大学物理习题解答5第五章稳恒电流 (1)

第五章 稳恒电流
本章提要
1．电流强度
· 当导体中存在电场时，导体中的电荷会发生定向运动形成电流。

如果在t ∆时间内通过导体某一截面的电量为q ∆，则通过该截面的电流I 为
q
I t
∆=
∆ · 如果电流随时间变化，电流I 的定义式为
t
q
t q I t d d lim 0=∆∆=→∆
2．电流密度
· 导体中任意一点的电流密度j 的大小规定为单位时间内通过该点单位垂直截面的电量，j 的方向规定为通过该点的正电荷运动的方向。

根据电流密度的定义，导体中某一点面元d S 的电流密度为
d d I
j S ⊥
=
· 对于宏观导体，当导体中各点的j 有不同的大小和方向，通过导体任意截面S 的电流可通过积分计算，即
d j S S
=⋅⎰⎰I
3．欧姆定律
· 对于一般的金属导体，在恒定条件下欧姆定律有如下表达形式
R
U U I 2
1-=
其中R 为导体的电阻，21U U -为导体两端的电势差
· 欧姆定律的微分形式为
E j σ=
其中ρσ1=为电导率
4．电阻
· 当导体中存在恒定电流时，导体对电流有一定的电阻。

导体的电阻与导体的材料、大小、形状以及所处状态（如温度）有关。

当导体的材料与温度一定时，对一段截面积均匀的导体，其电阻表达式为
S
l R ρ
= 其中l 为导体的长度，S 为导体的横截面积，ρ为导体的电阻率
5．电动势
· 非静电力反抗静电力移动电荷做功，把其它种形式的能量转换为电势能，产生电势升高。

q
A 非=
ε
· 当非静电力不仅存在于内电路中，而且存在于外电路中时，整个回路的电动势为
l E l
k ⎰⋅=d ε
6．电源电动势和路端电压
· 若电源正负极板的电势分别为U +和U -，电源内阻为r ，电路中电流为I ，则电源电动势为
()U U Ir +-ε=--
· 路端电压为
Ir U U -=--+ε
7．接触电动势
· 因电子的扩散而在导体接触面上形成的等效电动势。

A
B
ln
n kT e n ε=
其中e 为电子电量，k 为玻尔兹曼常数，T 为热力学温度
8．含源电路的欧姆定律
()A B U U IR Ir ε-=+
9．基尔霍夫定律
· 基尔霍夫定律是求解复杂电路的基本方法。

（1）基尔霍夫第一定律：流入任一节点的电流和流出该节点的电流的代数和等于零。

0I =∑
（2）基尔霍夫第二定律：沿任一个闭合回路的电动势的代数和等于回路中电阻上电势降落的代数和。

IR ε=∑∑
思考题
5-1 电流是电荷的流动，在电流密度0j ≠的地方，电荷的体密度ρ是否可能等于零？
答：有可能等于零。

在金属导体中电荷的定向移动形成电流，电荷的体密度等于零。

而单独的正离子或负离子的运动形成电流时电荷的体密度不等于零。

5-2 如果通过导体中各处的电流密度不相同，那么电流能否是恒定的？为什么？
答：电流能够恒定，因
⎰⎰⋅=S
d S j Ι，虽然导体中各处的电流密度不相同，只要电流密度j 对导体各截面的通量相等，通过导体的电流就恒定。

5-3 一铜线外涂以银层，两端加上电压后，在铜线和银层中通过的电流是否相同？电流密度是否相同？电场强度是否相同？
答：因l
US R U I ρ==
，而两种导线的横向截面不同；长度是一样；铜线与银层的材料不同，电阻率不同；所以两端施加同样的电压而通过的电流不相同；电流密度l U S I j ρ==
不相同，电场强度l
U
j E 2ρρ==也不相同。

5-4 截面相同的铝丝和钨丝串联，接在一直流电源上，问通过铝丝和钨丝的电流强度和电流密度是否相等？铝丝内和钨丝内的电场强度是否相等？
答：通过铝丝和钨丝的电流强度相等，又因二者截面积相同，根据S
I j d d =，则通过的电流密度也相等。

