人教版九年级下册数学第二十七章测试卷

人教版九年级下册数学第二十七章测试卷
[时间：120分钟 满分：120分]
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1．如图1，将图形用放大镜放大，应该属于( )
图1
A ．平移变换
B ．对称变换
C ．旋转变换
D ．相似变换
2．如图2，a ∥b ∥c ，BC ＝1，DE ＝4.5，EF ＝1.5，则AB 为( )
图2
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2
3，AD 和A ′D ′分别是两个三角形的中线，则下列式子错误的是( )
A.AB A ′B ′＝23
B.∠A ∠A ′＝23
C.S △ABC S △A ′B ′C ′＝49
D.AD A ′D ′＝23
4．如图3，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC ∽△ADE 的是( )
图3
A ．∠
B ＝∠D
B ．∠
C ＝∠AED
C.AB AD ＝DE BC
D.AB AD ＝AC AE
5．把边长分别为1和2的两个正方形按如图4所示的方式放置，则图中阴影部分的面积为( )
图4
A.16
B.13
C.15
D.14
6．如图5所示，在△ABC 中，点D 在AC 边上，AD ∶DC ＝1∶2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，则BE ∶EC 等于( )
图5
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．2∶3
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7．已知线段a ，b ，且a 3＝b
4，则a ＋b b
的值为________．
8．两个相似三角形的面积比是9∶16，其中较小三角形的周长为36 cm ，则较大三角形的周长为________． 9．如图6，在▱ABCD 中，点E 在边DC 上，△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为9∶16，则EC ∶AB ＝________．
图6
10．如图7，一束光线从点A (4，4)出发，经y 轴上的点C 反射后，经过点B (1，0)，则点C 的坐标是________．
图7
11．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图8，一座正方形城池，A 为北门中点，从点A 往正北方向走30步到B 处有一树木，C 为西门中点，从点C 往正西方向走750步到D 处正好看到B 处的树木，则正方形城池的边长为________步．
图8
12．在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝11，DC ＝6.点P 在BC 上，连接AP ，DP .若△ABP 与△PCD 相似，则BP 的长是________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)若三个不为0的数a ，b ，c 满足a ＋b c ＝a ＋c b ＝b ＋c
a ＝k ，求k 的值；
(2)如图9，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F.求证：△ADF∽△EBA.
图9
14．如图10，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AD＝4，AB＝9求AC的长．
图10
15．如图11，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上的一点，且BP＝1，D为AC上的一点，若∠APD＝60°，求CD的长．
图11
16．如图12，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(－3，3)，C(－2，1)．
(1)以点A为位似中心，在格点内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2∶1；
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，并计算点B在运动过程中的路径长度．
图12
17．图13①②均为4×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上．按要求在图①②中各画一个三角形．要求：所画的三角形与△ABC相似，且所画三角形的顶点在格点上，与△ABC有公共点B，且与△ABC的相似比不为1.
图13
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图14，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M，连接CM交DB 于点N.
(1)求证：BD2＝AD·CD；
(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
图14
19．如图15，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠B＝2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P ＝∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE，PE.
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)若AF＝2，AE＝EF＝10，求OA的长．
图15
20．如图16，反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象过点A (－1，6)．
(1)k 的值为________；
(2)过点A 的直线与反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象交于另外一点B ，与x 轴交于点C ，若AB ＝2BC ，求点C
的坐标．
图16
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．图17①是一张直角三角形纸片，∠B ＝90°，AB ＝12，BC ＝8，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大．
(1)请通过计算说明小明的猜想是否正确；
(2)如图②，在△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高AD ＝10，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，求矩形PQMN 面积的最大值．
图17
22．如图18(a)，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角度为α.
(1)问题发现
①当α＝0°时，AE
BD＝________；②当α＝180°时，AE
BD＝________．(2)拓展探究
判断当0°≤α＜360°时，AE
BD的大小有无变化？请就图(b)的情况给出证明．
(3)问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
图18
六、解答题(本大题共12分)
23．如图19，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA 的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH.
