初中数学重点梳理：圆的基本性质

圆的基本性质
知识定位
圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。

圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理
1、圆的定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．
（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．
⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O
读作“圆O”。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．
2、弦和弧：
（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．
（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B
弧AB．
（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
3、垂径定理：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
4、圆心角和圆周角：
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

6、正多边形的外接圆：
一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。

把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

注意：正n边形每一个内角的度数为：()2180 n
n
-⨯︒
正n边形的一个中心角的度数为：360 n
︒
正多边形的中心角与外角的大小相等。

7、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。

8、圆内接正n边形的性质（n≥3，且为自然数）：
(1) 当n为奇数时，圆内接正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；但不是中心对称图形。

(2) 当n为偶数时，圆内接正n边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。

9、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：设圆内接正多边形的半径为r，边心距为d
（1）圆内接正三角形：
1 d
2
r =
（2）圆内接正四边形：
2 d
2 =
（3）圆内接正六边形：3d 2
r = 10、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：
（1）圆内接正三角形：3x r =
（2）圆内接正四边形：x 2r =
（3）圆内接正六边形：x=r
11、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。

（1）用量角器等分圆周。

（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。

12、定理1：把圆分成n(n ≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

注意：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理
来判定，即：
①依次连结圆的n(n ≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；
②经过圆的n(n ≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。

．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或
根据它作正多边形。

定理2： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

例题精讲
【试题来源】江苏省竞赛题
【题目】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是
【答案】12
【解析】 解：在⊙O 中,半径是15,点P 到圆心的距离为9,则过点P 最长的弦是过点P 的直
径,长度为30．过点P 最短的弦是垂直于OP 的弦,这条弦长为24．最长的弦有
一条,最短的弦有一条,而弦长分别是25,26,27,28,29的弦有两条,
所以过P 点,长度是整数的弦一共有1+2×5+1=12条
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】江苏省竞赛题
【题目】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ⊥于M ，求证CM DC AM +=
【答案】如下解析
【解析】 解：过B 做CD 垂线交DC 延长线于P
则：∠BCP=∠ABD
因为：弧AB=弧CD
圆周角：∠BAD=∠BDA=∠ACB
所以：∠BCP=∠ACB
因为：BM 垂直AC,BP 垂直DC,BC 公用
所以：△BCP ≌△BCM
所以：CP=CM,CP+DC=CM+CD
BC 弧上圆周角：∠BDC=∠BAM,AB=BD
所以：RT △ABM ≌RT △BPD
所以：AM=DP=CD+CP=CD+CM
所以：AM ＝DC ＋CM
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂练习
【难度系数】3
【试题来源】黑龙江省竞赛题
【题目】如图，半径为2的o Θ中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连接OP ，若1=OP ，求22CD AB +的值。

【答案】28
【解析】 解：作OF ⊥AB 于F,OE ⊥CD 于E,连接OB,OD,
在Rt ⊿OFB 和Rt ⊿OED 中,由勾股定理得,
FB ²＝OB ²;－OF ² …………………①
ED ²＝OD ²－OE ²;…………………②
①+②得
FB ²;+ED ²;=OB ²;+OD ²;－(OF ²;+OE ²;) ……③
∵OE=FP
∴OF ²;+OE ²;=OF ²;+FP ²;=OP ²＝1;
由垂径定理得,
FB=1／2·AB,ED=1／2·CD
代入③得
(1／2·AB﹚²;+(1／2·CD﹚²;=R²;+R²;－1,
即AB²;+CD²;=8R²;－4;
＝8×2²－4=28
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】《时代学习报》数学文化节试题
【题目】如图 ，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，
Θ的半径
Θ过点A、D、E三点，求o
o
【答案】2
【解析】解：如图，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE，其底边与DE重合，∵A、B、C的对应点是O、D、E，
∴OD=AB，OE=AC，AO=BD，
∵等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2，
∴AB=BD=AC=2，
∴OD =OA=OE=2，
∵A、D、E三点不在同一直线上，
∴A、D、E三点确定一圆，
∵O到A、D、E三点的距离相等，
∴O 点为圆心，OA 为半径，
∴该圆的半径长为2。

