研究生2004吉林大学量子力学真题

2004年吉林大学硕士研究生入学试题

一、[25分]

质量为m 的粒子在宽度为的一维无限深势阱中运动，初始时刻的状态波函数为： a a x

a x

x ππsin )cos 1()0,(+=Ψ。

试求：

1）初始时刻粒子能量的可取值、取值几率与平均值；

2）时刻粒子的状态波函数；

0>t ),(t x Ψ3）在态上，粒子能量的可取值、取值几率与平均值。

),(t x Ψ

二、[25分] 设一维体系的能量算符为

)(2ˆˆ2x V m

p H += 其中

),6,4,2,0;0()(00""=>=λλV x V x V 1）试定性分析体系的能量本征值和本征函数所具有的特性；

2）在H

ˆ的本征态下， a）证明动量的平均值等于零；

b）给出动能的平均值>

><λx

三、[25分]

设体系的能量本征方程为（；）。 >>=n E n H n ||ˆmn n m δ>=<|"≤≤1

0E E 1）取为归一化基态试探态矢，令，， >0|ψ>=<00|ˆ|ψψH E 20

||0|1><−=ψε证明。

ε)(E E E E −≥−0102）若只知H

ˆ最低的两个本征态矢和，试从任意归一化态矢>0|>1|>ψ|出发，构造第二激发态的试探态矢，并求出该激发态能量的上限。 >|ψ2

四、[25分] 两个自旋分别为21

1=s 和2

32=s 的粒子所构成的体系，能量算符为

)0(ˆ21>⋅=ααs s H G G １、体系总自旋可取什么值？

２、自旋空间的维数是多少？

３、求出体系的能量及相应的本征态矢，指出各能级的退化度。

五、[25分]

质量为m 的粒子在二维各向同性谐振子位中运动，谐振频率为ω。今粒子受到一微扰

)0('ˆ>=λλxy H

的作用，试求最低一对激发态的能量至一级近似，并求出零级近似波函数。

六、[25分]

低能粒子被“硬球”

⎩⎨⎧>≤∞=a r a r r V 0

)( 所散射。只考虑s 波，求散射截面。