离散数学 函数的复合与反函数
函数的复合与反函数函数的组合与逆映射
函数的复合与反函数函数的组合与逆映射函数的复合与反函数函数是数学中重要的概念之一，它描述了一种映射关系，将一个元素从一个集合映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的复合与反函数是函数理论中的两个重要概念，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的操作。
设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数为 fog(x) = f(g(x))。
复合函数的作用是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进而实现两个函数的联合作用。
举例来说，设有函数f(x) = 2x和g(x) = x^2，则复合函数fog(x) =f(g(x)) = 2(x^2) = 2x^2。
这样，当我们输入一个值x时，首先将x经过函数g(x)的计算得到x^2，再将x^2作为输入带入函数f(x)中进行计算，最终得到2x^2作为输出。
二、反函数反函数是函数理论中的另一个重要概念，它表示对于给定的函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x。
换句话说，反函数是原函数的逆操作，将输出的结果逆向映射回输入的值。
设有函数f(x) = 2x，要求其反函数g(x)。
我们可以通过求解方程f(g(x)) = x来求得g(x)。
假设g(x) = y，则f(g(x)) = f(y) = 2y。
由于f(g(x)) = x，所以有2y = x，解得y = x/2。
因此，反函数g(x) = x/2。
需要注意的是，并非每个函数都存在反函数。
要求一个函数存在反函数，必须满足函数的在定义域上是一一对应的。
如果一个函数在定义域上是严格递增或严格递减的，那么它一定有反函数。
但是对于非递增或非递减的函数，则需要进一步进行判断。
三、函数的组合与逆映射函数的组合与逆映射是函数复合与反函数的具体应用。
在实际问题中，我们常常需要将多个函数进行组合操作，以实现更复杂的功能。
举个例子，假设有两个函数f(x)和g(x)，分别表示温度从华氏度到摄氏度的转换和从摄氏度到开尔文度的转换。
离散数学-----函数
2019/12/13
11
计算机科学学院 刘芳
8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.
(2) f : Z+→R, f(x)=lnx
单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}.
(3) f : R→Z, f(x)= x
8.1 函数的定义
例3：
设A ＝ {1, 2, 3}, B ＝ {a, b}，则A到B共有多少个不
同的函数？分别列出来。
解：
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} , f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} , f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} ,
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
2019/12/13
7
计算机科学学院 刘芳
8.1 函数的定义
解：
设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, 则集合A到B的函数f形如：
f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} 对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
2019/12/13
19
计算机科学学院 刘芳
8.4 函数的复合和反函数
定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
离散数学-3-7复合关系和逆关系
通过实例说明了复合关系和逆关系在离散数学中的应用，如用于描述图的连通性、判断 关系的传递性等。
对未来研究的展望
• 深入研究复合关系和逆关系的性质：尽管我们已经对复合关系和逆关系有了一 定的了解，但仍有许多性质值得进一步探讨。例如，对于某些特殊类型的关系 （如等价关系、偏序关系等），其复合关系和逆关系可能具有独特的性质。
逆关系在计算机科学中用于反向操作或撤销操作，如撤 销一个已执行的命令或操作。
计算机科学中的许多概念和技术，如函数复合、逆函数 、算法设计等，都与复合关系和逆关系密切相关。
在其他领域的应用
在物理学中，复合关系和逆关系用于描述物理现象之 间的相互作用和转化，如力学中的合成与分解、热力
学中的可逆过程等。
复合关系与逆关系的联系与区别
联系
复合关系和逆关系都是二元关系的基本 运算，它们可以相互转化和组合，形成 更复杂的关系。
VS
区别
复合关系是两个关系的“串联”，而逆关 系是一个关系的“反向”；复合关系的结 果仍是一个二元关系，而逆关系的结果是 一个与原关系方向相反的关系。
04
复合关系与逆关系的应用
Chapter
