13、直线与圆的方程的应用(提高)知识讲解.docx

1 3 、直线与圆的方程

的应用 ( 提高 )

直线与圆的方程的应用(提高 )

学习目标

1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；

2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；

3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．

要点梳理

要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤

1．从实际问题中提炼几何图形；

2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转

化为代数问题；

3．通过代数运算，解决代数问题；

4．将结果“翻译”成几何结论并作答．

要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直

线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成

相应的几何结论 . 这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几

何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

要点诠释：

坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具( 即有关公式 ) 将平面图

形的若干性质翻译成若干数量关系 . 在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在 .

要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点

1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐

标系；

2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范

围；

3．最后要把代数结果转化成几何结论．

典型例题

类型一：直线与圆的方程的实际应用

1．有一种大型商品， A、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之

一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A、B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同

地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

【答案】

圆 C 内的居民应在 A 地购物．同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物．圆C 上的居民可随意选择 A 、B 两地之一购物．

【解析】

以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如下图所示．设 A （― 5， 0），则 B（ 5， 0）．在坐标平面内任取一点P（ x，y），设从 A 地运货到 P 地的运费为 2a 元／ km，则从 B 地运货到 P 地的运费为a元／ km．

若P 地居民选择在 A 地购买此商品，

则，

整理得．

即点 P 在圆的内部．

也就是说，圆 C 内的居民应在 A 地购物．

同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物．

圆C 上的居民可随意选择 A 、B 两地之一购

物．【总结升华】

利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（ 1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建

立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．

在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角

的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直

角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（ 2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．

【变式 1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB=20m ，拱高OP=4m，在建造时每隔4m 需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.

【答案】 3.86m

【解析】

建立坐标系如图所示 .圆心的坐标是 (0，ｂ )，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：

因为 P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以

解得，.所以圆的方程为

把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为 3.86m.

【变式 2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以 40

km/h 的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内

部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟 )

【答案】 90 分钟10 h

【解析】

利用坐标法来求解 .如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆 A 的半径为

250km，过 B(300， 0)作倾斜角为 150°的直线交圆于点 C、D，则该市受台风影

响的起始与终结时间分别为 C 开始至 D 结束，然后利用圆的有关知识进行求解 .

以该市所在位置 A 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其

轨迹方程为 y=(x-300)(x ≤300).

该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、

D，则 CA=AD=250 ，∴台风中心到达 C 点时，开始影响该市，中心移至 D 点

时，影响结束，作AH ⊥CD 于 H，则

AH=AB ·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，