根据ρ
σE
E j =
=，ρ为导体材料的电阻率，两种材料电阻率不相等，通过的
电流密度相等，所以两材料内的电场强度不相等。

5-5电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？
答：电动势是单位正电荷从负极经电源内部移到正极时非静电力所做的功，端电压是指电源正负两极之间的电压，一般情况下电源的端电压不等于电动势，两者之差为Ir ，即电源电流与内阻r 之积，称内阻电位降。

当电源内阻为0，即Ir=0时，端电压在数值上等于电动势。

对于有内阻的电源，只要流过它的电流为零（处于开路状态的电源就如此），端电压也与电动势数值相等。

练习题
5-1 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。

已知地
球表面附近空气的电导率1411310m σ---=⨯Ω⋅，场强1
C N 100-⋅=E ，地球半径m 1066⨯=R 。

若将大气电流视为稳恒电流，计算由大气流向地球表面的总电流强度。

解：已知1411310m ---δ=⨯Ω⋅，1100N C E -=⋅，如图5-1所示，在地球表面取一微元曲面d S ，则由大气流向曲面S d 的电流强度
d d dI S j S =⋅=j
（1）对①式积分即可得大气流向地球表面的总电流强度
jS jdS dS S
S
==⋅=⎰⎰⎰⎰j I
因
1412-2310100310(A m )--=δ=⨯⨯=⨯⋅j E
又地球表面积为
()()2
2614244610 4.5210m S R =π=π⨯⨯=⨯
则
12143310 4.5210 1.410(A)I jS -==⨯⨯⨯≈⨯
即大气流向地球表面的总电流强度为31.410A ⨯。

图5-1
①
5-2 截面积为10mm 2的铜线中，允许通过的电流是60A ，试计算铜线中的允许电流密度。

设每个铜原子贡献一个自由电子，可算得铜线中的自由电子密度是328m 105.8-⨯，试计算铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度。

解：铜线截面积25210mm 1.010m S -==⨯，允许通过的电流60A I =，则铜线中允许电流密度
625
60 6.010(A m )1.010I j S --===⨯⋅⨯ 又知铜线中的自由电子密度2838.510m n -=⨯，则铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度
6
412819
6.010 4.410(m s )8.510 1.610
j v ne ---⨯===⨯⋅⨯⨯⨯
5-3 有一灵敏电流计可以测量小到A 1010-的电流，当铜导线中通有这样小的电流时，每秒内有多少个自由电子通过导线的任一截面？如导线的截面积是
2mm 1，自由电子的密度是3
28m 105.8-⨯，自由电子沿导线漂移cm 1需要多少时间？
解：铜导线中通有电流1010A I -=，则每秒内通过导线任一截面的自由电子数
108-119
101 6.310(s )1.610
It n e --⨯===⨯⨯ 又知导线的截面积2621mm 110m S -==⨯，自由电子的密度2838.510m n -=⨯， 则电子的平均漂移速率
10
15-162819
107.3510(m s )1108.510 1.610
I v Sne ----===⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 自由电子沿导线漂移1cm l =需要的时间为
21215
110 1.410(s)7.3510
l t v --⨯==≈⨯⨯ 5-4 一铜棒的截面积为2
m m 8020⨯，长为m 0.2，两端的电势差为mV 50。

已知铜的电导率715.710s m σ-=⨯⋅，铜内自由电子的电荷体密度为310m 1036.1-⋅⨯C 。

求：（1）它的电阻；（2）电流；（3）电流密度；（4）棒内的电场强度；（5）所消耗的功率；（6）棒内电子的漂移速度。

解：铜棒的截面积2
322080m m 1.610m S -=⨯=⨯，长 2.0m l =，电导率715.710s m -δ=⨯⋅，则
（1） 铜棒电阻为
()Ω⨯≈⨯⨯⨯=⋅==--5
3
7102.2106.1107.521S l S l ρR δ （2） 铜棒两端的电势差为250mV 510V U -==⨯，则电流
()235
510 2.310A 2.210
U I R --⨯==≈⨯⨯ （3） 电流密度为
()3623
2.310 1.410A m 1.610
I j S --⨯===⨯⋅⨯ （4） 棒内的电场强度
()6
217
1.410
2.510V m 5.710
j E --⨯===⨯⋅δ⨯ （5） 所消耗的功率
()()2
23522.310 2.210 1.110W P I R -==⨯⨯⨯≈⨯
（6） 又自由电子的电荷体密度1031.3610c m ne -=⨯⋅，则电子的漂移速度
()6
410
1.410 1.010m s 1.3610
j v ne -⨯===⨯⋅⨯
5-5大多数生物细胞的形状类似圆球，这类细胞的细胞膜可视为一个同心球壳体系，如图5-2所示。