02
逆关系概述
Chapter
定义与性质
01
02
定义：设 $R$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个 关系，则 $R$ 的逆关系 $R^{-1}$ 是从集合 $B$ 到集合 $A$ 的一个关系 ，且 $R^{-1} = {(b, a) | (a, b) in R}$。
性质
03
04
05
逆关系的逆关系是原关 系，即 $(R^{-1})^{-1} = R$。
在逻辑推理中的应用
离散数学ch8[2]函数的复合与反函数
![离散数学ch8[2]函数的复合与反函数](https://img.taocdn.com/s3/m/159605bfc77da26925c5b057.png)
第二部分 集合论 函数的复合与反函数
2021/4/5
1
8-2 复合函数和逆函数
一.复合函数 二.逆函数
三.单侧逆函数
2021/4/5
2
复合函数:定义
复合函数(合成函数)
设f：XY, g: YZ是两个函数， 则 gºf={<x,z>y(yY∧y=f(x)∧z=g(y))
称为g和f的复合函数，或合成函数
b)当f-1的自变元是Y的子集Y’时，f-1（Y’）表示Y’ 在f-1下的逆像。
2021/4/5
18
逆函数:逆像f-1（Y’）
例 考虑f是否有逆函数:
a
0
b
1
2 c
则f没有逆函数， 但f-1{{0}} ={b,c}, f-1{{1}} ={a}
3
f-1{{3,4}}=
d
4
2021/4/5
19
单侧逆函数
Ⅱ）xX,gºf(x)=g(f(x))=g(y)=x, ∴gºf=Ix。
2021/4/5
22
单侧逆函数:存在的充要条件
集合X 集合X
2021/4/5
集合Y 集合Y
单射f(x)
g(y)
23
单侧逆函数:存在的充要条件
b) f有右逆元当且仅当f是满射。
充分性：设g是f的右逆元， 则fºg=Iy,
∵ Iy是满射，∴由复合函数定理知，f是满射的。 必要性：用构造性证明）定义g如下：
单侧逆函数
设f: X→Y,g:Y→X, 如果gºf=Ix,则称 g是f的左逆元（左逆函数），
f是g的右逆元（右逆函数）。
2021/4/5
20
单侧逆函数:存在的充要条件
函数的复合与反函数的求解
函数的复合与反函数的求解函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种输入和输出值之间的映射关系。
而函数的复合和反函数是函数理论中的两个重要概念，本文将着重探讨函数的复合与反函数的求解方法。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，以此实现两个函数的有机组合。
设有函数f(x)和g(x)，要得到它们的复合函数，可以记作(g o f)(x)，读作g合成f的x。
其计算方法为先计算f(x)，再将结果作为g(x)的输入。
例如，设有函数f(x) = 2x和g(x) = x + 1，要求函数(g o f)(x)。
首先计算f(x) = 2x，然后将2x作为g(x)的输入，即g(2x) = 2x + 1。
因此，函数(g o f)(x) = 2x + 1。
对于复合函数的定义域和值域，由于复合函数中的内层函数输出要符合外层函数的定义域要求，因此必须满足内层函数的值域是外层函数的定义域。
二、反函数的求解反函数是指满足两个函数互为函数的映射关系的特殊情况。
设有函数f(x)和g(x)，若定义域为A，值域为B，满足f(g(x)) = x，g(f(x)) = x且定义域为B，值域为A，则称g(x)是f(x)的反函数。
求解一个函数的反函数通常有以下几个步骤：1. 将函数y = f(x)转换为x = f^(-1)(y)；2. 解出变量y；3. 将y替换为x，得到反函数f^(-1)(x)。
以函数y = 2x + 3为例，如何求解其反函数呢？首先，将函数y = 2x + 3转换为x = (y - 3) / 2；然后，解出变量y，即y = 2x + 3；最后，将y替换为x，得到反函数f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。
需要注意的是，并非所有函数都存在反函数。
若一个函数不是一一对应的，即存在两个不同的自变量对应同一个函数值，那么该函数就不存在反函数。
三、函数复合与反函数的关系函数的复合和反函数有着一定的关系。
函数的复合和反函数
函数的复合和反函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的操作。
反函数是指一个函数的输入和输出调换位置后的关系。
函数的复合和反函数在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的复合和反函数的概念、性质以及应用。
一、函数的复合函数的复合是将两个函数结合在一起，使用一个函数的输出作为另一个函数的输入。
设有函数f(x)和g(x)，复合函数定义为f(g(x))。
在复合函数中，g函数的输出作为f函数的输入。
复合函数的求解可以通过以下步骤进行：1. 将g(x)的表达式代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。
2. 将f(g(x))的表达式进行化简。
例如，设有函数f(x) = 2x，g(x) = x + 1，求解f(g(x))的表达式：将g(x)的表达式代入f(x)中，得到f(g(x)) = 2(x + 1) = 2x + 2。
