含权债券定价方法讲解分析

利率二叉树与无套利定价
• 与考察股票期权的价值时不考虑股价变动的概率 相似，我们在计算上述选择权价值时，并未考虑 利率发生变动的机率。 • 这里给出的解释与股票期权的解释相同，即无论 利率上升的机率是0.1还是0.9，我们组合的成分 均不变。 • 这可能会引发人们的疑问，即各种状况出现的 “机率”扮演的是什么角色？利率上升和下降的 机率实际上已经反映在债券的价格之中了，因而 已经通过这一渠道影响了选择权的价值。
风险中性定价的扩展
• 在上图中，Pu和Pd是表示1.5年期债券在经过了 0.5年之后的价格，它当时是1年期的零息债券， 这两个价格是未知的。我们很自然就想到使用风 险中性概率求取债券的期望值，并将其折算为市 场价格。具体的树状图如下。
风险中性定价的扩展
• 依据风险中性定价的偏好，我们有
• 解之得，q=0.632。
利率二叉树与无套利定价
• 解前述方程式得， • F0.5=-772.0005，F1=789.3705 • 即需要买进面值为789.3705美元的1年期零息债券， 卖空772.0005美元的6个月期零息债券。 • 依据无套利原理，选择权的价格应当为， 0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63 • 而当我们直接将选择权的树状图中的值加权并贴现时， 其价值等于(0.5*0+0.5*1.8922)/(1+0.0399/2) =0.9276，要大于选择权的真实价值。
例: 应用 Black's Model
• 求解 • 第一步: 找到远期价格
P0 960 50 e 0.09(.25) 50 e 0.09 (.75) F e 0.10(.8333) F 939.86
• 计算期权价格的参数为:F = 939.68, K=1000, r=0.1, σ =0.09, T = 10/12=.8333.
例: 应用 Black's Model
ln(939.68 / 1000 ) 0.092 0.8333/ 2 d1 0.09 0.8333
d2 d1 0.09 0.8333
Pc e 0.10.8333 939.68N (d1 ) 1000N (d 2 ) 9.49
• 前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价时， 我们需要将注意力转移到利率的演化上来。 • 假设6个月期和1年期的即期利率分别为3.99%和 4.16%。另外，6个月后6个月的即期利率可能演 变成4%与4.5%，图示如下：
利率二叉树与无套利定价
• 根据即期利率目前所呈现的期限结构与6个 月期利率的树状图，我们可以计算6个月期 与1年期零息债券的价格。面值1000美元的 6个月零息债券，其价格树状图为：
• 给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 年，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和 9个月后得到)? • 已知
– 今天债券价格 $960 (包括应计利息) – 执行价格 $1,000 – 3个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础， 连续利率) – 债券价格的波动率为年9%
含权债券的定价
• • • • Black‟s Model 利率二叉树 期限结构的艺术——利率模型 含权债券的定价
– 利率顶与利率底 – 互换选择权 – 可赎回和可回售债券 – 可转换债券
期权定价模型 ——Black-Scholes model
• Black－Scholes(1973)
c SN(d1 ) KerT N (d2 )
利率二叉树与无套利定价
• 1年期零息债券在“日期1”的期望价格 （expected price）是： 0.5*977.9951+0.5*980.3922=979.1937 • 以当时的6个月期即期利率将上述价格折算 为“日期0”的现值，则期望折现值为： 979.1937/(1+0.0399/2)=960.04 • 这一数值与前面的959.6628并不相同，为 什么？因为上述期望值是有风险的。
Black‟s Model的缺陷
• 尽管Black‟s Model通过假定某个利率，或债券 价格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为 对数正态，从而在某种程度上改进了BlackScholes Model的缺陷，这也使得这一模型能够 被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样 的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。 • 这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描 述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构 性债券产品定价时就不再适用了。 • 因此，我们需要将注意力由债券的价格转移至利 率上来。
风险中性定价的扩展
• 当树状图的阶段增加时，我们需要设计某种方法 来表示节点的位置。一种常用的方法是，以“日 期”表示树状图的“列”，起始点为0，从左忘右 计数。以“状况”来表示树状图的“行”，起始 点为0，由下往上计算。我们很容易构建1.5年期 零息债券的价格树状图，如下。
937.7641=1000/(1+0.0433/2)^3
风险中性定价的扩展
• 此时，1.5年期零息债券价格的树状图变为：
风险中性定价的扩展
• 此时，我们可以使用“日期0”和“日期1”两组风 险中性概率，和利率的树状图为含权债券定价了。 例如，某1年期证券的到期价值有三种可能的结果： 500、100、-10，该证券未来一年的树状图为，
利率期权的风险中性定价
• 具体逻辑如下： • 首先：在一个既定的零息债券价格树状图之下，一种证券根据 套利方式所定的价格并不取决于投资者的风险偏好。既然人人 都同意复制的投资组合的价值，他们也应当会同意期权合约的 价值。 • 其次，设想一个经济体系，它的当时债券价格与6个月期的利 率演变和我们的经济体系相同。在这一经济体中，每个人都具 有中性的风险偏好，且通过组合的现金流得到风险中性概率。 • 再次，在中性风险偏好的经济体内，选择权的定价是将现金流 的期望值折现为现值。 • 最后，由于中性风险偏好的经济体的价格和利率演变与我们的 完全相同，因此，我们的经济体和风险中性经济体内选择权的 价值相等。