(1)填空：∠AHC________∠ACG(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)线段AC，AG，AH有什么关系？说明理由．
(3)设AE＝m.
①△AGH的面积S有变化吗？如果有变化，请求出S与m之间的函数解析式；如果没有变化，请求出定值S.
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
图19
参考答案
1．D 2．B 3．B 4．C
5．A [解析] ∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，∴AD ＝DC ＝1，CE ＝2，AD ∥CE ，∴△ADH ∽△ECH ，∴AD CE ＝DH CH ，即12＝DH 1－DH ，解得DH ＝13，∴阴影部分的面积为12×13×1＝1
6
.故选A .
6．B [解析] 过点D 作DF ∥AE ，则BE EF ＝BO OD ＝1，EF FC ＝AD CD ＝1
2，∴BE ∶EF ∶FC ＝1∶1∶2，∴BE ∶EC ＝1∶3.
故选B .
7.74 [解析] 设a 3＝b
4＝k ，则a ＝3k ，b ＝4k ， ∴
a ＋
b b ＝3k ＋4k 4k ＝7
4
. 8．48 cm [解析] 两个相似三角形的面积比是9∶16，则较大三角形与较小三角形的相似比是4∶3.因而设较大三角形的周长为x ，则有x 36＝4
3
，
解得x ＝48.
∴较大三角形的周长为48 cm .
9.1
4
[解析] ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴DE ∥AB ，DC ＝AB ， ∴△DEF ∽△BAF.
∵△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为9∶16， ∴
DE BA ＝34，∴EC AB ＝14
.
故答案为14
.
10．(0，45) [解析] 过点A 作AD ⊥y 轴于点D.∵∠ADC ＝∠COB ＝90°，∠ACD ＝∠BCO ，∴△OBC ∽△DAC ，
∴
OC OB ＝DC AD ，即OC 1＝4－OC 4，解得OC ＝45，∴点C 的坐标为(0，45)． 11．300 [解析] 如图，设正方形城池的边长为x 步，则AE ＝CE ＝12
x.
∵AE ∥CD ，∴∠BEA ＝∠EDC ，
∴Rt △BEA ∽Rt △EDC ， ∴AB CE ＝AE CD ，即3012x ＝12x
750
， 解得x ＝300，
即正方形城池的边长为300步． 故答案为300.
12.11
3或2或9 [解析] ∵AB ∥DC ，∠B ＝90°， ∴∠C ＝∠B ＝90°. 设BP ＝x ，则CP ＝11－x.
①当△ABP ∽△DCP 时，AB DC ＝BP CP ，即36＝x 11－x ，
解得x ＝113，∴BP ＝11
3
；
②当△ABP ∽△PCD 时，AB PC ＝BP CD ，即311－x ＝x
6，
解得x 1＝2，x 2＝9，∴BP ＝2或BP ＝9. 综上所述，BP 的长为11
3或2或9.
13．解：(1)∵a ＋b c ＝a ＋c b ＝b ＋c
a ＝k ，
∴a ＋b ＝ck ，a ＋c ＝bk ，b ＋c ＝ak ， ∴2(a ＋b ＋c)＝k(a ＋b ＋c)，
∴当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，k ＝－1. 故k 的值为2或－1.
(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，AB ∥CD ， ∴∠DFA ＝∠BAE ， ∴△ADF ∽△EBA.
14．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠ACD ，∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△ACD. (2)∵△ABC ∽△ACD ， ∴
AC AD ＝AB AC ，即AC 4＝9
AC
， 解得AC ＝6.
15．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.
∵∠APC ＝∠B ＋∠BAP ＝∠APD ＋∠CPD ，∠APD ＝60°， ∴∠BAP ＝∠CPD. ∴△ABP ∽△PCD ， ∴
AB PC ＝BP
CD
， 即32＝1CD ， ∴CD ＝2
3
.
16．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求． 由题意得OB ＝32＋32＝3 2，
∴点B 在运动过程中的路径长度为90π×3 2180＝3 2π
2
.