复合函数在实际问题中有多种应用，其中一种常见的应用是函数的嵌套。
例如，设有函数f(x) = 2x，g(x) = x + 1，h(x) = x^2，求解f(g(h(x)))的表达式：首先，计算h(x) = x^2；然后，计算g(h(x)) = (x^2) + 1；最后，计算f(g(h(x))) = 2((x^2) + 1) = 2x^2 + 2。
函数的复合可以简化问题的求解过程，将多个函数的计算通过复合化简为一个函数的计算。
二、反函数反函数是指一个函数的输入和输出调换位置后的关系。
设有函数f(x)，如果存在函数g(x)，使得g(f(x)) = x，且f(g(x)) = x，那么g(x)即为f(x)的反函数。
反函数的求解可以通过以下步骤进行：1. 将f(x) = y，解出x关于y的表达式。
2. 交换x和y的位置，得到反函数的表达式g(x) = x关于y的表达式。
例如，设有函数f(x) = 2x，求解其反函数g(x)：首先，将f(x) = y，解出x关于y的表达式为x = y/2；然后，交换x和y的位置，得到反函数的表达式g(x) = x/2。
函数的复合与反函数的计算
函数的复合与反函数的计算在数学中，函数的复合和反函数是重要的概念。
函数的复合是将两个函数组合在一起形成一个新的函数，而反函数则是原函数的逆运算。
本文将详细介绍函数的复合和反函数的计算方法。
一、函数的复合函数的复合是指将两个函数相互组合形成一个新函数。
设有函数f(x) 和 g(x)，那么它们的复合函数可以表示为 f(g(x))。
具体来说，对于给定的输入 x，先将 x 输入到函数 g(x) 中，然后再将 g(x) 的输出作为f(x) 的输入。
例如，我们有两个函数 f(x) = 2x + 3 和 g(x) = x^2，要计算这两个函数的复合函数 f(g(x))，先将 x 输入到 g(x) 中得到 g(x) = x^2，再将 g(x)的结果输入到 f(x) 中，即 f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 3 = 2x^2 + 3。
二、反函数的计算反函数是指给定一个函数 f(x)，找到一个函数 g(x)，使得 f(g(x)) = x，并且 g(f(x)) = x。
换句话说，反函数是原函数的逆运算。
要计算函数的反函数，需要进行如下步骤：1. 设原函数为 f(x)。
2. 将 f(x) 表示为 y = f(x)。
3. 交换自变量和因变量，即将 y = f(x) 改写为 x = f^(-1)(y)。
4. 解上述方程得到 f^(-1)(y)。
5. 将 f^(-1)(y) 表示为反函数 f^(-1)(x)。
需要注意的是，并非所有函数都存在反函数。
函数存在反函数的条件是函数是一一对应的。
举例说明，假设有函数 f(x) = 2x + 3，要计算它的反函数 f^(-1)(x)。
首先将 f(x) 表示为 y = 2x + 3，然后将 x 和 y 互换位置得到 x = 2y + 3，解方程可以得到 y = (x - 3) / 2，因此反函数为 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。
三、函数复合和反函数的关系函数的复合和反函数有着紧密的联系。
函数的复合与反函数
函数的复合与反函数函数是数学中非常重要的概念之一。
在数学中，复合和反函数是函数间相互关系的两个重要性质。
本文将详细介绍函数的复合与反函数，并通过例子进行解释。
一、函数的复合函数的复合是指将两个函数联合运算，将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
常用的表示方法是将两个函数用括号括起来，例如f(g(x))表示函数f和g的复合。
我们来看一个例子来说明函数复合的概念。
假设有函数f(x) = 2x和g(x) = x^2，我们需要求出函数f(g(x))。
首先，我们将函数g(x)代入函数f(x)中，得到f(g(x)) = 2(g(x)) =2(x^2) = 2x^2。
通过这个例子，我们可以看到函数复合的运算过程。
将一个函数的输出作为另一个函数的输入，可以得到新的函数。
二、反函数每一个函数都有一个反函数，反函数是指将函数的输入和输出对调得到的新函数，记作f^{-1}(x)。
通过反函数，我们可以找到原函数的输入，当输入为x时，反函数返回原函数的输出。
要求出函数的反函数，需要满足以下两个条件：1. 函数的域和值域是互换的。
2. 函数的输入和输出是一一对应的。
下面我们来看一个例子，假设有函数f(x) = 2x，我们需要求出它的反函数。
首先，我们将y = 2x转换成x = 2y。
然后，将x和y对调得到y = x/2。
因此，反函数为f^{-1}(x) = x/2。
通过反函数，我们可以看到当输入为x时，反函数返回原函数的输出。
这样就可以实现从输出到输入的逆运算。
三、函数复合与反函数的关系函数的复合和反函数是一对互逆运算。
如果有两个函数f和g，它们互为反函数，那么它们的复合为：f(g(x)) = xg(f(x)) = x例如，假设有函数f(x) = 2x和g(x) = x/2，我们来验证它们是否为互为反函数。
首先，计算f(g(x)) = f(x/2) = 2(x/2) = x，验证了f(g(x)) = x。
