(完整版)哈工大自动控制原理试题2007年答案.doc

哈尔滨工业大学

2007年春季学期本科生《现代控制理论基础》

考试试卷（A 卷）标准答案

一、填空题（本题含有10个小题，每小题2分，共20分）

1．是。2．保持不变。3．h k -F 。4．完全能，状态完全能观测。5．独立。

6．2×6。7．能控，能观（测）。8．4。9．对偶。10．2-n 。

二、选择题（本题含有10个小题，每小题4分，共40分）

1．（D ）2．（B ）3．（D ）4．（A ）5．（B ）6．（C ）7．（A ）8．（D ）9．（C ）10．（A ）

三、解答题（本题含有5个小题，每小题8分，共40分）

1．写出系统u m n ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221x x &，2R ∈x ，R u ∈状态完全能控的充分必要条件。 [解] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=m b 1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221n A ，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m m m n Ab 2121221。 能控性矩阵为[]⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---==n m m m Ab b M 2121，22det m m n M --=，当0det ≠M 时，2=rankM 。所以完全能控的充要条件为：022≠--m m n

2．设一个系统可用传递函数表示为3

722)()(23+++=s s s s U s Y ，写出该系统的一个状态空间表达形式。

[解法1] 根据传递函数得)(2)(3)(7)(2)(23s U s Y s sY s Y s s Y s =+++，在不考虑初始

条件的情况下，取拉氏反变换得u y y y y 2372=+++&&&&&&。

取状态变量y x =1，y x &=2，y x &&=3，则有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---===1321332212273x y u

x x x x x x x x &&&或写成[]⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321001200273100010x x x y u x x x x x x &&& [解法2] 根据传递函数得)(2)(3)(7)(2)(23s U s Y s sY s Y s s Y s =+++，在不考虑初始

条件的情况下，取拉氏反变换得u y y y y 2372=+++&&&&&&，写成

u y y y y =+++2/32/72/22/&&&&&&。取状态变量2/1y x =，2/2y

x &=，2/3y x &&=，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---===13213

32212273x y u x x x x x x x x &&&或写成[]⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321002100273100010x x x y u x x x x x x &&&

3．给定线性定常系统u ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=122011x x &，求状态反馈增益阵K ，使得在反馈律Kx -=u 作用下，闭环系统的极点为51-=λ，32-=λ。

[解] 设状态反馈增益阵为[]21k k =K ，则闭环系统的方程可写为

x x ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-----=212122121k k k k &，它的特征多项式为 2121221

2152)32()22121det()(k k s k k s k k k k sI s D --+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=。根据闭环极点的位置，可写出期望特征多项式为158)(2*++=s s s D 。比较两个多项式的对应项系数，可得关于1k ，2k 的代数方程组

⎩⎨⎧=--=-+15

528322121k k k k ，解之得81-=k ，272=k 。则状态反馈阵为[]278-=K 。 4．设有一个2阶非线性系统，其状态方程为⎪⎩

⎪⎨⎧+--=-=),(27321525222121321x x x x x x x x x x ϕ&&，其中),(21x x ϕ为一个不确定的实值函数，但是满足7

1),(21≤x x ϕ。证明该系统在坐标原点处渐近稳定。

[证明] 取李氏函数2221)(x x V +=x ，其中[]T x x 21=x ，则)(x V 是正定的，另外，

沿着原系统的状态轨线，有

221122)(x x x x V &&&+=x

)],(2

7[2)3(221525222121321x x x x x x x x x x ϕ+--+-= )],(2

71[26216221x x x x ϕ---= 由于71),(21≤x x ϕ，所以21),(272121≤-≤-x x ϕ，则23),(2712121≤-≤x x ϕ，此时必有)(x V &为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。

5．给定单输入单输出线性系统的状态空间形式为

[]x

x x 12213002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y u &，

对该系统设计一个全维状态观测器，使观测器的极点为i +-=21λ，i --=22λ，其中i 表示虚数单位。

[解] 原系统的状态空间表达式可写为

x x x c y bu A =+=&，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3002A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b ，[]12=c 。设状态观测器方程为 )ˆ(ˆˆe

y u --+=x c F b x A x

&。将状态方程与观测器方程相减，并令状态估计误差为x x x ˆ~-=，则观测器误差方程为x c F A x ~)(~e -=&，