17．解：如图所示．
18．解：(1)证明：∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠BDC. 又∵∠ABD ＝∠BCD ＝90°，∴△DAB ∽△DBC ， ∴
BD CD ＝AD
BD
，即BD 2＝AD·CD. (2)由(1)知BD 2＝AD·CD.
∵CD ＝6，AD ＝8，∴BD ＝4 3， ∴AB ＝AD 2－BD 2＝82－（4 3）2＝4，
∴AB ＝1
2AD ，∴∠ADB ＝30°，则∠BDC ＝∠ADB ＝30°.
又∵∠ABD ＝∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠DBC ＝60°.
∵BM ∥CD ，∴∠BDC ＝∠MBD ＝30°，∴∠ABM ＝∠ABD －∠MBD ＝60°，
∴△ABM 是等边三角形，故BM ＝AB ＝4. ∵△DAB ∽△DBC ，∴AB BC ＝DB
CD ，
∴BC ＝AB·CD DB ＝4×6
4 3
＝2 3.
∵BM ∥CD ，∴∠CBM ＝180°－∠BCD ＝90°， ∴CM ＝BM 2＋BC 2＝42＋（2 3）2＝2 7. ∵BM ∥CD ，∴△BMN ∽△DCN ， ∴
MN CN ＝MB CD ＝46＝23
，∴CN ＝1.5MN. 又∵CN ＋MN ＝CM ＝2 7，∴MN ＝4
5 7.
19.解：(1)证明：连接OE ，如图所示．
由题易得∠AOE ＝2∠ACE. ∵∠B ＝2∠ACE ， ∴∠AOE ＝∠B. ∵∠P ＝∠BAC ， ∴∠ACB ＝∠OEP. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠OEP ＝90°， ∴PE 是⊙O 的切线．
(2)∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA. ∵AE ＝EF ， ∴∠EAF ＝∠AFE ，
∴∠OAE ＝∠OEA ＝∠EAF ＝∠AFE ， ∴△AEF ∽△AOE ， ∴
AE AO ＝AF
AE
. ∵AF ＝2，AE ＝EF ＝10， ∴OA ＝5.
20．解：(1)把点A 的坐标代入y ＝k x ，得6＝k
－1，
解得k ＝－6.
故答案为－6.
(2)如图，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，
则AM ∥BD ，可知△BCD ∽△ACM. ∵点A 的坐标是(－1，6)， ∴AM ＝6，OM ＝1， 则
BD AM ＝BC AC ＝13
， ∴BD ＝1
3
AM ＝2，
则点B 的纵坐标是2，把y ＝2代入y ＝－6
x ，得x ＝－3，
∴点B 的坐标是(－3，2)．
设直线AB 的函数解析式是y ＝kx ＋b.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝6，
－3k ＋b ＝2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，
b ＝8，
则直线AB 的函数解析式是y ＝2x ＋8. 令y ＝0，解得x ＝－4， 则点C 的坐标是(－4，0)．
若过点A 的直线过原点，则直线与反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象的另外一交点B 与点A 关于原点对称，
∴AB ＝2BC ，
此时，点C 的坐标为(0，0)．
综上，点C 的坐标为(－4，0)或(0，0)． 21．解：(1)设BF ＝x(0＜x ＜12)． ∵AB ＝12， ∴AF ＝12－x.
过点F 作FE ∥BC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥AB 交BC 于点D ， 则四边形BDEF 是平行四边形． 又∵∠B ＝90°， ∴四边形BDEF 是矩形． ∵EF ∥BC ， ∴△AFE ∽△ABC ，
∴AF AB ＝EF CB ， 即
12－x 12＝EF
8
， 解得EF ＝2
3
(12－x)，
∴S 矩形BDEF ＝EF·BF ＝23(12－x)·x ＝－2
3(x －6)2＋24，
∴当x ＝6时，矩形BDEF 的面积最大，最大为24. ∴BF ＝6，则AF ＝6， 即AF ＝BF ，
∴当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大， ∴小明的猜想正确． (2)设DE ＝a(0＜a ＜10)． ∵AD ＝10， ∴AE ＝10－a.