然后，计算g(f(x)) = g(2x) = (2x)/2 = x，验证了g(f(x)) = x。
函数的复合与反函数
函数的复合与反函数函数是数学中一种重要的概念，简单来说，函数就是将一个元素从一个集合映射到另一个集合的规则。
函数的复合和反函数是函数概念的两个重要方面。
本文将详细介绍函数的复合和反函数，并探讨它们在数学和实际生活中的应用。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数作为另一个函数的输入，通过连续应用两个或多个函数来获得一个新的函数。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数为g(f(x))，表示先将x应用于f(x)，再将f(x)的结果应用于g(x)。
在复合函数中，函数f(x)被称为内函数，而函数g(x)被称为外函数。
函数的复合可以帮助我们更简洁地描述一系列操作。
比如，在几何学中，两个坐标变换可以通过函数的复合来表示。
以平移和旋转为例，假设有点(x, y)需要先进行平移变换再进行旋转变换，可以用复合函数来描述这个过程。
二、反函数的概念反函数是函数的一种特殊性质，它的作用是将一个函数的输出值作为输入，从而得到原始函数的输入值。
设函数f(x)是从集合A到集合B 的映射，如果对于每个b∈B，都存在唯一的a∈A，使得f(a)=b，那么f的反函数就存在，并记为f^(-1)(x)。
需要注意的是，并非所有函数都存在反函数。
反函数在实际生活中有广泛应用。
例如，当我们使用计算器求解方程时，会用到反函数。
假设我们需要求解方程f(x)=c，可以将c作为输入，通过反函数f^(-1)(x)计算得到x的值。
三、函数的复合与反函数的关系函数的复合和反函数是紧密关联的。
设有函数f(x)和g(x)，如果f 和g是互逆函数，则可以得到以下结论：1. 函数的复合：g(f(x))=x，即函数f(x)和g(x)的复合等于自身的输入x。
2. 反函数的复合：f(g(x))=x，即函数f(x)和g(x)的反函数复合等于自身的输入x。
从上述结论可以看出，函数的复合和反函数可以互相抵消。
这种性质在解决实际问题时很有用。
例如，当我们需要验证两个变换是否可逆时，可以通过验证它们的复合是否等于恒等变换来判断。
函数的复合与反函数
函数的复合与反函数函数在数学领域中扮演着重要的角色，它们是描述数学规律和关系的工具。
在函数的研究中，复合函数和反函数是两个重要的概念。
它们分别表示了函数的组合和逆运算，本文将对函数的复合与反函数进行深入的讨论和解释。
一、函数的复合1.1 定义对于两个函数f(x)和g(x)，它们的复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)的输出作为f(x)的输入。
也就是说，先对输入进行g(x)的运算，再将结果作为f(x)的输入进行运算。
函数的复合可以看作是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，实现了函数的链式操作。
1.2 示例举个例子来说明函数的复合。
假设有函数f(x)=2x和g(x)=x+1，我们将g(x)的输出作为f(x)的输入进行运算，得到f(g(x))=2(x+1)=2x+2。
这样，我们就得到了一个新的函数f(g(x))。
1.3 性质函数的复合具有以下性质：1) 不满足交换律，即f(g(x))不一定等于g(f(x))。
2) 满足结合律，即f(g(h(x)))=f(g(h(x))。
3) 可以进行多次复合，如f(g(h(x)))=f(g(h(x)))=...=f(g(h(x)))。
二、函数的反函数2.1 定义对于函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x和g(f(x))=x成立，那么我们称g(x)为f(x)的反函数。
函数的反函数可以看作是将原函数的输入和输出对调得到的新函数。
2.2 示例以函数f(x)=2x为例，我们求它的反函数。
首先，设反函数为g(x)，即g(f(x))=x。
由于f(x)=2x，我们可以将g(f(x))转化为g(2x)，那么g(2x)=x。
进一步化简，得到g(x)=x/2。
因此，g(x)就是f(x)=2x的反函数。
2.3 性质函数的反函数具有以下性质：1) 函数与其反函数互为反函数，即f(g(x))=g(f(x))=x。
2) 反函数是一一对应的，即每个x对应唯一的y，且每个y对应唯一的x。
离散数学 4.2复合函数与逆函数
b).再先证象唯一性 假定gf中包含序偶<x,z1>和<x,z2>且x1≠x2 ，这样在 Y中必存在y1和y2 ，使得在f中有<x,y1>和<x,y2>,在g中有 <y1, z1 >和< y2, z2 > 。因为f为函数，故y1=y2 。于是g中 有<y,z1>和<y,z2>, 但g为函数，故z1=z2 。即每个x只能对
定义4-1.4 从X到Y的映射中，X中没有两个元素有相同的 象，则称这个映射为入射（或一对一映射）。 设f：X→Y，如果对任意x1，x2X , x1x2 蕴涵 f(x1) f(x2)。 则称 f 为X到Y的单射函数(injection)， 单射函数也称一对 一的函数或入射函数。 Y中元素 若有原象 则原象唯一
定义4-2.3 函数f:X→Y叫做常函数,如果存 在某个 y0Y,对于每个xX都有f(x)=y0 ,即 f(X)={y0} 。
