条件数学期望与条件方差
第六章 数学期望与方差
解 引入随机变量 Xi ,
0, 在第 i 站没有人下车,
Xi
1,
在第 i 站有人下车,
则 X X1 X2 X10.
i 1,2,,10.
则有
P{ X i
0}
9
20
,
10
P{ X i
1}
1
9 20, 10
i 1,2,,10.
由此
E
(
X
i
)
1
9 10
20
,
i 1,2,.
得 E( X ) E( X1 X2 X10)
E( X1) E( X2 ) E( X10)
101
9 10
20
8.784(次).
*三、 随机变量函数的数学期望
1. 离散型随机变量函数的数学期望 设随机变量 X 的分布律为
X xk 1
0
1
P{X xk } pk p1
p2
p3
若 Y g( X ) X 2,求 E(Y ).
解 先求 Y X 2 的分布律
Y X2
0
1
p
p2
p1 p3
2 p4
4 p4
则有 E(Y ) E(g( X )) E( X 2 )
0 p2 1 ( p1 p2 ) 4 p4
0 p2 (1)2 p1 12 p2 22 p4
一、随机变量方差的概念及性质
1. 概念的引入
方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.
实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.
•
• • • • • •• • •
O
1000
x
• •• • •
O
数学期望和方差
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
第四章
数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .
( x ) f ( x )dx (令t x )
( x ) f ( x )dx f ( x )dx
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章
数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
条件概率、离散型随机变量的期望和方差
条件概率、离散型随机变量的期望和方差、正态分布 【A 】条件概率（1）条件概率：设B A ，为两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发 生的条件下，事件B 发生的条件概率. )|(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率. 【注意】：① 任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤)|(A B P ≤1. ② 如果B 和C 是两个互斥事件，则)|()|()|(A C P A B P A C B P += .③ 要注意)|(A B P 与)(AB P 的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键. 联系：事件B A ，都发生了.区别：)(AB P 表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而)|(A B P 表示在缩小的样 本空间A Ω中，计算B 发生的概率，用古典概率公式，则中样本点数中样本点数A AB A B P Ω=)|(，中样本点数中样本点数Ω=AB AB P )(，一般来说，)|(A B P 比)(AB P 大.【例1】：抛掷一颗骰子，观察出现的点数{}3{==出现的点数不超过A 1， 2， 3}， {}{==出现的点数是奇数B 1， 3， 5}，若已知出现的都是不超过3，求出 现的点数是奇数的概率.【例2】某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20 岁这种动物活到25岁的概率.【B 】期望与方差（1）数学期望（又叫均值）产生的背景——加权平均数（样本的平均值）在含有n 个数据的样本中，数据1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次， 其中n f f f k =+++ 21，）（k i f i ,,2,1 =叫权数（是一个起权衡轻重作用的数值） 那么该组数据的平均数为：x nf x n fx n f x n f x f x f x k k k k =⋅++⋅+⋅=+++ 22112211这里的nf i叫做数据i x 出现的频率. 类比加权平均数，可得离散型随机变量的数学期望：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为X 的数学期望，简称期望，其含义是反映了离散型随机变量取值的平均水平.（2）性质：若X 为随机变量，b aX Y +=，b a ，为常数，则Y 也是随机变量，且 b X aE Y E +=)()(.（3）两点分布的期望：p X E =)(；二项分布的期望：np X E =)(. （4）方差产生的背景--------样本方差在含有n 个数据的样本中，x 表示这组数据的平均数，且每个数据出现的频率均为n1， 把])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=叫做该样本的方差，s 叫做标准差. 它反映了样本数据与样本的平均值的偏离程度，而且刻画了样本数据的稳定性. 类似于样本方差，可得：随机变量的方差. ① 定义：i nii p X E x X D 2))(()(-=∑，称)(X D 为标准差.② 性质：)()(2X D a b aX D =+.③ 两点分布的方差为：)1()(p p X D -=；二项分布的方差为：)1()(p np X D -=. 【C 】正态分布（1）正态曲线：即函数),(21)(222)(+∞-∞∈=--x e x x ，，σμσμσπϕ的图象，称为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 其中实数μ（即)(X E ）和σ（即)(X D ）（0>σ）为参数. （2）一般地，如果对于任何实数b a ，（b a <），随机变量X 满足： X a P <(≤dx x b ba)()⎰=σμϕ，，则称随机变量X 服从正态分布. 