【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】圆O 的直径为cm 5，弦∥AB 弦CD ，cm AB 3=，cm CD 4=，则梯形ABCD 的面积
【答案】
【解析】 解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，
过O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC ，
∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD ，
∴E 、F 分别为AB 、CD 的中点，
∴AE=BE=1/2AB=3/2cm ，CF=DF=1/2CD=2cm ，
在Rt △COF 中，OC=5/2cm ，CF=2cm ，
根据勾股定理得：OF=3/2cm ，
在Rt △AOE 中，OA=5/2cm ，AE=3/2cm ，
根据勾股定理得：OE=2cm ，
则EF=OE-OF=2-3/2=0.5cm；
∴S梯形ABDC=1/2（AB+CD）×EF=1/2×（3+4）×1/2=7/4（cm2）；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=2+3/2=7/2cm，
∴S梯形ABDC=1/2（AB+CD）×EF=1/2×（3+4）×7/2=49/4（cm2）；
综上所述：梯形ABCD的面积为：7/2cm2或49/4cm2．
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】天津市选拔赛试题
【题目】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径
【答案】5/16
【解析】解：OA=OB=OC=OD=R，AE=EB=1，CF=FD=0.5，EF=2
又设OE=x，则OF=2-x
由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，CF2+OF2=OC2，
12+x2=R2，0.52+（2-x）2=R2，
x=13/16，r=5/16，
即能盖住“品”字的最小圆纸片半径为5/16
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】黑龙江省竞赛题
【题目】如图，点P 为弦AB 上的一点，连接OP ，过点P 作OP PC ⊥，PC 交圆O 于C ，若8=AP ，2=PB ，则PC 的长为
【答案】
【解析】 解：延长CP 交⊙O 于点D ，
∵PC ⊥OP ，
∴PC=PD ，
∵PC•PD=PB•PA，
∴PC2=PB•PA，
∵AP=4，PB=2， ∴PC2=8，
∴PC 的长为：
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，正方形ABCD的顶点A、D和正方形JKLM的顶点K、L在一个以5为半径的圆O上，点J、M在线段BC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长
【答案】14/5
【解析】解：由题意：半径AO=OK=5
有垂径定理可知,AE=AD/2=3
所以在三角形AOE中,用勾股定理得OE=4
所以OF=AB-OE=6-4=2
设正方形JKLM的边长为x
同样由垂径定理知KG=x/2
在三角形OKG中由勾股定理：
(x/2)²+(x+2)²=5²
5x²+16x-84=0
解得x=14/5（另一根为-6,不合舍去）.
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】第21届全俄九年级奥林匹克试题
【题目】如图，已知弦CD垂直于圆O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H，求证：弦DE平分线BC于M
【答案】如下解析
【解析】解：连结BD
因为AB是圆O的直径,CD⊥AB
所以,弧BC=弧BD,弧AC=弧AD
所以,BC=BD∠ABC=∠ABD
因为∠DBM=∠ABC+∠ABD
所以,∠DBM=2∠ABC
因为OC=OB
所以,∠ABC=∠OCB 且∠AOH=∠ABC+∠OCB
所以,∠AOH=2∠ABC ，∠AOH=∠DBM
因为∠HAO=∠MDB
所以,△AOH ∽△DBM
所以,HO ÷MB=AO ÷DB
所以,MB ÷DB=HO ÷AO
因为H 是OC 的中点
所以,HO=0.5CO
因为CO=AO
所以,HO=0.5AO 即HO ÷AO=0.5
所以,MB ÷DB=0.5
所以,MB=0.5BD
因为BC=BD
所以,MB=0.5BC
所以,M 是BC 的中点
所以,弦DE 平分弦BC 于M
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】5
【试题来源】荆门市竞赛题
【题目】如图，在ABC ∆中，D 为AC 边上一点，且CB DC AD +=，过D 作AC 的垂线交ABC ∆的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ，求证：MN 为ABC ∆外接圆的直径
【答案】如下解析
【解析】解：延长AC至E，使CE=BC，连接MA、MB、ME、BE，如图，
∵AD=DC+BC，
∴AD=DC+CE=DE，
∵MD⊥AE，
∴MA=ME，∠MAE=∠MEA，
又∵∠MAE=∠MBC，
∴∠MEC=∠MBC，
又∵CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，
即∠MEB=∠MBE，
∴ME=MB，
又∵ME=MA，
∴MA=MB，
又∵MN⊥AB，
∴MN垂直平分AB，
∴MN是圆的直径．
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】（1）如图①，已知PB PA 、为圆O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线PA CD ⊥于点E ，求证：PB PE AE +=
（1）如图②，已知PB PA 、为圆O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线PA CD ⊥于点E ，问：PE AE 、于PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论
【答案】如下解析
【解析】 解：设直线CE 与圆相交于另一点D,连DA,DB.延长DB,AP 相交于点F.
因为 弧AC=弧BC,
所以 角ADC=角BDC 即 角ADE=角FDE
因为 CD 垂直PA
所以 角AED ＝角FED
又因为 DE=DE
所以 三角形AED 全等于三角形FED
所以 角EAD=角EFD AE=EF
因为 四边形ADBP 是圆的内接四边形
所以 角EAD ＝角PBF
所以 角EFD ＝角PBF 即 角PFB ＝角PBF
所以 PB=PF
所以 AE=EF=EP+PF=EP+PB
（2）猜想：EA=EP+PB
连DA,DB,CB.延长BD,AP相交于F.
弧BC的度数=弧BD的度数+弧DC的度数
弧BD的度数＝角BCD 弧DC的度数=角DBC
因为角EDF=角BCD+角DBC
所以弧BC的度数=角EDF
因为弧AC的度数=角ADE 且弧AC=弧BC
所以角ADE=角EDF
因为 CD垂直AP
所以角AED=角FED
又因为 DE=DE
所以三角形AED全等于三角形FED
所以 AE=EF 角DAP=角PFD
因为角DAP=角DBP
所以角DBP=角PFD
所以 PB=PF
所以 EA=EF=EP+PF=EP+PB
【知识点】圆的基本性质
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4。