∵四边形PQMN 是矩形， ∴PQ ＝DE ＝a ，PN ∥BC ， ∴△APN ∽△ABC ， ∴PN BC ＝AE
AD ， 即
PN 10＝10－a 10
， ∴PN ＝10－a ，
∴S 矩形PQMN ＝PN·PQ ＝(10－a)·a ＝－(a －5)2＋25， ∴当a ＝5时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为25.
22．解：(1)①当α＝0°时，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝（8÷2）2＋82＝4 5. ∵D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴AE ＝4 52＝2 5，BD ＝8÷2＝4，
∴
AE BD ＝2 54＝52
. ②如图(a )，
当α＝180°时， 可得AB ∥DE ， ∴AC AE ＝BC
BD
， ∴
AE BD ＝AC BC ＝4 58＝52
. (2)如图(b )，
当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化．
证明：∵∠ECD ＝∠ACB ， ∴∠ECA ＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，
∴△ECA ∽△DCB ， ∴
AE BD ＝EC DC ＝52
. (3)①如图(c )，
∵AC ＝4 5，CD ＝4，CD ⊥AD ，
∴AD ＝AC 2－CD 2＝（4 5）2－42＝80－16＝8. ∵AD ＝BC ，AB ＝DC ，∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD ＝AC ＝4 5.
②如图(d )，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P.
∵AC ＝4 5，CD ＝4，CD ⊥AD ，
∴AD ＝AC 2－CD 2＝（4 5）2－42＝80－16＝8. 由题意知D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，
∴DE ＝12AB ＝12×(8÷2)＝1
2×4＝2，
∴AE ＝AD －DE ＝8－2＝6. 由(2)，可得AE BD ＝5
2，
∴BD ＝
652
＝12 55.
综上所述，BD 的长为4 5或
12 5
5
. 23．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝CB ＝CD ＝DA ＝4，∠D ＝∠DAB ＝90°，∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴AC ＝42＋42＝4 2.
∵∠DAC ＝∠AHC ＋∠ACH ＝45°，∠ACH ＋∠ACG ＝45°， ∴∠AHC ＝∠ACG. 故答案为＝. (2)AC 2＝AG·AH.
理由：∵∠AHC ＝∠ACG ，∠CAH ＝∠CAG ＝135°， ∴△AHC ∽△ACG ， 则
AH AC ＝AC
AG
， ∴AC 2＝AG·AH.
(3)①△AGH 的面积S 没有变化．
∵S △AGH ＝12AH·AG ＝12AC 2＝12×(4 2)2＝16.
∴△AGH 的面积S 为16.
②分3种情况：如图(a )所示，当GC ＝GH 时，易证△AHG ≌△BGC ，
可得AG ＝BC ＝4，AH ＝BG ＝8. ∵BC ∥AH ，∴BC AH ＝BE AE ＝1
2，
∴AE ＝23AB ＝8
3
；
如图(b )所示，当CH ＝HG 时，
易证AH ＝BC ＝4. ∵BC ∥AH ， ∴
BE AE ＝BC
AH
＝1， ∴AE ＝BE ＝2；
如图(c )所示，当CG ＝CH 时，易证∠ECB ＝∠DCF ＝22.5°.
在BC 上取一点M ，使得BM ＝BE ， ∴∠BME ＝∠BEM ＝45°. ∵∠BME ＝∠MCE ＋∠MEC ， ∴∠MCE ＝∠MEC ＝22.5°， ∴CM ＝EM.
设BM ＝BE ＝x(x>0)，则CM ＝EM ＝2x ， ∴x ＋2x ＝4， 解得x ＝4(2－1)，
∴AE ＝4－4(2－1)＝8－4 2.
综上所述，满足条件的m 的值为8
3或2或8－4 2.。