正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作)(2σμ，N . 如果随机变量X 服从正态分布，则记作X ～)(2σμ，N .（3）正态曲线的特点：① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p …n p② 曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称； ③ 曲线在μ=x 处达到峰值πσ21；④ 曲线与x 轴之间的面积为 1.⑤ 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥ 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. （4）若X ～)(2σμ，N ，则对任何实数0>a ，都有 X a P <-μ(≤dx x a aa)()⎰+-=+μμσμϕμ，特别地 X P <-σμ(≤6826.0)=+σμ， X P <-σμ2(≤9544.0)2=+σμ， X P <-σμ3(≤9974.0)3=+σμ.在实际应用中，通常认为服从正态分布)(2σμ，N 的随机变量X 只取（σμ3-，σμ3+）之间的值，并简称之为σ3原则. 【D 】直击高考（1）若X ～)15(，N ，则=<<)76(X P . （2）若X ～)1(，μN ，则X P <-3(μ≤2-μ）= . （3）若X ～)(2σμ，N ，a 为一个实数，则==)(a x P .（4）一批电池用于电动车的寿命X 服从正态分布X ～)4.46.35(，N ，随机从这批电池中 任取一节，求这节电池可持续使用不小于40.0小时的概率.（5）经过统计，一位同学每天上学路上（单程）所花时间X 服从正态分布X ～)222(，N ，学校8点钟开始上课，为使该同学至少能够以0.99的概率准时到校，至少要提前多少分钟出发？（6）【2015山东理】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布0(N ，)32， 从中随机取一件，其长度落在区间（3， 6）内的概率为 .（7）【2015湖南理】如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布0(N ，)1的密度曲线）的点的个数的估计值为 （ ） （A ）2386 （B ）2718 （C ）3413 （D ）4772（8）【2015湖北】设X ～)(211σμ，N ，Y ～)(222σμ，N ，这两个正态密度曲线如图所示. 下列结论中正确的是 （ ）（A ）Y P (≥)2μ≥Y P (≥)1μ （B ）X P (≤)2σ≤Y P (≤)2σ（C ）对任意正整数t ，X P (≤)t ≥Y P (≤)t （D ）对任意正整数t ，X P (≥)t ≥Y P (≥)t。
高中数学——期望方差学习
一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。
（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。
记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。
条件数学期望与条件方差
利用全概率公式进行计算
将事件分解为若干个互斥事件，分别计算每个事件的数学期望，然后加权求和。
在金融中的应用
风险评估
在投资组合优化中，条件数学期望常用于评估不同风险水平下的预期收益。
资本资产定价模型（CAPM）
条件数学期望用于计算资产的预期收益率，进而确定其风险溢价。
条件数学期望与条件方差
目录
• 条件数学期望 • 条件方差 • 条件数学期望与条件方差的关系 • 条件数学期望与条件方差的实例分析
01
条件数学期望
定义与性质
定义
在给定某个条件或信息下，数学期望 的值。
性质
与普通数学期望的性质相似，但需要 考虑条件的影响。
计算方法
利用概率质量函数或概率密度函数计算
波动风险，进而制定合适的投资策略。
外汇汇率的条件数学期望与条件方差分析
总结词
外汇汇率的条件数学期望和条件方差分析有 助于投资者预测汇率走势，进行合理的资产 配置。
详细描述
通过分析外汇汇率的历史数据和市场信息， 投资者可以预测未来汇率的走势，进而制定 相应的投资策略。条件方差则反映了外汇汇 率波动的风险，投资者可以根据风险承受能 力进行资产配置。
投资决策
在制定投资决策时，投资者可以利用条件数学期望和条件方差 来评估不同投资策略的预期回报和风险，从而选择更合适的策
略。
04
条件数学期望与条件方差的实例分 析
股票价格的条件数学期望与条件方差分析
总结词
股票价格的条件数学期望和条件方差分析是 评估投资风险和预期收益的重要工具。
详细描述
条件数学期望表示在给定某些信息或条件下 ，未来股票价格的预期值。通过分析历史数 据和市场信息，投资者可以预测未来股票价 格的走势，并制定相应的投资策略。条件方 差则衡量了股票价格的条件数学期望的波动 性，即风险。较低的条件方差意味着股票价
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布
概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布条件期望、条件方差和条件分布是概率论与数理统计中重要的概念和技巧。
它们能帮助我们更准确地描述和计算随机现象的特征和性质。
本文将对条件期望、条件方差和条件分布进行精炼的介绍和讨论。
一、条件期望条件期望是指在给定某些信息或条件下，对随机变量的期望进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件期望E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的平均取值。
条件期望的计算可以通过基本的期望定义进行推导。