定义4-2.4
，如果 Ix={ <x,x> | xX}
则称函数Ix:X→Y为恒等函数。
定理4-2.4 设f：X→ห้องสมุดไป่ตู้，则f=f
Ix = I y
f
这个定理的证明可以由定义直接得到。 定理4-2.5 如果函数f:X→Y，有逆函数f-1:Y→X,则 f-1 f = Ix 且f f-1 = Iy 证明： a). f-1 f 与Ix的定义域都是X。 b).因为f是一一对应的函数，故f-1也是一一对应的函 数。 若f: x→f(x)则 f-1(f(x)) =x,由a).和b).得f-1 f=Ix。故xX (f-1f)(x)=f-1(f(x)) =x。定理证毕。 例题3见P-155页
离散数学课件08函数
显然， dom F≠dom G，所以两个函数不相等。
精选课件ppt
5
从A到B的函数
定义8.3 设A,B为集合，如果 f 为函数，dom f＝A，ran fB， 则称 f 为从A到B的函数，记作 f：A→B。
特别地，当A1＝A时，称 f(A)为函数的像。 （2）令f 1(B1)＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f 1(B1)为B1在 f 下的完
全原像(preimage) 。
注意区别函数的值和像两个不同的概念。 说明 函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1)B。
精选课件ppt
8
讨论
设 B1B，显然B1在 f 下的原像 f-1(B1)是A的子集。 设 A1A，那么 f(A1)B。
（5）f
有极小值f(1)=2。
该函数既不是单射的，也不是满射的。 精选课件ppt
13
例8.5
例8.5 对于以下各题给定的A,B和 f，判断是否构成函数 f:A→B。如果是，说明 f:A→B是否为单射、满射和双射的， 并根据要求进行计算。
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}
f(A1)的完全原像就是 f-1(f(A1))。 一般来说， f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))。 例如函数 f:{1,2,3}→{0,1}，满足
f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1
令A1＝{1}，那么 f-1(f(A1))＝ f-1(f({1}))＝ f-1({0})＝{1,2}
离散数学ch8[2]函数的复合与反函数
2021/4/5
13
逆函数:引 理
引理：设f:X→Y是双射，则f的逆关系~f是一双射函数。
证明：设f={<x,y>xX∧yY∧y=f(x)} ~ f={<y,x><x,y>f}
Ⅱ）证明~f是满射。
xX,y有<x,y>f,
即<y,x>
~ f
∴~f是满射。
2021/4/5
14
逆函数:引 理
引理：设f:X→Y是双射，则f的逆关系~f是一双射函数。
记为z=gºf(x) 或者z=g(f(x))
2021/4/5
3
复合函数:复合函数是函数
复合函数是一个函数
证明： ∵f是一个函数， ∴ xX,存在唯一的yY,有y=f(x), 又∵g是一个函数， ∴对y,存在唯一的zZ,有z=g(y),
∴xX, 存在唯一的zZ, 有z=g（f(x)）=gºf(x)。
f-1ºg-1º(gºf)= f-1ºIyºf= f-1ºf=Ix,
∴(gºf) –1= f-1ºg-1
2021/4/5
17
逆函数:逆像f-1（Y’）
逆像
设函数f: X→Y,且Y’Y, f-1（Y’）={xf(x)Y’} 叫作Y’在f下的逆像。 注： f-1有两种用途： a)当f-1的自变元是Y的元素时，f-1用来表示双射 函数f的逆函数。
3
3
p3={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
2021/4/5
31
置换:定义
置换
例: 设集合X={1,2,3}，Px是所有从X到X的置换函数集合。 写出所有Px中的置换函数。
解: 得到置换函数
离散数学 3-7 复合关系和逆关系3-8 关系的闭包
(x)(y)(xXyX<x,y>R<y,x>Rx=y)
例如，平面上三角形的相似关系是对称的。 例： R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} R2={<1，1>，<3，3>}
R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>} R4={<2，2>，<2，3>，<3，1>} 注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。
R在X上反自反(x)(xX<x，x>R)
例如，在实数集合中，””是自反的，因为对于任意实 数xx成立。 平面上三角形的全等关系是自反的。 例：X={a，b，c}， R1={<a，a>，<b，b>，<c，c>，<a，b>，<c，a>} R2={<a，b>，<b，c>，<c，a>} R3={<a，a>，<b，c>} 注意：R不是自反的，未必一定是反自反的。一个关系可 能既不是自反的，也不是反自反的。
间至多有一条弧。
三、传递性
