必修4 平面向量知识点归纳总结

第二章 平面向量知识点归纳

向量的概念

向量的运算

向量的运用

向量的加、减法

实数与向量的积

向量的数量积

平面向量的基本定理及坐标表示

向量的坐

标运算

物理学中的运用

几何中的运用

两向量平行的充要条件

两向量垂直的充要条件

向量的夹角

向量的模

两点间的距离

一、向量的相关概念：

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

注意：数量与向量的区别：

1 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

2 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小

2、 向量的表示方法：

几何表示法：①用有向线段表示；②用字母、等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；

坐标表示法：

3、向量的模：向量的大小――长度称为向量的模，记作||.

4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作

的方向是任意的

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

5、相反向量：与长度相同、方向相反的向量

记作

6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量与相等，记作；

7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量

记作

平行向量也称为共线向量

规定零向量与任意向量平行。

8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则叫与的夹角

说明：（1）当时，与同向；

（2） 当时，与反向；

（3） 当时，与垂直，记⊥；规定零向量和任意向量都垂直。

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的

范围0≤≤180

9、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）当时，的方向与的方向相同；

当时，的方向与的方向相反；

当时，，方向是任意的

10、两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则, 叫做与的数量积（或内积）

规定

11、向量的投影：定义：||cos叫做向量在方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 ||；当 = 180时投影为 ||

，称为向量在方向上的投影

投影的绝对值称为射影

二、重要定理、公式：

1、平面向量基本定理：，是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使

（1）．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底

任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………

我们把叫做向量

的（直角）坐标，记作

…………

其中叫做

在轴上的坐标，叫做

在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示

与

相等的向量的坐标也为

特别地，，，

（2） 若，，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

2、两个向量平行的充要条件

向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使

设，，则或

3、两个向量垂直的充要条件

设，，则

4、平面内两点间的距离公式

（1）设，则或

（2）如果表示向量

的有向线段的起点和终点的坐标分别为A、B，那么(平面内两点间的距离公式)

5、两向量夹角的余弦（）

三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

，

特别注意：（1）结合律不成立： ；（2）消去律不成立不能得到

（3）不能得到=或=

乘法公式成立：

线段的定比分点公式: 设点P分有向线段

所成的比为λ，即

＝λ

，则

(线段定比分点的坐标公式)

当λ＝1时，得中点公式：

＝

（

＋

）或

平移公式： 设点P(x，y)按向量＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x ′，y′），

则

＝

+a或

曲线y＝f（x）按向量＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)

补充：一些常用的结论

1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

2.模的性质：.

（1）右边等号成立条件：同向或中有；

（2）左边等号成立条件：反向或中有；

（3）当不共线.

3.三角形重心公式

在中，若，，，则其重心的坐标为.

举例 若的三边的中点分别为，则的重心的坐标为 .结果：

4.三角形“三心”的向量表示

（1）为△的重心，特别地为△的重心.

（2）为△的垂心.

（3）为△的内心；向量所在直线过△的内心.

5. 向量中三终点共线存在实数，使得且．

举例 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点若点满足,其中且,则点的轨迹是 .

结果：直线