风险中性定价的扩展
• 这种树状图一般被称为“非结合性树状图”（nonrecombining tree）。从经济的角度来看，这一设定 非常合理，但是在实务中，这一设定非常难于处理， 甚至无法处理。当我们处理一个二十年期的债券时， 最后一期的节点数将超过5000亿个。因此，我们一 般设定结合性的树状图，我们设定一个1.5年期的树 状图如下。
利率二叉树与无套利定价
• 考虑一个在6个月之后可以以978.50美元的 价格买进面值为1000美元的6个月零息债券 的期权的价值。选择权价值的树状图如下：
利率二叉树与无套利定价
• 无套利原理为我们提供了一套处理上述问题的定 价方法，这一点在上一章中已有所体现。 • 我们在“日期0”使用6个月期和1年期零息债券构 建一个当利率上升到4.5%时价值为0，当利率上 升到4%时价值为1.8922的组合。 • 假定F0.5和F1分别表示6个月和1年期债券的面值， 有
利率期权的风险中性定价
• 在前面，我们利用无套利原理，通过构建投资组合的方法 得到了选择权的价值，但这一方法并不简便，我们可以借 用上一章提出了风险中性定价原理来为利率期权定价，具 体如下：
• 在前面，我们已经说明了，未来的期望值的现值并不等于 该债券的价格，但某一虚拟的机率可以做到这一点。
利率期权的风险中性定价
980.4402=1000/(1+0.0399/2)
利率二叉树与无套利定价
• 面值1000美元的1年期零息债券，其价格树状图 为：
959.6628=1000/(1+0.0416/2)^2
977.9951=1000/(1+0.045/2)^2 959.6628=1000/(1+0.04/2)^2
• 注：在这里，我们按照半年复利进行贴现的。
Black's Model
• 尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形， 即Black’s Model, 也还经常被使用，其条件 是:
– a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。 – b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数 正态分布。
• 例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期 时，就可以利用Black’s Model
含权债券定价的定价策略
• 可回购债券的价值 =不可回购债券价值 Call Option 的价值 • 可回卖债券的价值 =不可回卖债券价值 + Put Option的价值 • 回购债券定价策略: – 利用利率模型给不可回购债券定价 – 利用利率模型给嵌入的call option定价.
利率二叉树（binomial interest rate tree）
利用Black’s Model给欧式期权定价
FN (d1 ) KN (d 2 ) Pp e rT KN (d 2 ) FN (d1 )
Pc e
rT
ln(F / K ) 2T / 2 d1 T
d 2 d1
T
利用Black‘s Model给欧式期权定价
• • • • • • • • T = 期权到期日 F = 到期日为T，价值为V的远期价格 K = 执行价格 r = T期的即期收益率 (连续利率) σ = F的波动率 N = 累积正态分布 Pc = value of call Pp = value of put
例: 应用 Black's ModBaidu Nhomakorabeal
股票定价不能使用套利定价的原因
• 没有任何的组合能够复制未来个股价格的 波动。
风险中性定价的扩展
• 前面的分析都是在两期框架下进行的，从这里开 始，我们开始讨论三期框架下的情形。假定当时 1.5年期的即期利率为4.33%。 • 我们仍然假定6个月期利率只有两种演变可能，即 上行和下行。但是，“上行-下行”与“下行-上 行”并不一定相等，即如下图。
• 如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假 设债券价格未来3年的演变过程，可这一过程异常 的复杂，原因如下： • 债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随 机演变过程不需要这一限制。 • 随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降， B-S公式假定波动率为常数显然不合适。 • B-S公式假定短期利率为常数，而在固定收益证 券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显 矛盾。 • 此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。
例：Black-Scholes 模型的问题
• 给欧式 call option 定价：3年零息债券， 行权价为$110, 面值为$100。 • 结论很明显，应该是0。 • 但在下面假设情况下，r = 10% ，4%的年 价格波动率，用Black-Scholes 模型计算 出来的价格为7.78!
应用传统 Black-Scholes Model 给债券定价的问题
ln( S / K ) ( r 2 / 2)T d1 T
d 2 d1 T
• 其中，c为买入期权的价格，S为标的股票的当前市价，K 为买入期权的执行价，T为距离到期日的时间，r为无风险 利率， 为股价变动的标准差。
B-S公式的比较静态分析
因素 标的证券的价格 执行价格 到期时间 利率波动率 短期利率 利息支付 Call 的价格 上升 下降 上升 上升 上升 下降 Put 的价格 下降 上升 上升 上升 下降 上升
• 假定P为“上行状况”的机率，(1-P)为“下 行状况”的机率，依据下述方程式有，P等 于0.661，并不是我们假定的实际机率0.5。
• 让我们再次考虑选择权价格的树状图，
利率期权的风险中性定价
• 当我们使用上述的“虚拟机率”（风险中性概率）对选择权的 价值求期望并贴现时有，
• 可以看出，这一结果与前面使用复制的投资组合的方法得出的 结论完全一致。 • 这就是上一章已经提及的风险中性定价。作为现代金融学中最 为微妙的概念，我们将风险中性定价在利率期权中的应用步骤 总结如下： • 求取虚拟机率而使根本证券（underlying securities）的价格 等于其未来期望值的现值。然后，根据虚拟机率来计算利率期 权的期望价值的现值。