数学实验mathematica圆周率Pi的计算方法

1.祖冲之的圆周率
N 22 7,10
N 355 113,10
3.142857143
3.141592920
无理数的最佳分数逼近
Α Pi;Ε0 1;list ;
Do
p Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α q;
If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,100000 ;list
3,227,333106,355113,10399333102,10434833215,20834166317,31268999532
Α Pi;Ε0 1;list ;
Do
p Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α ;
Print "p ",p,";q ",q,";Ε ",Ε N ;
If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,10 ;list
p 3;q 1;Ε 0.141593
p 6;q 2;Ε 0.283185
p 9;q 3;Ε 0.424778
p 12;q 4;Ε 0.566371
p 15;q 5;Ε 0.707963
p 18;q 6;Ε 0.849556
p 22;q 7;Ε 0.00885142
p 25;q 8;Ε 0.132741
p 28;q 9;Ε 0.274334
p 31;q 10;Ε 0.415927
3,227 乐音的频率比
k 2.0^ 1 12 ;
music 1.0,k^2,k^4,k^5,k^7,k^9,k^11,k^12
1.,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,
2.
2数学实验圆周率Pi的计算方法.nb
freq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2
freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,2
1,21 6,21 3,25 12,27 12,23 4,211 12,2
1,98,54,43,32,53,179,2
freq freq2;
m 512;
Play Sin 2Pi m t freq 2 , t,0,0.8 ,PlayRange 0,1
Sound SampledSoundFunction Function Play`Time3 ,
Block t 0. 0.000125Play`Time3 , Sin 2Πm t freq 2 0.5 2. ,6400,8000 m 512;
freq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2 ;
freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,2 ;
freq freq2;
Playmusic song_ : Do Play Sin 2Pi m t freq song i ,
t,0,0.8 ,PlayRange 0,1 , i,1,Length song ;
music 1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1 ;
Playmusic music
Playsong song_ :
Do x song i,1 ;
w Which x 0,freq x 2,x 10,freq x 10 2,True,freq x ;
y song i,2 ;
Play Sin 2Pi m t w , t,0,0.4y ,PlayRange 0,1 , i,1,Length song
song2 3,4 , 5,3 , 6,1 , 1,3 , 2,1 , 6,1 ,
1,1 , 5,2 , 5,3 , 11,1 , 6,1 , 5,1 , 3,1 , 5,1 , 2,8 ,
2,3 , 3,1 , 7,2 , 6,2 , 5,3 , 6,1 , 1,2 , 2,2 ,
3,2 , 1,2 , 6,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,8 ,
3,3 , 5,1 , 7,2 , 2,2 , 6,1 , 1,1 , 5,3 , 3,1 ,
3,1 , 5,1 , 3,2 , 5,1 , 6,1 , 7,1 , 2,1 , 6,4 ,
1,2 , 1,1 , 2,1 , 5,2 , 5,1 , 3,1 , 2,2 , 3,1 , 2,1 , 1,2 ,
6,1 , 5,1 , 3,4 , 1,4 , 6,1 , 1,1 , 6,1 , 5,1 ,
3,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,4 ;
Playsong song2
song1 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 ,
2,2 , 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,3 ,
3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 , 2,2 ,
5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,
6,1 , 2,2 , 5,1 , 3,3 , 2,0.5 , 1,0.5 , 6,4 ,
5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,
5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ;
Playsong song1
4.单位圆的面积等于Π
数学实验圆周率Pi的计算方法.nb3
f x_ : 1 x2;
fig Plot f x ,0 , x,0,1 ,AspectRatio 1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.20.40.60.8 1.0
4数学实验圆周率Pi的计算方法.nb
n 10;fig1 ;fig2 ;
Do AppendTo fig1,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i ,
AppendTo fig2,Line 1 n i 1 ,f 1 n i , 1 n i,f 1 n i , Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig2
fig3 ;fig4 ;
Do AppendTo fig3,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i 1 ,
AppendTo fig4,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i 1 , i,1,n ;Show fig,Graphics fig3 ,Graphics fig4
Do s1 N 4 Sum f k 10^m 10^m, k,1,10^m ;
s2 N 4 Sum f k 1 10^m 10^m, k,1,10^m ;
Print s1,s2, s1 s2 2 , m,1,4
fig5 ;
Do AppendTo fig5,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i ,
i,1,n ;Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig5
Do m 10^t;
s3 N 4 f 0 f 1 2 m Sum f k m m, k,1,m 1 ,20 ;
s4 N 4 f 0 f 1 m 2 Sum f k m m, k,1,m 1
4 Sum f k 1 2 m m, k,0,m 1 6,20 ;Print s3,s4 , t,3,4 3.1415554669110276837,3.1415875189122776906
3.1415914776113222011,3.1415924912201998162
5.数值积分法
数学实验圆周率Pi的计算方法.nb5 a b f x x b a n f a f b 2 i 1n 1f x i ,x i a b a n i
Clear a,b,x,n ;
a 0;
b 1;n 100;
y x_ : 4 1 x^2 ;
p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50
p2 N b a 6 n
y a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,50
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
a b f x x b a6n f a f b 4 i 1n f x i 0.5 2 i 1n 1f x i ,x i 0.5 a b a n（i 0.5 ，为 x i 1,x i 的中点
Clear a,b,x,n ;
a 0;
b 1;n 100;
y x_ : 4 1 x^2 ;
p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50
p2 N b a 6 n
y a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,50
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
6.级数展开法
T x_,n_ : Sum 1 ^ k 1 x^ 2k 1 2k 1 , k,1,n ;
N 4 T 1,10000 ,20
N Pi,20
3.1414926535900432385
3.1415926535897932384626433832795028842`20.
N 4 4T 1 5,100 T 1 239,40 ,150
N Pi,150
3.1415926535897932385
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651328230664709384460955058223172511332356
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940813
7.蒙特卡罗法（随机模拟法）
fig Plot 1 x2, x,0,1 ,AspectRatio 1,PlotStyle RGBColor 1,0,0 ;
fig0 Graphics Line 0,1 , 1,1 , 1,0 ;
Show fig,fig0
6数学实验圆周率Pi的计算方法.nb
n 1000;fig1 ;temp 0;
Do x Random ;y Random ;
AppendTo fig1,Point x,y ;
If x2 y2 1,temp , , i,1,n ;
Show fig,fig0,Graphics fig1
N temp 4 n
n 10000;p ;
Do m 0;Do x Random ;y Random ;If x^2 y^2 1,m m 1 , k,1,n ;
AppendTo p,N 4m n , t,1,5 ;
Print p ;
Sum p t , t,1,5 5
3.1312,3.142,3.1276,3.1124,3.1448
3.1316。