电动力学第三版答案郭硕鸿著

grad
l
l
n n
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场

பைடு நூலகம்
(x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
5、 算符（哈密顿算符）
算符既具有微分性质又具有矢量性质。在任意方
向l上移动线元距离dl，
d dx dy
§0-1 矢量运算
1、两矢量标量积与矢量积
av
v b

axbx

ayby

azbz
av
v b

(aybz

azby
v )i

(azbx

axbz
)
v j
(axby

a y bx
v )k
v vv
i jk
ax ay az bx by bz
2、混合积
ax ay az
av
v (b
cv)

则可引进梯度概念。记作 grad nˆ
称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient缩n 写），
它是一个矢量，其大小|
grad|

(

l
，)ma其x 方n
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
方向。
4.方向导数与梯度的关系：
nˆ是等值面 上cp1 1点法线方
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常 要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理 量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确 定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。 如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小 和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若 场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否 则，称为不稳定场。
2、方向导数 方向导数是标量函数 (在x)一点P处沿任意方向
对距离的变化率，它的数值与所取的方向 l有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， l为l场P 中的任意方向，P1 是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一
点。
P2
l
P1
为l p2和p1之间的距离，从p1沿l到p2标量函数(x) 的
第0 章
数学预备知识—矢量、场论
本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念 及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之 间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运 算和算符 运算的重要公式。
本章主要内容
●矢量运算 ●标量场的梯度 算符 ●矢量场的散度 高斯定理 ●矢量场的旋度 斯托克斯定理 ●在正交曲线坐标系中 算符的表达式 ●二阶微分算符 格林定理
v b

(cv
av)

cv

(av
v b)

bx
by
bz
a
cx cy cz
满足旋转定律
b
c
3、三重矢积
av
v (b
cv)

(av
cv)bv

(av
bv)cv
av
v (b
cv)

v (b
cv)

av
不满足交换定律
4、矢量求导法则
(1) d ( f av) f d av d f av
向单位矢量。它指向 增加的 方向。 表l示过p1点的任一方
向。
p
nˆ
0

θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
显见， 当p1 p2 0 , p1 p0 0时 ,
p1 p2

p1 p0
cos
.
p
p
nˆ
0
θ
p2
l
所以 lim ( p2 ) ( p1) 1
x y z
读作“del”，或“nabla”
在直角坐标系中的表示

i

x

j

y

k

z
二 矢量场的散度 高斯定理
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 v方向通过 ds
的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体
积，即 dN v cosds v ds
的增量d 称为方向微分，即

dz


dl



r dl
x
y
z
l

(
r i


r j


rr k ) (dxi
r dyj
r dzk )
x y z
(
r i

r j

r
rr r
rr r
k ) (dxi dyj dzk ) (dxi dyj dzk )
称为矢量 v通过面元 ds的通量。
nˆ
够小的对面于元有向ds，曲于面s是，通总过可曲以面将ss的分通成量许N多为足
v
θ
每一面元通量之和
N v ds
ds
s

对于闭合曲面s，通量N为 N v ds
2、散度
s

设封闭曲面s 所包围的体积为V，则 A ds / V
dt
dt dt
(2)
d
(av
v b)

d
av

v b

av
d
v b
dt dt
dt
若
av

v b
则有
d(avbv) d(a2) 2av d av 2a d a
(3)
d
(av
v b)

d
dt
av

v b

av
d d
tv b
dt
dt
dt dt
dt
§0-2 场论分析
一、标量场的梯度， 算符 1、场的概念
l
P1
p1 p0 0
cos
lim
p1

p2 ( p0
)


(
p1
等值面
) c1
p1 p0 0
p1 p0
等值面 c2
cos lim
n0 n
p1
cos

n
p1
即 cos
l
n
该式表明：


cos



nˆ l
增量为
( p2 ) ( p1 )
若下列极限
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存在，则该极限值记作 ，称之为标量场
的方向l 导数。
l Pl
在(px)1处沿
3、梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (在x) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 该点沿某一确定方向取得 (在x)该点的最大方向导数，
就是矢量场
A( x)
s
在 V中单位体积的平均通量，或者平均发
散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积 V向其内某点 M (x)
收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作


A
ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场
A(
x)在该点的散度(div是divergence的缩写)。