对于离散型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∑x P(X=x|A) * x其中，P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∫xf(x|A) dx其中，f(x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的概率密度函数。
二、条件方差条件方差是在给定某些信息或条件下，对随机变量的方差进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件方差Var(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的离散程度。
条件方差的计算可以通过基本的方差定义进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件方差的计算公式为：Var(X|A) = E[(X-E(X|A))^2|A]其中，E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的条件期望。
三、条件分布条件分布是指在给定某些信息或条件下，随机变量的分布情况。
对于随机变量X和事件A，条件分布P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
条件分布的计算可以通过基本的概率计算进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件分布的计算公式为：P(X=x|A) = P(X=x, A) / P(A)其中，P(X=x, A)表示事件A发生且随机变量X取值为x的概率，P(A)表示事件A的概率。
四、应用与扩展条件期望、条件方差和条件分布在实际问题中有广泛的应用。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法，分析和处理统计数据，从而得出推断、估计、决策等信息的科学。
在概率论与数理统计的学习过程中，掌握一些重要的公式是非常关键的。
下面是一些概率论与数理统计中常用的公式：1.概率公式：-加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)-条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式：-期望：E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差：Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式：-样本均值：x̄=(∑x)/n-样本方差：s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差：s=√(s^2)5.参数估计公式：-点估计：-总体均值估计：μ的点估计为x̄-总体方差估计：σ^2的点估计为s^2-区间估计：-总体均值的置信区间：x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间：p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式：-均值检验：-单样本均值检验：t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验：t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验：-单样本比例检验：z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验：z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式，这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
§条件数学期望和条件方差
§2.6条件分布与条件数学期望一、条件分布我们知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同时研究两个随机变量，就需要他们的联合分布列，设二维随机变量（）的可能取值为（）i.j=1.2…,为了计算联合分布列，利用乘法公式：其中是表示在“”的条件下””的条件概率，常常记作 j=1.2…容易验证这时有1） i=1.2…2）这说明具有分布列的两个性质，事实上因而确是一个分布列，它描述了在””的条件下，随机变量的统计规律，当然一般来说这个分布列与原来的分布列不同，称为条件分布列。
如果（）的联合分布列已知，则边际分布列为：从而由对称性，同时还有反过来，如果已知，（或，）也可求得联合分布列。
设与相互独立显然当与相互独立时，。
二、条件数学期望既然是一个分布列，当然可以对这个分布列求数学期望；1、定义定义：设随机变量在“”条件下的条件分布列为，又，则称 为在“”条件下的条件数学期望，简称条件期望，记作。
某射手进行射击，每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为p(0<p<1)，射击进行到击中目标例1：某射手进行射击，两次时停止，令表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，试求：联合分布列, 条件分布列, 及条件期望。
解： 其中于是条件分布列为：这时。
在这个例子中，条件期望的意义是很直观的，如果已知第二次击中发生在第n次射击，那么第一次击中目标的可能性在第一，第二、……第n-1次，并且发生在第次的概率都是，因为也就是说在已知的条件下，的取值为1，2……，n-1是等可能的，从而它的均值为。
2、 条件数学期望的性质条件期望具有与普通数学期望相类似的性质，例如有：1）若，则存在，且有。
特别地，当c为一个常数时，；2）若是两个常数，又 ,存在则存在，且=+ ；前面考察了在固定“”的条件下条件期望的性质，由条件期望定义可就有一个确定的实数知，当给定时，对于的每一个可能取值 就有一个确定的实数与之对应，因而是的单值函数，当时，这个函数值就等于，记这个函数为。