1、定义：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意 x，y，zX，每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，
z>R，则称R是传递的。 R在X上传递 (x)(y)(z)(xXyXzX<x,y>R<y,z>R <x,z>R) 例： R1={<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递的，
二、对称性和反对称性
1、对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于 每一个x，yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R， 则称R是对称的。 R在X上对称
函数的复合与反函数
函数的复合与反函数函数的复合与反函数是数学中常见的概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将对函数的复合与反函数进行详细讨论和解释。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
数学上通常用符号“∘”表示函数的复合操作。
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数为f(g(x))。
具体而言，首先使用函数g(x)对自变量x进行映射，得到一个新的值，然后将该值作为自变量输入函数f(x)，最终得到复合函数的结果。
函数的复合可以简化计算过程，使复杂的函数关系转化为简单的形式。
例如，假设有两个函数f(x) = 2x+1和g(x) = x^2，要求计算复合函数f(g(x))的值。
首先计算g(x) = x^2，然后将其结果代入f(x)中，即f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 = 2(x^2) + 1。
通过函数的复合，我们将两个函数合并为一个函数，方便了进一步的计算和分析。
二、反函数反函数是指将一个函数的输入和输出互换，得到一个新的函数。
如果函数f有反函数，则表示为f^(-1)(x)。
反函数的作用是使得原函数的输出成为新函数的输入，且新函数的输出成为原函数的输入。
为了定义反函数，原函数f必须是一一对应的。
一一对应的意思是对于不同的输入，函数f产生不同的输出，即不会出现两个不同的输入对应到同一个输出的情况。
通过反函数，我们可以通过已知函数的输出来计算其输入。
例如，假设函数f(x) = 2x+3，要求求解反函数f^(-1)(x)。
首先将函数f(x)转换为等式x = 2f^(-1)(x) + 3，在解这个等式得到f^(-1)(x) = (x-3)/2。
通过反函数，我们可以根据已知的输出值，计算出对应的输入值。
三、函数复合与反函数的关系函数的复合和反函数之间存在一定的关系。
假设函数f和g互为反函数，则对于任意的x，有f(g(x)) = x和g(f(x)) = x。
也就是说，将一个函数和它的反函数进行复合，得到的结果是输入值本身。
复合函数与反函数
ex ex
ex ex
,
双曲余割 cschx 1 .
s hx
G={x| xA , (x)B}≠
xG，按照对应关系 ,对应唯一一个yB ,再按照对
应关系f 对应唯一一个zR. 这样，对 xG，都有唯
一的 z 与之对应。
x
f y= ( x )
z=f(y)= f[ ( x )]
于是在G上定义了一个函数h，表为f ，称为函数y = ( x )与z = f ( y ) 的复合函数。即：
0, x为无理数
y[x]
都不是初等函数
x, x0 yx, x0
x2
都是初等函数
1
y xx
1 lnx
ex
双曲函数
双曲正弦
ex ex
shx
,
2
双曲余弦 chxexex ,
2
双曲正切
thx shx , chx
ex ex
ex ex
,
双曲切
cthx chx, shx
fg≠gf
（2）对任意函数 f、g、h，有
（f g）h = f（g h）
例1.函数 ysinlnx(21)是由哪些函数复合而成的？ 解： ysinu u v vlnw wx21
** 以上过程称为对复合函数的分解
例2.已知: f(x)x3, g(x)x1,求: f(g(x)， )g(f(x)， )
f(f(x)， )g(g(x))
（5） 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x
（6） 反三角函数 y = arcsin x y = arccos y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x
离散数学W16L2C4-4.7函数的复合与反函数
定义 设 F 为二元关系, 若 x∈domF 都存在 唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的值.
例1 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>}
10
函数复合的定理
定理4.6 设F, G是函数, 则F∘G也是函数, 且满足 (1) dom(F∘G)={ x | x∈domG G(x)∈domF} (2) x∈dom(F∘G) 有 F∘G(x) = F(G(x))
证 因为F和G是关系, 所以, FG也是关系.
