⃗⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗⃗ )⋅(2e1⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ )=2e1⃗⃗⃗⃗ 2+2e2⃗⃗⃗⃗ 2+5e1⃗⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗⃗ =132，|a |=|e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ |=√(e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )2=√e1⃗⃗⃗ 2+4e2⃗⃗⃗ 2+4e1⋅e2⃗⃗⃗ =√7，|b⃗|=|e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ |=√(2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )2=√4e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =√7，所以cos⟨a，b⃗⟩=a⃗⃗ ⋅b⃗⃗|a⃗⃗ ||b⃗⃗ |=132√7×√7=1314.【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐标表示与向量相等，即可证明结论成立．（2）根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可．20．【答案】（1）证明：在△ACD中，由正弦定理得AD⋅sin∠ADC=AC⋅sin∠ACD，因为AB∥CD，所以∠ACD=∠CAB，所以AD⋅sin∠ADC=AC⋅sin∠CAB，在△ABC中，由正弦定理得，即AC⋅sin∠CAB=BC⋅sin∠ABC，所以AD⋅sin∠ADC=BC⋅sin∠ABC.又AD⋅sin∠ADC=2CD⋅sin∠ABC，所以BC⋅sin∠ABC=2CD⋅sin∠ABC，所以BC=2CD.（2）解：在△ABD中，由正弦定理得AD⋅sin∠ADB=AB⋅sin∠ABD=AB⋅sin60∘，所以sin∠ABD=sin60∘，所以∠ABD=60∘或120∘，①当∠ABD=60∘时，则∠BDC=60∘，在△BCD中，由余弦定理得，BD2−BD−3=0，又BD>0，解得BD=1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin60∘=√39+√32，②当∠ABD=120∘时，则∠BDC=120∘，在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD−3=0，解得BD=−1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin120∘=√39−√32.【解析】【分析】（1）由AB∥CD，∠ACD=∠CAB，结合正弦定理可以证明BC⋅sin∠ABC=2CD⋅sin∠ABC，由此证明BC=2CD；（2）首先由正弦定理可以求得∠ABD为60°或120°，由余弦定理分类讨论求出相应的BD，最后结合三角形面积公式分类讨论求出两种情况下四边形ABCD的面积．21．【答案】（1）解：连接LI，EH，在长方体中，LA1=A1E=IC1=C1H=FB=BG=10cm，则B1H=LD1=10cm，B1E=ID1=20cm，所以LE=√102+102=10√2，IH=√102+102=10√2，LI=√202+102=10√5，EH=√202+102=10√5，所以LE=IH，LI=EH，所以四边形LEHI是平行四边形，∴LE∥IH，又∵LE⊄平面IHG，LE⊂平面LEF∴LE∥平面IHG；又∵LE⊂平面LEF，平面LEF∩平面GHI=l，∴LE∥l；又∵l⊄平面A1B1C1D1，LE⊂平面A1B1C1D1，∴l∥平面A1B1C1D1，又∵l⊄平面ABCD，∴l∥平面ABCD；（2）解：方案1中，绳长为(30+10)×2+(20+10)×2=140cm；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF′长度，因为FB =F ′B ″，所以FF ′=BB ″=√(60+20)2+(40+20)2=100cm ， 所以彩绳的最短长度为100cm .【解析】【分析】 （1）先证明LE ∥IH ，从而可证LE ∥平面IHG ，进而得LE ∥l ，从而可证l ∥平面A 1B 1C 1D 1，从而可证l ∥平面ABCD ；（2）方案1中，绳长为（30+10）×2+（20+10）×2=140cm ；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F′的折线，从而可计算最短绳长．22．【答案】（1）解：∵f(x)=x +1x(x >0)，g(x)=x(x >0)，∴|f(x)−g(x)|<|g(x)−f(x)+1|即为1x <|1−1x |(x >0)，当0<x ≤1时，1−1x≤0，故1x <1x −1(x >0)，显然不成立； 当x >1时，1−1x>0，故1x <1−1x (x >0)，即2x <1(x >0)，解得x >2.综上所述，|f(x)−g(x)|<|g(x)−f(x)+1|的解集为(2，+∞). （2）解：设f(x 1)=f(x 2)=g(x 3)=t ，则x 3=t ， 令x +1x=t ，整理得：x 2−tx +1=0， 故x 1+x 2=t ，且Δ=t 2−4>0，得t >2.∴f(x 1+x 2)+g(x 3)=2t +1t在（2，+∞) 上单调递增，所以2t +1t >2×2+12=92， 即f(x 1+x 2)+g(x 3)>92.（3）解：ℎ(x)=(m +1)x 2−2(m 2+1)x =(m +1)(x −m 2+1m+1)2−(m 2+1)2m+1，m 2+1m +1=m −1+2m +1，∵m∈N∗，∴(m−1)∈N∗，2m+1≤1，①m=1时，m−1+2m+1=1，∴ℎ(x)min=ℎ(1)=−2；②m=2时，m−1+2m+1=53，∴ℎ(x)min=ℎ(2)=−8；③m=3时，m−1+2m+1=52，∴ℎ(x)min=ℎ(2)=ℎ(3)=−24；④m>3时，2m+1<12，m−1<m−1+2m+1<m−1+12，∴ℎ(x)min=ℎ(m−1)=−m3+m2−3m+3.【解析】【分析】（1）首先将|f(x)−g(x)|<|g(x)−f(x)+1|转化为1x<|1−1x|(x>0)，之后分0＜x≤1与x＞1讨论，即可求解|f(x)−g(x)|<|g(x)−f(x)+1|的解集；（2）根据韦达定理得x1+x2=t(t＞2)，再根据对勾函数的性质即可求解；（3）根据二次函数的性质分类讨论即可求解．。
