高考数学一轮总复习 第二章 函数 第6讲 函数的单调性课件 文 新人教A版

二、函数单调性的判断与证明 例 2 已知定义在区间(－1，1)上的函数 f(x)＝axx2＋－1b是奇 函数，且 f12＝25. (1)确定 y＝f(x)的解析式； (2)判断 y＝f(x)的单调性并用定义证明.
【解析】(1)fx为奇函数，∴f0＝0.∴b＝0. 1
∵f12＝25，∴142＋a1＝25，∴a＝1， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x2＋x 1.
除选项 A、B；因为1－2 x－1＝－1－x－2 1在(－1，1)上为增函 数，所以 f(x)是(－1，1)上的增函数；故选 D.
4.函数 f(x)＝aaxx2－＋1x（－x1≤（2x）>2）是 R 上的单调递减函数，
则实数 a 的取值范围是( D )
A.－14≤a<0
B.a≤－14
C.－1≤a≤－14
f(x)在这个区间上是增函数. (2)减函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说
f(x)在这个区间上是减函数. (3)单调性与单调区间：如果函数 y＝f(x)在某个区间上是
增函数或减函数 ，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，这一区间叫做 y＝f(x)的 单调区间 ，具
(6)利用函数图象判断函数的单调性.
一、求函数的单调区间 例 1 已知函数 f(x)＝x(x－4)，x∈R. (1)将函数 fx写成分段函数的形式，并作出函数的大致简 图； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间，并写出函数 fx 在区间－1，3上的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)＝x－2－x24＋x（4xx（≥x0<）0），.
第6讲 函数的单调性
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【学习目标】
了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数
的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间，并能运用函数 单调性解决有关问题.
【基础检测】
1.若函数 f(x)(x∈R)对任意的 x1≠x2，都有 x1f(x1)＋
x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则函数 f(x)是( A )
∴fx1<fx2，函数在区间－1，1上为增函数.
【点评】证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的 方法有：①定义法.其过程是：作差—变形—判断符号， 而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的 结构；②求导法.其过程是：求导—判断导函数的符号— 下结论.③含有参量的函数的单调性问题，可分为两类： 一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性 求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不 等式，结合定义域求出参数的取值范围.
有单调性的函数叫单调函数.
2.判断函数单调性的常用方法
(1)定义法.
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数，一个增(减)函数
与一个减(增)函数的差是增(减)函数.
(3) 奇 函 数 图 象 在 关 于 原 点 对 称 的 区 间 上 的 单 调
性
相同 ；偶函数图象在关于原点对称的区间上的
单调性 相反 .
(2)单调增区间为(－∞，0)，[2，＋∞)； 单调减区间[0，2]. 函数 fx在区间－1，3上的最值为 f(x)max＝f(0)＝0， f(x)min＝f(－1)＝－5.
【点评】求函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2) 图象法(即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间)；(3) 定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.
(4)导数法：若 y＝f(x)的导数为 y′＝f′(x)，若当 x∈(a，
b)时，f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)上 递增 ；若当 x∈(a， b)时，f′(x)<0，则 f(x)在(a，b)上 递减 .
(5)如果 f(x)在区间 D 上是增(减)函数，那么 f(x)在 D 的
任一子区间上也是增(减)函数.
【解析】作出函数 y＝x＋1和 y ＝x－2的图象，如图，由图可知 f(x)
＝x2＋－1x，，xx≥<1212，所以 f(x)的最小值
为 f12＝32.
【知识要点】
1.单调函数的有关概念 (1)增函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说
(2)设－1<x1<x2<1，
f
x 1
－
f
x 2
＝
x1 x12＋1
－
x2 x22＋1
＝
x1x22＋1－x2x21＋1
x ＋1 x ＋1 2
2
1
2
＝
x1x－21＋x211x－22＋x11x 2， ∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0，1－x1x2>0，x21＋1>0，
x22＋1>0，
∴fx1－fx2<0，
A.增函数
B.减函数
C.奇函数
D.偶函数
【解析】因为 x1fx1＋x2fx2>x1fx2＋x2fx1，所以x1－x2
fx1>x1－x2fx2，因为 x1≠x2，所以当 x1>x2 时，fx1>fx2， 当 x1<x2 时，fx1<fx2，所以函数 fx是增函数，故选 A.
2.下列函数中，满足“f(xy)＝f(x)＋f(y)”且单调递减的是
(C )
A.y＝12x
B.y＝log2x
C.y＝log1x 2
1 D.y＝x2
【解析】由指数式和对数式、幂值的运算性质(ar·as＝ ar＋s，logaM＋logaN＝logaMN， xy≠ x＋ y)可排除选项 A、 D，因为 y＝log2x 在定义域上单调递增，故排除选项 B，而 y
＝log1x 在定义域上单调递减；故选 C. 2
D.a≤－1
【解析】∵f(x)＝aaxx－2＋1x（－x1≤（2x）>2）是 R 上的单调递减
a<0 函数，∴2－a－21a≤1≥24a＋2－1⇒a≤－1，故选 D.
5.对任意 a，b∈R，记 max{a，b}＝ba，，aa<≥bb. ，函数 fx＝ 3
max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是 2 .
3.设 f(x)＝lg1－2 x＋a是奇函数，且在 x＝0 处有意义，
则该函数为( D )
A.(－∞，＋∞)上的减函数 B.(－∞，＋∞)上的增函数 C.(－1，1)上的减函数 D.(－1，1)上的增函数
【解析】由题意，得 f(0)＝lg(2＋a)＝0，所以 a＝－1， 则 f(x)＝lg1－2 x－1＝lgx1＋－1x，令x1＋－1x>0，得－1<x<1，故排