由于活体细胞内外均有许多带电粒子，这些粒子可通过细胞膜进行交换，形成跨膜电流。

设细胞膜内半径为R a ，外半径为R b ，膜中介质的电阻率为ρ。

求（1）细胞膜电阻；（2）若膜内外的跨膜电势为U ab ，求跨膜电流的电流密度与半径r 的关系。

解：（1）设想细胞膜是由许多个圆球组成，以r 代表其中任意薄层圆球的半径，其面积2d 4S r =π，以d r 表示此薄层的厚度，由题意可知电流沿径向方向，则长度即为d r ，该薄层的电阻应为24d d d r
r
ρS r ρR π=⋅
=，则细胞膜电阻 ()b a a b b a
Rb
Ra
Rb
Ra
R R R R ρR R ρr r ρ
R R πππ411414d d 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎰⎰ （2）若膜内外的跨膜电势为ab U ，跨膜电流
()()
44ab ab a b ab
ab b a a b b a U U R R U I R R R R R R R π=
==
ρ-πρ- 由于在距离球心r 处总电流ab I 所通过的“截面积”24r S π=，则跨膜电流的电流密度与半径r 的关系由下式得出：
()a
b b
a a
b a b ab b a ab R R R R r U r R R U R R S I j -⋅=⋅-==
2
244ρπρπ
5-6电缆的芯线是半径为cm 5.01=r 的铜线，在铜线外面包一层同轴的绝缘
层，绝缘层的外半径为cm 0.12=r ，电阻率121010m .ρΩ=⨯⋅。

在绝缘层外面又用铅层保护起来（见图5-3）。

求（1）长m 1000=L 的这种电缆沿径向的电阻；（2）当芯线与铅层间的电势差为100V 时，在这电缆中沿径向的电流多大？ 解：（1）设想电缆芯线与绝缘层之间是由许多薄圆柱层所组成，以r 代表其中任意薄层截面的半径，其面积rl S π2=，以d r 表示此薄层的厚度，则该薄层的径向电阻应为
rl
r ρS r ρR π==2d d d
长m l 1000=的这种电缆沿径向的电阻为
1
2ln 22d d 2
1
r r l ρrl r
ρ
R R r r π=π==⎰⎰ 代入数据后，得
()Ω⨯=⨯⨯⨯⨯=--8
2
212101.1)10
5.0100.1ln(10002100.1πR （2）当芯线与铅层间的电势差100V U =时，根据欧姆定律求得径向电流
7
8
1009.110(A)1.110
U I R -===⨯⨯
5-7 一个蓄电池在充电时通过的电流为3.0A ，此时蓄电池两极间的电势差为4.25V 。

当这蓄电池在放电时，通过的电流为4.0A ，此时两极间的电势差为3.90V 。

图5-2
图5-3
图5-5
求这蓄电池的电动势和内阻。

解：作图5-4所示的电路示意图，设所选定的积分路径是自A 端经蓄电池到B 端，应用一段含源电路的欧姆定律得AB 两端的电势差 当蓄电池充电时，有
r I U U B A +=-=εε0
当蓄电池放电时，有
r I U U B A ''''
-=-=εε
带入数据V 25.40=ε，A I 0.31=；
0 3.90V 'ε=，A I 0.4='解得
()4.10V ε=，()Ω=05.0r
即蓄电池的电动势为4.10V,内阻为0.05Ω。

5-8 图5-5中两个电源都是化学电池，V 61=ε,V 42=ε，内阻120.1r r ==Ω。

求：（1）充电电流；（2）每秒内电源ε1消耗的化学能；（3）每秒内电源ε2获得的化学能。

解：（1）如图5所示，对闭合回路ABCDA 应用基尔霍夫第二定律得：
01212=++-i i IR IR εε
带入数据V 61=ε，V 42=ε，120.1r r ==Ω，解得
()10A I =
（2）每秒内电源1ε消耗的化学能
()11610160J W It =ε=⨯⨯=
（3）每秒内电源2ε获得的化学能
A B
E 、r A B `
r 充电
放电 图5-4
图5-6
5-9 电动势为V 8.11=ε和V 4.12=ε的两电池与外电阻R 以两种方式连接（如图5-6所示），图（a ）中伏特计的读数为V 6.0a =V 。