若xdom(FG ), 且x(FG)y1和x(FG)y2, 则
t (<x,t>∈H∧s(<t,s>∈G∧<s, y>∈F)) t s (<x,t>∈H∧ <t,s>∈G∧<s, y>∈F) s (t (<x,t>∈H∧ <t,s> ∈ G)∧<s, y>∈F) s (<x,s>∈G∘H∧<s,y>∈F) <x,y>∈F∘(G∘H) 所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)
4.3 关系的运算
定义4.9 设R为二元关系, A是集合 (1) R在A上的限制(Under), 记作R|A, 其中
R|A = { <x, y> | <x, y>R, xA } (2) A在R下的像(Image), 记作R[A], 其中
R[A] = ran(R|A)
R
不难看出: R在A上的限
复合关系和逆关系集合与关系离散数学PPT精品文档
A IA
R A
B
1。 1。
。a
2。 2。 。b
3。
3。
。c
。d
从这两个图看出它们的复合都等于R。
第17页
二、关系的乘幂
令R是A上关系，由于复合运算可结合，所以关系的 复合可以写成乘幂形式。即
R ◦ R=R2， R2 ◦ R=R ◦ R2 =R3，…
Rn+1＝Rn ◦ R
R0＝{<x,x>|x∈A}＝IA
RS=k∨inj==(1Ri1(∧RiSk∧1j)S∨kj()Ri2∧(1S≤2ij≤)∨m,...1∨≤(jR≤ti)n∧Snj)
第8页
（3）矩阵法（续）
R ={<1,b>,<2,c>,<2,d>,<3,a>} S={<a,y>,<b,x>,<b,z>,<c,s>,<d,y>,<d,t>}
0100 0011 1000
复合关系和逆关系
第1页
本节讲述关系的运算 二元关系是以序偶为元素的集合，除了可进行集
合并、交、补等运算外，还可以进行一些新的运 算。 知识点： 复合运算： 定义 计算方法 证明 逆运算 定义 计算方法 证明
第2页
关系的定义域与值域
定义域(domain) ：关系R中所有序偶<x,y>的第一元素 x组成的集合，称为R的定义域，记作dom R， 即 dom R={x|(y)(<x,y>R)}
S={<x,y>| y=2x+3}
R x
x2+3x
S 2(x2+3x)+3 = 2x2+6x+3
复合函数与反函数的运算法则
优化算法：反函数在优化算法中也有着 重要的应用，例如在求解最优化问题时， 可以利用反函数来提高算法的效率。
数学分析：反函数在数学分析中也有着重 要的应用，例如在研究函数的性质、极限 和连续性等方面。
复合函数与反函数的关系
复合函数与反函数的关系式
复合函数：由两个或多个函数通过复合运算得到的函数 反函数：将原函数的自变量和因变量互换得到的函数 复合函数与反函数的关系式：f(g(x))=f^(-1)(g^(-1)(x))
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
反函数的图像变换可以通过代数表 达式和几何图形两种方式进行。
反函数的图像变换需要注意一些特 殊情况，例如当原函数存在多个解 时，反函数可能不存在。
反函数的实际应用
简化复杂函数：通过反函数，可以将复杂 的函数表达式转化为更简单的形式，便于 分析。
解决实际问题：反函数在解决实际问题中 有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、 经济学等领域。
复合函数极值的实际应用：在科学、工程、经济等领域中都有广泛应用， 如优化问题、控制系统等。
反函数的运算法则
反函数的定义与性质
• 反函数的定义：如果函数 y = f(x) 的值域与其定义域之间存在一一对应的关系， 则函数 y = f(x) 的反函数定义为 x = f^(-1)(y)。
• 反函数的性质： - 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定 义域。 - 反函数与其原函数具有相同的图像，但坐标轴互换。 - 如果原函数是单 调的，则其反函数也是单调的，且单调性相反。 - 反函数满足交换律，即 f(f^(1)(x)) = x 和 f^(-1)(f(x)) = x。
复合函数与反函数的运算法则
汇报人：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 函数的复合
– 函数复合的定理 – 函数复合的性质
• 反函数
– 反函数存在的条件 – 反函数的性质
由于函数是一种特殊的二元关系，两个函数的复合本质上 就是两个关系的合成，因此函数的合成方法与关系的合成
方法是一致的。 例如: 已知 f 是A到B的函数，g 是B到C的函数，它们所确定的对应关系如图所
f={<x,1>, <y,1>, <z,4> g={<1,b>, <2,b>, <3,b>, <
如果将函数f 看作是A到B的二元关系，g看作是B到C的二元 关系，合成后的关系记为R，它是A到C的二元关系， 记为R=f ∘g，且R={(x,b),(y,b),(z,a)}.
一、复合函数的定义
设f 是A到B的函数，g是B到C的函数，f 和 g合成后的函数 称为复合函数，记为g ∘ f 。它是A到C的函数。
使得 f(a)=b. 由合成定理有 g ∘ f (a)=g(f(a))=g(b)=c 从而证明了 f ∘g：A→C是满射的.
