离散数学(7.3图的矩阵表示)

图7.3.1 图G
显然无向图的邻接矩阵必是对称的。
下面的定理说明， 在邻接矩阵 A 的幂 A2 ， A3， …等矩阵中， 每个元素有特定的含义。
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定理 7.3.1 设G是具有n个结点｛v1, k v2, …,vn｝ 的图， 其邻接矩阵为A， 则A （k＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(k)ij是 从vi到vj的长度等于k的路的总数。 证明: 施归纳于k。 当k＝1时， A1＝A， 由A的定义， 定理显然成立。 n 若k(＝ l 时定理成立， l 1) (l ) aij air arj 所以 l+1＝Al ·A， 则当k＝lr＋ 1 时， A 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 A(4)
1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
故
P A(1) A(2) A(3) A(4)
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定理 7.3.2 有向图G是强连通的当 且仅当其可达性矩阵P除主对角线外， 其它元素均为１。
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小结：本节介绍了图的邻接矩阵、 可达性矩阵的概念。 • 重点: 掌握邻接矩阵、可达性矩阵 及由vi到vj长 • 度为k的路径的条数的求法。 • 作业: P300 (1),(3) •
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定义 7.3.1 设G＝〈V ,E〉是有n个 结点的简单图， 则 n 阶方阵Ａ＝（ aij ）称 为G的邻接矩阵。 )E 1 (i , j其中
aij 0
否则
如图7.3.1所示的图G， 其邻接矩阵A为
如图7.3.1所示的图G， 其邻 接矩阵A为
0 1 A 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
• 相应的矩阵加法和乘法称为矩 阵的布3.2】求出图 7.3.3 所示图的 可达性矩阵。 • 解: 该图的邻接矩阵为 0 1 0 0
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0 0 1 0 A 1 1 0 0 1 1 1 0
0 0 A(2) 1 1 1 0 A(3) 1 1
1 vi , v j E aij 0 否则
7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )
但注意这里A不一定是对称的。
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定义 7.3.2 设G＝〈V ,E〉是一个有n
个结点的有向图， 则n阶方阵Ｐ＝（pij） 称为图G的可达性矩阵。 其中
1 (vi到vj可达) pij 0 (否则)
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1) 由A中a(1)12＝1知， v1和 v2是邻接的； 由A3中a(3)12＝2知， v1 到v2长度为3的路有两条， 从图中可 看出是v1v2v1v2和v1v2v3v2。 • 2) 由A2的主对角线上元素知， 每个结点都有长度为２的回路， 其中 结点v2有两条： v2v1v2和v2v3v2， 其 余结点只有一条。 • 3) 由于A3的主对角线上元素 全为零， 所以G中没有长度为３的回
7.3 图的矩阵表示(Matrix
Notation of Graph)
• 7.3.1邻接矩阵 (Adjacency Matrices) • 7 . 3 . 2 可 达 性 矩 阵 (Reachability Matrices )
7.3.1邻接矩阵 (Adjacency Matrices)
• 上面我们介绍了图的一种表示 方法， 即用图形表示图。 它的优点是 形象直观， 但是这种表示在结点与边 的数目很多时是不方便的。 下面我们 提供另一种用矩阵表示图的方法。 利 用这种方法， 我们能把图用矩阵存储 在计算机中， 利用矩阵的运算还可以 了解到它的一些有关性质。
根据可达性矩阵， 可知图中任意两个结点之间是否 至少存在一条路以及是否存在回路。 由7.2节定理7.2.1 可知， 利用有向图的 邻接矩阵A， 分以下两步可得到可达性矩阵。
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1) 令Bn＝A＋A2＋…＋An,
2) 将矩阵Ｂn中不为零的元 素均改为１， 为零 的元素不变， 所得的矩阵P就是可达性矩阵。 • 当 n很大时， 这种求可达性 矩阵的方法就很复杂。 下面再介绍 一种更简便的求可达性矩阵的方法。
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因可达性矩阵是一个元素仅 为１或０的矩阵（称为布尔矩阵）， 而在研究可达性问题时， 我们对于 两个结点间具有路的数目并不感兴 趣， 所关心的只是两结点间是否有 路存在。 因此， 我们可将矩阵A， A2,…, An, 分 别 改 为 布 尔 矩 阵 A(1) ， A(2)， …， A(n)。
• 由此有 • A(2)＝A(1)∧A(1)＝A∧A • A(3)＝A(2)∧A(1) • …… • • A(n)＝A(n-1)∧A(1) P＝A(1)∨A(2)∨…∨A(n)
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由定理7.3.1可得出以下结论： 1) 如果对l＝1， 2， …， n-1， Al的（i， j）项元素（i≠j）都为零， 那么 vi 和 vj 之间无任何路相连接， 即 vi 和 vj 不 连通。 因此， vi和vj必属于G的不同的连 通分支。 • 2) 结点vi 到vj （i≠j）间的距离d （vi， vj）是使Al（l＝1， 2， …， n-1 ） 的（i， j）项元素不为零的最小整数l。 • 3) Al的（i， i）项元素a(l)ii表示开 始并结束于vi长度为l的回路的数目。
• 【例 7.3.1】 图 G ＝〈V ,E〉的图形如 图7.3.2， 求邻接矩阵A和A2， A3， A4， 并分析其元素的图论意义。 • 解:
0 1 A 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
图 7.3.2
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(1) ( 2) (3) ( 4) a a a a 4) 由于 34 34 34 34 0,
所以结点v3和v4间无路， 它们属于 不同的连通分支。 • 5) d（v1， v3）＝２。 • 对其他元素读者自己可以找出它 的意义。
• 下面用矩阵来研究有向图的可达性。 • 与无向图一样， 有向图也能用 相应的邻接矩阵 A ＝（ aij ）表示， 其中
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根据邻接矩阵定义 arj 是联结 vr和vj的长度为1的路数目,a(l)ir是联结 vi和vr的长度为l的路数目,故上式右边 的每一项表示由vi经过l条边到vr,再由 vr 经过1条边到vj的总长度为l+1的路 的数目 。对所有 r 求和 , 即得 a(l+1)ij 是 所有从vi到vj的长度等于l+1的路的总 数,故命题对l+1成立。