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高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设a 、b 、R c ∈，0<<b a ，则下列不等式一定成立的是.A 22b a < .B 22bc ac < .C b a 11> .D ab a 11>- 2.数列}{n a ：3-、3、33-、9、…的一个通项公式是.A n a n n 3)1(-=(*∈N n ) .B n n n a 3)1(-=(*∈N n ) .C n a n n 3)1(1+-= (*∈N n ) .D n n n a 3)1(1+-=(*∈N n )3.设、l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确．．．的是 .A 若α⊥l ，α⊂m ，则m l ⊥ .B 若α⊥l ，l ∥m ，则α⊥m .C 若l ⊥α，α⊥m ，则l ∥m .D 若l ∥α,m ∥α,则l ∥m4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若84=S ，48=S ，则=+++1211109a a a a.A 16- .B 12- .C 12 .D 165.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是.A 10=a ，8=b ， 30=A .B 8=a ，10=b ， 45=A .C 10=a ，8=b ， 150=A .D 8=a ，10=b ， 60=A6. 已知数列}{n a 满足21=a ，)(111*+∈+-=N n a a a n n n ，则=30a .A 2 .B 31 .C 21- .D 3- 7.当10<<a 时，关于x 的不等式12)1(>--x x a 的解集是.A )12,2(--a a .B )2,12(--a a .C ),12()2,(+∞---∞a a .D ),2()12,(+∞---∞ a a8.已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线.A 65π=x .B 34π=x .C 3π=x .D 3π-=x 9.若不等式33922++≤≤+t t t t μ对任意的]2,0(∈t 上恒成立，则μ的取值范围是.A ]2172,61[- .B ]2172,132[- .C ]22,61[ .D ]22,132[ 10.如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60，11B AA ∠为锐角，且侧面11A ABB ⊥底面ABC ，给出下列四个结论： ①601=∠ABB ； ②1BB AC ⊥；③直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45； ④11AC C B ⊥. 其中正确的结论是.A ①③ .B ②④ .C ①③④ .D ①②③④二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置11.求值：=+7cos 52cos 83cos 52sin ___________. 12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为23π，那么它的表面积为___________.13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示， 则该几何体的体积为___________.14.正数x 、y 满足8=++y x xy ，那么y x +的最小值等于 ___________.15.已知数列}{n a 是首项为3，公差为1的等差数列，数列}{n b 是首项为21，公比也为21的等比数列，其中*∈N n ，那么数 列}{n n b a 的前n 项和=n S ________.16.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等差数列，则角B 的取值范围是__________(角用弧度表示).17.在数列}{n a 中，11=a ，326=a ， 212++=n n n a a a （*∈N n ），把数列的各项按如下方法进行分组：(1a )、正视图侧视图俯视图（第13题图）AA 1CBC 1B 1（第10题图）(432,,a a a )、(98765,,,,a a a a a )、……，记),(n m A 为第m 组的第n 个数（从前到后），若),(n m A ),(m n A ⋅=502，则=+n m ____________.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）(Ⅰ)已知πθ<<0，31cos sin =+θθ，求θ2cos 的值； (Ⅱ)已知202πβαπ<<<<-，53)cos(=-βa ，135sin =β，求αtan 的值.19.（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对的边，且C c B b a A a sin sin )(sin =++. (Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若1=c ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.20．（本题满分14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为916|1|)(2++-+=a a x x a x f ，]24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且]41,0(∈a ，用每天)(x f 的最大值作为当天的污染指数，记作)(a M . (Ⅰ)令12+=x xt ，]24,0[∈x ，求t 的取值范围； (Ⅱ)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？