第二节散布函数(Distributionfunction)数学期望(Expectation(金融计量
上课材料之三：第二节 散布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)与方差(Variance)本节要紧介绍概率及其散布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。
一、概率(Probability)一、概率概念(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特点是在必然条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特点是在大体条件不变的情形下，观看到或实验的结果会不同。
换句话说，就个别的实验或观看而言，它会时而显现这种结果，时而显现那样结果，呈现出一种偶然情形，这种现象称为随机现象。
随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验中随机事件显现的频率的稳固性，即一个随机事件显现的频率常在某了固定的常数周围变更，这种规律性咱们称之为统计规律性。
频率的稳固性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此能够对它进行气宇。
关于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，那个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率气宇了随机事件发生的可能性的大小。
关于随机现象，光明白它可能显现什么结果，价值不大，而指出各类结果显现的可能性的大小那么具有专门大的意义。
有了概率的概念，就使咱们能对随机现象进行定量研究，由此成立了一个新的数学分支——概率论。
概率的概念概念在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，若是它知足如下三个条件： （i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）假设∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，那么∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。
推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ； 推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。
条件数学期望与条件方差
称之为随机变量X
D(Y | X )
2、条件方差的性质
条件下随机变量Y的条件
D ( 方Y 差，|记X 为 ) E { Y 2|X E (Y |X )2 }
D (X |Y ) E { X 2|Y E (X |Y )2 }
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
E(X|Yyi) xipi j
i1
i 1xi p p.ijjuj
所以E(X |Y)的分布律
E(X |Y) u1 u2
uj
P
p.1 p.2
p. j
E[E(X |Y)]
uj p. j
j1
j1
xi
i1
pij p. j
p. j
EX
若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则
E[E(X |Y)]
x1 2
2(12) 1
x1 y2 1 2
y2 2 2
[( )] 1
x1
2(12) 1
y2 2 2
( y2 ) 222
pXY(xy)
1
21 12
exp{212(112)[x112(y2)]2}
所 以 E(XYy)112(y2) 同 理 E(YXx)212(x1)
二、条件方差
E { [YE (Y|X )]2|X } 存{Y2|XE(Y|X)2}
EY2EXE(Y|X)2
D E ( Y |X ) E X [ E ( Y |X ) ] 2 ( E Y ) 2
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
总条件方差结
条件数学期望
一、条件数学期望
0 1 离散型r.v. 的条件数 学期望
泊松分布的样本方差的条件期望
泊松分布的样本方差的条件期望
泊松分布的期望和方差均是λ，λ表示总体均值；P(X=0)=e^(-λ)。
X～P(λ) 期望E(X)=λ，方差D(X)=λ
利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k!
P表示概率，x表示某类函数关系，k表示数量，等号的右边，λ表示事件的频率。
注意：
泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
期望、方差协方差
随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)), (-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。
数学期望与方差的性质
i 1,2,,n
n
n
所以 E(X)= E( Xi )= np D( X ) D( Xi ) np(1 p)
i1
i1
例 一台设备由三部件构成，在设备运转中各部件需要调整的 概率相应为0.10 ,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立 的。以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望。
解一 利用公式求E(X ).
先求分布律
X0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006
E( X ) xk pk 0.6
k
解二 利用性质求E(X )
设
Xi
1 0
如第i个需调整 如第i个不需调整 i=1,2,3
Xi 0 P 1 P( Ai)
1 P( Ai)
