第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积_12964

记
n
|| T || max{ P0 P1 , P1P2 , , Pn1Pn }, sT Pi1Pi
i 1
分别表示最长弦的长度和折线的总长度.
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定义1 对于曲线C的无论怎样的分割T，如果存在有限极限
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lim
||T ||0
sT
s.
则称曲线C是可求长的,并把极限s定义为曲线C的弧长.
定义2 设平面曲线C 由参数方程
s
= b a
1 f 2 x dx
(4)
（2）若曲线C由极坐标方程r r( ), [, ] 表示，
其中 r '( )在 [, ]上连续，且 r( ) 与 r '( )不同时
为零时，弧长公式为
s=
r 2 r2 d
(5)
证：（1）若曲线C由直角坐标方程 y = f (x)，x∈[a，b]
i x2 i y2 i x2 i y2 i
则有
n
ST =
x2 i y2 i i ti .
i 1
利用三角形不等式易证
i y i y i y i y i
由 y'(t)在 [ , ]上连续，从而一致连续，
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故对任给的 0, 存在 0, 当 T ' 时,只要i ,i i，
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例1 求摆线x=a（t－sin t），y=a（1－cos t）（a＞ 0）
一拱的弧长.
解 x′（t）=a（1－cos t），y′（t）=a sin t，
由公式（2）得
s= 2 x2 t y2 t dt 2
0
0
=0
cos d
2
8a .
2a2 1 cos t dt
ex ex 例2 求悬链线y= 2 从x=0到x=a＞0那一段的弧长.
ex ex
解 y′= 2
,
1
y2
ex
=
e x 2
4 ,由公式（4）得
s a
=
1 y2 dx
a ex ex
ea ea
dx
.
0
02
2
例3 求心形线r=a（1+cos）（a＞0）的周长.
解 由公式（5）得
s= 2 r2 r2 d 2 2a2 1 cos d
0
0
= 4a.
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n
s T
xi2 yi2
i 1
n
= x2 i y2 i ti
i1
3． 又因C为光滑曲线，当 x'(t) 0 时，在t的某邻域内 x x(t)
有连续的反函数，故当△ x→0时，△t→0；类似地，
当 y'(t) 0 时，亦能由△y→0推知△t→0。所以当
Pi1Pi xi2 yi2 0 时，必有△ti→0.反之，当
由于 x r cos r sin ,
y' r sin r cos ,
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x2 y2 r2 r2 ,
因此 r '( )在 [, ]上连续，且 r( ) 与 r '( )不同时
为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线.由定理10.1 弧长为
s=
r 2 r2 d .
下面简单介绍弧微分:
若把公式(2)中的积分上限改为t，就得到曲线(1)
由端点P0到动点P（x（t），y（t））的弧长，即
s(t)=
t
a
x2 y2 d .
由于被积函数是连续的，因此,
ds dt
dx dt
2
dy dt
就有, i
因此有,
，i =1，2，…，n.
n
sT i1
n
n
x2 i y2 i ti iti ≤ i ti .
i1
i1
即(3)式得证，亦即公式(2)成立.
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推论 （1）若曲线C由直角坐标方程 y=f（x）,x∈[a，b]表示，
其中f（x）在[a，b]上连续可微时，弧长公式为
x=xt ，y= yt ，t ∈[ , ].
(1)
给出.如果x t 与yt 在 [ , ]上连续可微，
且 x'(t) 与 y'(t) 不同时为零(即 x2 (t ) y2 (t ) 0,
t [ , ] )则称C为一条光滑曲线.
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定理10.1 设曲线C由参数方程(1)给出.若C为一光滑曲线，
§3 平面曲线的弧长
一、平面曲线的弧长
在这一部分中我们首先建立了曲线弧长的相关概念， 然后曲线在三种表示情形，即分参数方程、直角坐标方程、 极坐标方程给出时，得到了相应的弧长公式.其中曲线C 由参数方程给出时的弧长公式是以定理10.1的形式给出的， 其余两种类型通过转化为参数方程，也很简便地得到了相应
则C是可求长的，且弧长为
S=
x2 t y2 t dt
(2)
证: 1. 对C作任意分割T={P0，P1，…，Pn}，并设P0与Pn
分别对应 t= 与t= ，且
Pi ( xi, yi)= ( x ( t i ), y ( t i ) ), i=1，2，…，n－1.
于是，与T对应地得到区间[，]的一个分割
T : t0 t1 t2 tn1 tn .
2． 在T′所属的每个小区间△i=[ti－1，ti]上，
由微分中值定理得
xi x(ti ) x(ti1) x(i ) ti ,i i;
yi y(ti ) y(ti1 ) y(i ) ti ,i i;
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从而曲线C的内接折线总长为
△ti→0时，显然有 Pi1Pi 0 .
由此知道：当C为光滑曲线时，T 0与 T 0
是等价的.
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4．由于 x2 t y2 t 在[ , ]上连续从而可积，
因此根据定义1，只需证明：
n
limsT lim x2 i y2 i ti , (3)
T' 0
T' 0 i 1
而后者即为(2)式右边的定积分.为此记
表示，把它看作参数方程，即为x = x，y = f (x)，
x∈[a，b]。当f（x）在[a，b]上连续可微时，
C为一光滑曲线，由定理10.1弧长为
s= b a
1 f 2 x dx .
（2）曲线C由极坐标方程 r r( ), [, ]
表示, 把它化为参数方程:
x r cos , y r sin , ,
的弧长公式.
先建立曲线弧长的概念.
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设平面曲线C.如图10—14所示，在C 上从A到B依次取分点：
A=P0，P1，P2…，Pn－1，Pn=B，它们
成为对曲线C的一个分割，记为T.然 后用线段联结T中每相邻两点，
得到C的n条弦 Pi1Pi , （i=1，2，…，n），这 n条弦又成为C的一条内接折线.