问：（1）图（b ）中伏特计的读数将为多少（伏特计的零点刻度在中央）？（2）讨论电池在两种情形中的能量转换关系。

解：（1）设电动势为1ε、2ε的两电池内阻分别为1r 、2r ，两电路中的电流1I 、2I 及方向如图5-6所示：对电路（a ）有
212r I U U U B A AB +-=-=ε
对回路ABCA 应用基尔霍夫第二定律得
()021112=+++--R r r I εε
对电路（b ）有
222r I U U U B A B A +=-=''''ε
对回路A`B`C`A`应用基尔霍夫第二定律得：
()021212=+++-R r r I εε
代入数据V 8.11=ε，V 4.12=ε，V 6.0a =V 即V U AB 6.0-=，解得
()V U B A 5.1=''
因伏特计的零点刻度在中央，在电路（a ）中B A U U <读数为0.6V ，则在电路（b ）中A B U U ''>读数应为 1.5V -。

（2）在（a ）电路中1ε、2ε均消耗能量，化学能转化为电势能，在（b ）中1
ε消耗能量，化学能转化为电势能；2ε获得能量，电势能转化为热能。

5-10 利用安培计和伏特计来测量电阻（已知安培计的电阻Ω=03.0A R ，伏特计的电阻Ω=1000V R ），有下列两种方法：（1）按图（a ）的接法，安培计的读数为A 32.01=I ，伏特计的读数为V 60.91=V 。

试求在计算电阻值时因未将安培计的电阻计算在内而造成的相对误差。

如V 10.2,A 00.711='='V I ，作同样的计算。

（2）按图（b ）的接法，安培计的读数为A 40.22=I ,伏特计的读数为V 20.72=V 。

试求在计算电阻值时因未将通过伏特计中的电流计算在内而造成的相对误差。

如V 20.7,m A 2022
='='V I ，作同样的计算。

（3）通过上面的计算，讨论所得的结果。

解：（1）对图（a ），考虑到安培计的电阻，则流经R 的电流为1I ，R 上的电压降A R I V U 11-=，则
(a) (b)
图5-7
①
②
③
④
1
111I R I V I U R A
-=
=
若不考虑安培计的电阻，则（考虑内阻与否的电流值不一样）
1
1
I V R =
' 则相对误差
%100%1001
1⨯=⨯-'=
V R I R
R R E A
带入数据A 32.01=I ，V 60.91=V ，A 0.03R =Ω，解得%10.0=E 。

如1
7.00A I '=，1 2.10V V '=，作同样的计算得%10='E 。

（2）对图（b ），考虑到伏特计的电阻，则流经待测电阻R 的电流为
V
R V I I 2
2-=， 2
22222
2
V R I R V R V I V I
V R V V V
-=
-
==
带入数据A 40.22=I ，V 20.72=V ，Ω=1000V R ，解得()Ω=009.3R 。

若不考虑伏特计的电阻，则
()Ω==
'00.32
2
I V R 则相对误差
%30.0%100=⨯-'=
R
R R E
如V 20.7,m A 2022
='='V I ，作同样的计算得%36='E （3）讨论：通过以上计算可知使用安培表内接法测电阻时，由于安培表内阻有分压作用，因而在未考虑安培表内阻时使待测电阻的测量值比真实值偏大，且加在待测电阻两端的电压越小，相对误差越大；使用安培计外接法测电阻时，由于伏特计内阻的分流作用，使得测量值比真实值偏小，且通过的电流越小，相对误差越大。