21.（本题满分15分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为菱形，PA ⊥面ABCD ，且AB PA =，60=∠BAD ,F E 、分别是BC PA 、的中点.(Ⅰ)求证：BE ∥平面PDF ；(Ⅱ)过BD 作一平面交棱PC 于点M ，若二面角C BD M --的大小为60，求MPCM的值.PMFADECB(第21题图)22.（本题满分15分）设数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，且12+n a 、n S 、2a -成等差数列，其中*∈N n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)数列}{n b 满足：)18)(18(21--=++n n nn a a a b ，记数列}{n b 的前n 项和为n T ,求n T 及数列}{n T 的最大项.高一数学参考答案三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）πθ<<0，0cos sin >+θθ，所以432πθπ<<，232πθπ<<, ……5分 917)98(12cos 2-=---=θ. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为20πβ<<且135sin =β，所以125tan =β， ……………………………9分因为202πβαπ<<<<-，所以0<-<-βαπ，又053)cos(>=-βα,所以02<-<-βαπ，所以34)tan(-=-βα，……11分所以563312534112534])tan[(tan -=⋅++-=+-=ββαα.……………………………14分600<<A ，所以 1206060<+<A ，1)60sin(23≤+< A ， 32)60sin(321≤+<A ，所以1322+≤<l ，即13322+≤<l . ………14分 法2：由余弦定理得，ab b a ab b a c ++=-+=22222120cos 2， …………9分 而1=c ，故2222)(43)2()()(1b a b a b a ab b a +=+-+≥-+=，………………11分 所以332≤+b a ， …………………………………………………………………12分 又1=>+c b a ， ……………………………………………………………………13分 所以13322+≤++<c b a ，即13322+≤<l . ………………………………14分20.（本题满分14分）(Ⅰ)(1)当0=x 时，0=t ；………………………………………………………………1分)(t g 在),0[a 上单调递减，在]21,[a 上单调递增，所以)(t g 的最大值只可能在0=t 或21=t21.（本题满分15分）(Ⅰ)取PD 的中点G ,连结EG 、FG ,因为E 是PA 的中点，所以EG ∥AD ,且EG AD 21=，又F 是菱形ABCD 边BC 的中点，所以BF ∥AD ,且BF AD 21=，所以EG ∥BC ,且EG BC =，四边形EGFB 是平行四边形，所以BE ∥FG ,……………………………………………5分而⊂FG 平面PDF ,⊄BE 平面PDF ，……………………………………………6分 所以BE ∥平面PDF .…………………………………………………………………7分(Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结OM ，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA ⊥BD ，即PMF ADE C B(第21题图)G OBD ⊥PA ，又BD ⊥AC ，且A AC PA = ,所以BD ⊥平面PAC ，…………10分从而BD OM ⊥,BD OC ⊥,所以MOC ∠就是二面角C BD M --的平面角，60=∠MOC ，………………………………………………………………………12分设1=AB ,因为AB PA =，60=∠BAD ，所以1=PA ,3=AC ,2=PC ,30=∠PCA ,所以 90=∠OMC ,在OCM Rt ∆中,4330cos 23==CM ，…14分 所以5343243=-=MP CM ……………………………………………………………15分22.（本题满分15分）(Ⅰ) 由12+n a 、n S 、2a -成等差数列知，2122a a S n n -=+，………………………1分当2≥n 时，2122a a S n n -=-，所以n n n n a a S S 222211-=-+-，n n a a 21=+ ……………………………………4分 当1=n 时，由22122a a a -=得122a a =， ……………………………………5分综上知，对任何*∈N n ,都有n n a a 21=+,又11=a ，所以0≠n a ，21=+nn a a .…6分 所以数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12-=n n a . ……………7分(Ⅱ))182)(182(2)18)(18(112!--=--=+-++n n n n n n n a a a b )18211821(211---=+n n ……10分 )182118211821182118211821(2113221---++---+---=+n n n T)1821161(21)18211821(21111---=---=++n n ，……………………………12分 )182)(92(2)18211821(21111211--=---=-++-+++n n n n n n n T T ， 当2≤n 时，n n T T >+1，即3210T T T <<<；当4≥n 时，也有n n T T >+1，但0<n T ；当3=n 时，01<-+n n T T ，n n T T <+1，即34T T <.所以数列}{n T 的的最大项是3273=T . ……………………………………………15分。