动量和能量综合问题

动量和能量综合问题

1． 弹性碰撞

发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m 1和m 2，碰前速度为v 1，v 2，碰后速度分别为v 1ˊ，v 2ˊ，则有： m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1ˊ+m 2v 2ˊ (1)

21m 1v 12+21m 2v 22=21m 1v 1ˊ2+2

1

m 2v 2ˊ 2 (2) 联立（1）、（2）解得：

v 1ˊ=1212211-2

v m m v m v m ++，v 2ˊ=22

12

211-2v m m v m v m ++.

特殊情况：

①若m 1=m 2 ，v 1ˊ= v 2 ，v 2ˊ= v 1 .

②若v 2=0则 v 1ˊ

=12121-v m m m m +，v 2ˊ

=2

11

12m m v m +.

(i)m 1>>m 2 v 1ˊ=v 1，v 2ˊ=2v 1 . (ii)m 1<

碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：

m 1v 1+m 2v 2=(m 1+m 2)v 共 （1）

完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：

ΔE k = ½m 1v 12+ ½ m 2v 22- ½(m 1+m 2)v 共2. （2）

联立（1）、（2）解得：v 共 =212211m m v m v m ++；ΔE k =

2212

12

1-21)v v (m m m m + 3． 非弹性碰撞

介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。 根据动量守恒定律可得：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1ˊ+m 2v 2ˊ (1)

损失动能ΔE k ，根据机械能守恒定律可得： ½m 1v 12

+ ½ m 2v 22

=21m 1v 1ˊ2

+2

1m 2v 2ˊ 2 + ΔE k . (2)

恢复系数e =

2

11

2-′

-v v v v ′ ①非弹性碰撞:0

4． 碰撞三原则

(1)动量守恒：即p 1＋p 2＝p 1′＋p 2′.

(2)动能不增加：即E k1＋E k2≥E k1′＋E k2′或p 212m 1＋p 222m 2≥p 1′22m 1＋p 2′2

2m 2.

(3)速度要合理

①若碰前两物体同向运动，则应有v 后>v 前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v 前′≥v 后′。

②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 【其它方法①】巧用恢复系数法

恢复系数e =2

112-′

-v v v v ′ ①非弹性碰撞:0

碰撞时，恢复系数满足范围：0≤e ≤1。首先判断动量守恒，以后用恢复系数判断。 【其它方法①】临界法

v

弹性碰撞没有动能损失，完全非弹性碰撞动能损失最多，计算出这两种情况下的临界速度，那么其他碰撞应该介于二者之间。 5． 类碰撞问题

6． 子弹打木块

7． 板块模型 8． 弹簧模型

9．板块+弹簧模型

10．弧形槽模型

11．摆球模型

12．反冲模型

13．爆炸现象的三个规律

(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒。

(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸前后系统的总动能增加。

(3)位置不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动。

14．对反冲现象的三点说明

(1)系统内的不同部分在强大内力作用下向相反方向运动，通常用动量守恒来处理。

(2)反冲运动中，由于有其他形式的能转变为机械能，所以系统的总机械能增加。 (3)反冲运动中平均动量守恒。 15．人船模型

【问题】质量是M ，长为L 的船停在静止水中，若质量为m 的人，由船头走向船尾时，人行走的位移和船的位移是多少？

【解析】不考虑水的粘滞阻力，人和船组成的系统在水平方向不受外力，系统在水平方向动量守恒，则

人船υυm M = ①

人进船退，人停船停，人由船头走向船尾的这个过程中，始终满足①式，则全过程有

M m

S S =

==

人

船人船人

船υυυυ ② 又 L S S =+人船 ③ 由②③得，L m

M m

S +=

船 ； S 人L m M M +=

【条件】①动量守恒或某方向动量守恒；②总动量为零。 【结论】速度、位移与质量成反比：L m

M m

S +=船 ； S 人L m M M +=

【类人船模型】

16．反冲模型和类碰撞模型的比较

17．(多选)两个小球A 、B 在光滑水平面上相向运动，已知它们的质量分别是m 1＝4 kg ，m 2＝2 kg ，A 的速度v 1＝3 m/s(设为正)，B 的速度v 2＝－3 m/s ，则它们发生正碰后，其速度可能分别是( ) A.均为1 m/s B.＋4 m/s 和－5 m/s C.＋2 m/s 和－1 m/s

D.－1 m/s 和＋5 m/s

18．（多选）质量为m 的小球A ，沿光滑水平面以速度v 0与质量为2m 的静止小球B 发生正碰，碰撞后小球B 的速度可能是( )

A. v 0/3

B. 5v 0/9

C. 2v 0/3

D. 8v 0/9 19．(2014·北京理综)如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A 和B 分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A 无初速度释放，A 与B 碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R ＝0.2m ，A 和B 的质量相等，A 和B 整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2。取重力加速度g ＝10m/s 2。求：

(1)碰撞前瞬间A 的速率v ；

(2)碰撞后瞬间A 和B 整体的速率v ′； (3)A 和B 整体在桌面上滑动的距离l 。

20．（2016·全国卷Ⅲ） 如图1-所示，水平地面上有两个静止的小物块a 和b ，其连线与墙垂直；a 和b 相距l ，

b 与墙之间也相距l ；a 的质量为m ，b 的质量为3

4m .两物块与地面间的动摩擦因数均相同，现使a 以初速度v 0向

右滑动，此后a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g .求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．

图1-

21．（2011天津）如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R ，MN 为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A 以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M 时与静止于该处的质量与A 相同的小球B 发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N 为2R 。重力加速度为g ，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：

（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t ； （2）小球A 冲进轨道时速度v 的大小。