二、函数的逆（反函数）
对于二元关系R，只要交换所有的有序对，就能
R~ 得到逆关系 ；
~
但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到
f
却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系
解：f g : R R
gf :RR
x2 2 x 3
g f (x)
0
x3
(x 2)2 f g(x)
2
f：R→R不是双射的, 不存在反函数. g：R→R是双射的,
它的反函数是 g1：R→R, g1(x) = x2
x 1 x 1
思考：
设a1,a2,…,an是任意的n个正整数， 证明存在i和k (i0,k1)，使得 ai+1+ ai+2+……+ ai+k
g ∘ f ：A→C也是单射的函数. (2) 如果 f 和 g都是满射函数, 则
g ∘ f ：A→C也是满射的函数. (3) 如果 f 和 g都是双射函数, 则
g ∘ f ：A→C也是双射的函数.
证 (1) c ∈C, 由 g：B→C 的满射性, b ∈B 使得 g(b)=c. 对这个b, 由 f：A→B 的满射性，a ∈A
能被n整除。
三、鸽洞原理
如果某人营造了n个鸽洞，养了多于n只鸽子， 则必有一个鸽洞有2只或 2只以上的鸽子， 这就是鸽洞原理。
用数学语言来描述这个原理，即： A，B是有限集合，f 是A到B的函数， 如果︱A︱﹥︱B︱，则A中至少有两个元素， 其函数值相等。
f
却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系
~
才是函数。
f
反函数的定义及性质
反函数的定义： 对于双射函数f：A→B, 称 f 1：B→A是
它的反函数.
定理 设 f：A→B是双射的, 则f 1：B→A也是双射的. 反函数的性质：
定理: 设 f：A→B是双射的, 则 f 1∘f = IA, f ∘f 1 = IB
律但不满足交换律。于是有：
推论2 设F, G, H为函数, 则 (F∘G)∘H 和 F∘(G∘H) 都是函数, 且 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)
推论3 设F, G为函数, 则 F∘G和 G∘F 都是函数, 且 F∘G≠G∘F
函数复合运算的性质
定理 设 f：A→B, g：B→C. (1) 如果 f 和 g都是单射函数, 则
对于双射函数 f：A→A, 有 f 1∘f = f ∘f 1 = IA
函数复合与反函数的计算
例：设R是实数集，且f,g,h是R到R的函数其中 f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,
求 f ∘ g, g ∘ f， (f ∘g)∘h 和 f ∘(g∘h).
解： f ∘ g(x)=f(1+x2)=2+x2 g ∘f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2
解：由定义可知复合函数g ∘ f是A到C的函数。且 g ∘f(x)= g (f(x))= g (b)=2.
g ∘f(y)= g (f(y))= g (c)=1.
g ∘f(z)= g (f(z))= g (c)=1.
由于函数是一种特殊的二元关系，而二元关系的 合成可以看作是一种运算，且这种运算满足结合
(f ∘g)∘h(x)=(f ∘g)∘ (1+x3)=2+ (1+x3)2 f ∘(g∘h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2
思考： 设 f ：R→R, g ：R→R
x2 x 3
f (x)
g(x) x 2
求
f
g,
g
2
f. 如果
f
x
和
3
g 存在反函数,
求出它们的反函数.
~
才是函数。
f
二、反函数(函数的逆)
对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序，就能得
R~
其逆关系 ；
但对于函数 f , 交换f 的所有有序对得到的逆关系f 1是二元关系却不一定是函数。 如：F={<a,b>,<c,b>}， F 1={<b,a>,<b,c>}
反函数存在的条件
~
但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到
示。
f={<1,1>, <2,1>, < g={<1,2>, <2,2>, <3,2>
由图可知 f 和g合成后的函数称为复合函数， 记为g ∘ f。且g∘f ={<1,2>, <2,2>, <3,1>}。
由于函数是一种特殊的二元关系同，两个函数的复合本质上就是两个关 系的合成。
例如设f 是A到B的函数，g是B到C的函数，它对所确定 的对应关系如图所示：
(2) x∈dom(F∘G) 有 F∘G(x) = F(G(x))
推论1 设 f：A→B, g：B→C, 则 f ∘g：A→C, 且
x∈A 都有 f ∘g(x) = f(g(x)).
例：设集合A={x,y,z} ,B={a,b,c,d}, C={1,2,3} f 是A到B的函数，g 是B到C的函数，其中 f(x)=b, f(y)=c, f(z)=c g(a)=1, g(b)=2, g(c)=1, g(d)=3 求复合函数g ∘ f。
当a ∈A, b ∈B, c ∈C，且f(a)=b,f(b)=c 时，g∘ f(a)=c. 注意：当 f 和g 看作是二元关系时，合成后的关系记为f ∘ g， 但当f 和g 看作是函数时f 和 g合成后的函数称为复合函数，
记为g ∘ f 。
定理 设F, G是函数, 则F∘G也是函数, 且满足 (1) dom(F∘G)={ x | x∈domF F(x)∈domG}