数学分析与高等代数考研真题详解--南京大学卷

2） lim(x2 + y 2 ) x2y2 ； x→0 y→0
解：
2
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ln(x2 + y )2 x2y2 = x2 y2 ln(x2 + y2 ) < x2 y2 ln(x2 y2 ) =| 2z2 ln z |
1
lim
z→0
2z2
ln
z
=
lim
z→0
ln z 1
= lim− z→0
同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始
大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试
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1 < exy2 < er2 < 1+ ε
1 > cos(x2 − y) > cos(2r2 ) > 1− ε
∫∫ 1− ε < 1
exy2 cos(x2 − y)dxdy < 1+ ε
πr2 x2 + y2 ≤2r2
所以, 利用夹逼定理, 原式的极限为1
二、设 f (x) 在 [−1.1] 上 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， f (0) = 0 ， 令 g(x) = f (x) ，
全国重点名校数学专业考研真题及解答
数学分析与高等代数 考研真题详解
南京大学数学专卷 博士家园 编著
博士家园系列内部资料
《 博士家园数学专业考研丛书》
编委会
这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究
生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大
x
(x ≠ 0), g(0) = f ′(0) ，证明
1） g(x) 在 x = 0 处连续，且可导，并计算 g′(0) ；
3
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2） g′(0) 在 x = 0 处也连续.
证明：（1）这类题目就是不断利用 L’Hospital 法则，不过注意必须有导函数连续 的条件。
lim g(x) = lim f (x) − f (0) = f '(0) = g(0)
南京大学
南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题 2000 年
一、求下列极限
1）设
xn+1
=
3(1+ xn 3 + xn
)
，（
x1
>
0
为已知），求
lim
n→∞
xn
；
解：另外用归纳法也是可以的
xn+1 −
3 = (3 −
3)(xn − 3 + xn
3) ,∀n, xn > 0
根据压缩映像原理,知收敛,不难得到答案为 3
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
z 1
= lim z2 = 0 z→0
2z2
z3
lim(x2 + y )2 x2 y2 = e0 = 1
x→0 y→0
∫ 3）
lim
x→0
+∞ cos t 1 t2
dt
；
x
解：放缩法
| cos t |≤ 1 t2 t2
来自百度文库
∫ ∫ ⇒
+∞ 1
cos t t2
dt
<
+∞ 1
1 t2
dt
=
x
x
x
∫ ⇒
lim
x→0
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数学分析与高等代数考研真题详解
南京大学考研数学专卷
目录
2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2001 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2002 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2007 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 2008 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 2009 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 2010 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题
题：
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博士家园 二零一零年二月
+∞ 1
cos t t2
dt
=
0
x
∫∫ 4）
lim
r →0
1 πr
2
e xy2
x2 + y2≤2r2
cos( x 2
−
y)dxdy
.
解：这几道题目的做法都相似，主要就是放缩和夹逼定理，运用熟练以 后非常方便。
∫∫ 1
exy2 cos(x2 − y)dxdy
πr2 x2 + y2 ≤2r2
∀ε > 0, ∃r ', r < r '
x→0
x→0 x − 0
g '(x)
=
⎧⎪⎪g '(x) ⎨ ⎪⎪⎩g '(0)
= =
(
f
(x))' = x
xf
'(x) − x2
f
(x)
,x
≠
0
lim
x→0
f
(x) − xf x2
'(0)
= lim x→0
f
'(x) − f 2x
'(0)
=
1 2
f
"(0)
（2） lim g '(x) = lim xf '(x) − f (x) = lim xf "(x) + f '(x) − f '(x) = 1 f "(0) = g '(0)