则 X= X1+X2+X3 EX i P( Ai) EX= EX1+EX2+EX3 =0.6
数学期望与方差的性质非常重要，既 可以利用它们简化计算，又可以得到许多 重要结论.
例已知随机变量 X 服从参数为的泊松分布， 简化计
算 且E[(X 1)(X 2)] 1,
则 _ .
本题要求熟悉泊松分布的有关特征，并会利用数学期望的性质
E (X 1)( X 2) E( X 2 3X 2)
解二 利用性质求E(X )， D (X ).
重要方法
若 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数
引入随机变量 X 1 , X 2 , , X n
设
X
i
1 0
如第i次试验成功
如第i次试验失败 i=1,2，…，n
则 X= X1+X2+…+Xn X1, X 2 ,, Xn 相互独立
正态分布的数学期望与方差
正态分布的数学期望与方差正态分布:密度函数为: 分布函数为的分布称为正态分布～记为N(a, σ2). 密度函数为:或者称为n元正态分布。
其中B是n阶正定对称矩阵～a是任意实值行向量。
称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。
,1, 验证是概率函数,正值且积分为1, ,2, 基本性质:,3, 二元正态分布:其中～二元正态分布的边际分布仍是正态分布:二元正态分布的条件分布仍是正态分布:即 ,其均值是x的线性函数,其中r可证明是二元正态分布的相关系数。
,4, 矩～对标准正态随机变量～有,5, 正态分布的特征函数多元正态分布,1, 验证其符合概率函数要求,应用 B为正定矩阵～L为非奇异阵～然后进行向量线性变换,,2, n元正态分布结论a) 其特征函数为:b) 的任一子向量 ,m?n 也服从正态分布～分布为其中～为保留B的第～… 行及列所得的m阶矩阵。
表明:多元正态分布的边际分布还是正态分布c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵～即表明:n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关e) 若～为的子向量～其中是～的协方差矩阵～则是～相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。
则相互独立的充要条件为 ,0f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服从一元正态分布表明:可以通过一元分布来研究多元正态分布g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵～则服从m元正态分布表明:正态变量在线性变换下还是正态变量～这个性质简称正态变量的线性变换不变性推论: 服从n元正态分布N(a,b)～则存在一个正交变化U～使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量～他的数学期望为Ua～而他的方差分量是B的特征值。
条件分布若服从n元正态分布N(a,b)～～则在给定下～的分布还是正态分布～其条件数学期望:(称为关于的回归)其条件方差为:,与无关,•••••••••••••••••• 【唯美句子】走累的时候～我就到升国旗哪里的一角台阶坐下～双手抚膝～再闭眼～让心灵受到阳光的洗涤。
数学期望和方差的存在性问题
数学期望和方差的存在性问题1． 随机变量的数学期望未必都存在在数学期望的定义中，要求级数绝对收敛或积分绝对可积，我们知道，绝对收敛的级数一定收敛，绝对可积的函数一定可积。
反之都不真，故有数学期望不存在的随机变量存在。
（1） 离散的例子设随机变量X 取值 ,2,1,2)1(1=-=-k k x kk k ，相应的概率为,2,1,21==k p k k 由于∞==∑∑∞=∞=111||k k k k k p x ，所以X 的数学期望不存在 然而2ln 41312111)1(111=+-+-=-=∑∑∞=-∞= k p x k k k k k 若把上式左边级数中的各项进行重排，会收敛到不同的数 例如：2ln 2341715121311=+-++-+2ln 2181613141211=+--+-- 一个随机变量的数学期望只能是一个数，因此数学期望定义中要求的绝对收敛是必要的，它们可以保证k x 顺序的变化不影响数学期望中级数的收敛性（2） 连续的例子，见教材P .141 例5 柯西（Cauchy ）分布2． 随机变量的方差未必都存在按定义 2))(()(X E X E X D -=,由于方差被定义为一种特殊形式（即随机变量X 的函数）的数学期望，而随机变量及随机变量函数的数学期望都未必存在，所以随机变量的方差也未必存在。
本章1中所举两例中的随机变量的方差都不存在.3． 数学期望存在但方差不存在参数为n 的t 分布的密度函数是 +∞<<-∞+Γ+Γ=+-x n x n n n x f n n ,)1()2()21()(212π设随机变量)2(~t X ，则其密度函数 2322)21(42)(-+=x x f ⎰+∞∞-==0)()(2dx x xf X E2X 的数学期望不存在，所以X 的方差不存在关于t 分布，其矩有一个特点，当r<n 时，有矩)(r X E ,但)(n X E 不存在，而且当n>2时，0)(=X E ，2)()(2-==n n X E X D ，故在n=2时，∞=)(X D .。
条件期望
条件分布 二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布列：
pij P( X xi , Y y j ) i 1,2,, j 1,2,
pi j P( X xi Y y j )
pij p j
i 1,2,Hale Waihona Puke 为Y y j时X的条件分布列
二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函 数为 f ( x, y) ，则
令Y0 0, X 0 0, X n X 0 Yk .
k 1
n
求E ( X 3 | X 2 )的示性函数表示式及 E ( X 3 | X 2 0), E ( X 100 | X 2 ), E ( X 100 | Y1 ).