5-11 在图7所示的电路中，已知V 0.11=ε，V 0.22=ε，V 0.33=ε，Ω=0.11R ，Ω=0.32R ，12310.r r r Ω===。

求：（1）通过ε3的电流；（2）R 2消耗的功率；（3）ε3对外供给的功率。

（图中缺标Ω=0.11R ）
解：（1）设各支路中的电流强度分别为1I 、2I 、3I ，其指向如图所示，电
路中有两个节点A 、B ，但只能列出一个独立的电流方程，现对节点A 应用基尔霍夫第一定律可得
0321=-+I I I
对闭合回路A1B3A （绕行方向为顺时向）和A2B3A （绕行方向为顺时向）分别应用基尔霍夫第二定律可得
()()032311131=+-+--r R I R r I εε ()03232232=+---r R I r I εε
将数据V 0.11=ε，V 0.22=ε，V 0.33=ε，Ω=0.11R ，Ω=0.32R ，12310.r r r Ω===
代入回路方程②、③中并与电流方程①联立求解可得到A I 43.01-=,A I 14.02=,A I 29.03-=
此结果中1I 、3I 为负值，说明它们的实际电流指向与图中假定方向相反， 2
I 为正值，说明实际电流方向与原假定方向相同。

所以通过ε3的电流大小为0.29A 。

（2）R 2消耗的功率2
2320293024(W)..P I R ==⨯=
（3）ε3对外供给的功率23302930087(W)...P I ε==⨯=
5-12 在如图5-9所示的电路中，已知V 0.21=ε，V 0.62=ε，V 0.23=ε，Ω=0.11R ，Ω=0.52R ，Ω=0.33R ，Ω=0.24R 。

求通过电阻R 2的电流的大小和方向。

解：设各支路中的电流强度分别为1I 、2I 、3I ，其指向如图5-9所示，电路中有两个节点A 、B ，但只能列出一个独立的电流方程，现对节点A 应用基尔霍夫第一定律可得
321I I I +=
①
②
③
①
R 2 ε1，r 1
图5-8
，r
I 3
图5-9
R
A B
图5-10
ε，r
对闭合回路A1B2A （绕行方向为顺时向）和A2B3A （绕行方向为顺时向）分别应用基尔霍夫第二定律可得
()0224111=-+-R I R R I ε
0332232=-++-R I R I εε
带入数据V 0.21=ε，V 0.62=ε，V 0.23=ε，Ω=0.11R ，Ω=0.52R ，Ω=0.33R ，Ω=0.24R 解得
A I 10.01-=，A I 46.02=，A I 56.03-=
此结果中2I 为正值，说明它们的方向与原假定方向相同，1I 、3I 为负值，说明实际电流指向与图中假定方向相反，则通过电阻R 2的电流的大小为0.46A ，方向从A 指向B 。

5-13 在如图5-10所示的电路中，已知V 121=ε，V 92=ε，V 83=ε， 1231r r r Ω===，Ω=Ω====3,254321R R R R R 。

求：（1）A 、B 两点间的电势差；（2）C 、D 两点间的电势差；（3）如C 、D 两点短路，这时通过R 5的电流有多大？
解：（1）设回路中电流强度及指向，如图5-10所示，选择一段含源电路A1B 应用基尔霍夫第一定律可得（式（1）有错误）
()121ε+++-=-=I B A AB R R R I U U U
选择回路A1B2A 应用基尔霍夫第二定律可得
()021214321=-++++++-εεr r R R R R I
带入数据V 121=ε，V 92=ε，Ω==121r r ，,24321Ω====R R R R 解得
03A .I =，105V .AB U =，即A 、B 两点间的电势差为10.5V 。

（2）取CA1B3D 含源电路,则C 、D 两点间的电势差
33111εε---+-=IR Ir IR U CD
带入V 83=ε及相关数据可得25V .CD U =。

（3）如C 、D 两点短路，设各支路中的电流强度分别为1I 、2I 、3I ，其指向如图所示，电路中有两个节点A 、B ，但只能列出一个独立的电流方程，现对节点A 应用基尔霍夫第一定律可得
0321=--I I I
对闭合回路A1B3A （绕行方向为顺时向）和A3B2A （绕行方向为顺时向）分别应用基尔霍夫第二定律可得
()()0353131131=+-++--r R I r R R I εε ()()0422235323=++-++-R r R I r R I εε
② ③
①
②
③
④
⑤ ⑥
④、⑤、⑥三式联立，带入数据求得1049(A).I =，2011(A).I =，3038(A).I =。

此结果中1I 、2I 、3I 均为正值，说明实际电流指向与图中假定方向相同，所以通过R 5的电流大小为0.38A ，方向从A 指向B 。