解：
E( X 3 | X 2 )
由 X2和Y3独立
E ( X 2 Y3 | X 2 ) X 2 E (Y3 | X 2 ) X 2 EY3 X 2 ( p q ) (2 p q ) I ( X 2 2 ) ( p q ) I ( X 2 0 ) (2 p q ) I ( X 2 2 )
推广至一般随机变量
求条件数学期望的一般步骤
先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条 件密度函数； 根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件 下的数学期望；
将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)
条件数学期望的性质
设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则
2 2
Var ( X Y y j ) E ( X Y y j ) [ E ( X Y y j )]
用示性函数的线性组合表示离散型随机变量
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式为：EX=npDX=np（1-p）、EX=1/PDX=p^2/q、DX=E（X）^2-（EX）^2。
对于2项分布（例子：在n次试验中有K次成功，每次成功概率为P，它的分布列求数学期望和方差）有EX=npDX=np（1-p）。
n为试验次数p为成功的概率，对于几何分布（每次试验成功概率为P，一直试验到成功为止）有EX=1/PDX=p^2/q。
还有任何分布列都通用的，DX=E（X）^2-（EX）^2。
关于数学期望的历史故事：
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。
可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×
25%=25(法郎)。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
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x1 2
2(12) 1
x1 y2 1 2
y2 2 2
[( )] 1
x1
2(12) 1
y2 2 2
( y2 ) 222
pXY(xy)
1Hale Waihona Puke 21 12exp{212(112)[x112(y2)]2}
所以E(XYy)112 (y2) 同理E(Y Xx)212 (x1)
二、条件方差 1、定义 E { [YE (Y|X )]2|X } 存 在 ,称之为随机变量X 条件下随机变量Y的条件方差，记为 D(Y | X )
D E ( Y |X ) E X [ E ( Y |X ) ] 2 ( E Y ) 2
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
总结
条件数学期望 条件方差
EX
定理2. X,Y为r.v.,EX, EY, Eg(Y )存在, 则 (1) X, Y独立,有E(Y|X)=EY; (2) E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X); (3) E(c|X)=c; (4) E(g(X)|X)= g(X); (5) E{Y-E(Y|X)}2E{Y- g(X)}2;
( X , Y ) ~ N ( 1 ,2 ,1 2 ,2 2 ,) 求 E ( X |Y y ) , E ( Y |X x )
解 ：
p(x,y)2 1 2 11 2ex p {2(1 1 2)[(x 1 1)22x 1 1y 22(y 22)2]}
由于
[( ) 2 ( ) ] 1
若对固定的j, p.j >0, 则称
P{Xxi |Yyj}＝ p p.ijj , j1,2,...
为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;记为
X|Y=yj x1
x2 …
P p1j/p.j p2j/p.j …
… xn
… pnj/p.j
同理，对固定的i, pi. >0, 称
P{Yyj |Xxi}＝ p piij. , j1,2,...
E(X |Y) u1 u2
uj
P
p.1 p.2
p. j
E[E(X |Y)]
uj p. j
j1
xi
j1 i1
pij p. j
p. j
EX
若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则
E[E(X |Y)]
[
xpX Y (x
y)dx]pY (y)dy
xpX Y(x y)pY(y)dxdy
2、条件方差的性质
D (Y |X ) E { Y 2|X E (Y |X )2 }
D (X |Y ) E { X 2|Y E (X |Y )2 }
定理1 D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
证明
ED(Y|X)EX E{Y2|XE(Y|X)2}
EY2EXE(Y|X)2
注1：E(Y|X=x)为关于x的函数，记为 (x) 则E(Y|X)= (X)
定理1. X,Y为r.v.,EX, EY, Eg(Y )存在, 则 （ 1 ） 若 a X b , a E ( X |Y y ) b
（ 2 ） C 1 ,C 2 为 常 数 ， 且 E (X i|Y y )存 在 ， 则 E ( C 1 X 1 C 2 X 2 |Y y ) C 1 E (X 1 |Y y ) C 2 E (X 2 |Y y )
为X＝ xi的条件下，Y 的条件分布律;
定义 设随机变量X与Y的联合分布律 为
P { X x i,Y y j} ＝ p ij,i,j 1 ,2 ,
E(X|Yyj)＝ i 1xip p.ijj , j1,2,
E(Y|Xxi)＝ i 1yjp piij., i1,2,
2、连续型r.v. 的条件数学期望
定义 设连续型随机变量(X,Y)，在Y=y发生条件下，
的 概 率 密 度 pX|Y(x|y),若 xpX|Y(x|y)dx ,则 称
E {X|Yy} xpX |Y(x|y)dx
为 X 在 Y y 条 件 下 的 条 件 数 学 期 望 ， 简 称 条 件 期 望 。
同理：
E { Y|Xx} yp Y |X(y|x)d y
（ 3 ） E [E (X|Y)]E X
P r o o f ( 1 ) ( 2 ) 性 质 与 普 通 数 学 期 望 证 明 是 一 样 的
(3)若 （ X,Y） 为 离 散 型 ， Yyj的 概 率 为 P(Yyj)p.j
E(X|Yyi) xipi j
i1
i 1xi p p.ijjuj
所以E(X |Y)的分布律
§ 4.4 条件数学期望与条件方差
一、 条件数学期望
1、 离散型r.v. 的条件数学期望 设随机变量X与Y的联合分布律为 P { X x i,Y y j} p ij,i,j 1 ,2 , X和Y的边缘分布律分别为
P { X x i}p i p ij,i 1 ,2 ,... j 1
P { Y y j} p j p ij, j 1 ,2 ,... i 1