第2章 变形几何理论

表示了不同平面中应变分量之间的关系。
1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；
2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以 确定；
3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量 自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分 量，则必须校验其是否满足连续性条件。

八面体切应变
1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 3
8

1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
2.1 点的应变状态
1. 基本概念
物体变形时，各点位置的改变量称作位移。
线尺寸的伸长缩短 正变形或线变形 单元体的变形 单元体发生畸变 剪变形或角变形
正变形 纯变形 剪变形
平移、转动（刚体位移 ） 物体变形时，单元体将发生 形） 正变形和剪变形（纯变

位移类别：
刚性位移，如平移、转动
u u ( x、y、z ) v v( x、y、z ) w w( x、y、z )
或u i u i ( x、y、z )
上式即可定义一物体内的位移场。 位移分量的偏导数就是相对位移张量 eij 的分量，也即
u i eij x j
u x x u yx y u zx z
x xy yx y
I 2 yx x y
2
I3 0
3 I1 2 I 2 I 3 0
( x y ) ( yx x y ) 0
3 2 2
1
( x y ) x y 4 xy 6 x y
I2 （ x y y z z x） ( xy yz zx ) ( 1 2 2 3 3 1 )
2 2 2
应变张量的第三不变量：
I 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) 1 2 3
2 2
2
2 0
3
( x y ) x y 4 xy 6 x y
2 2
2
八面体应变
在正八面体的平面的法线方向线元的应变 称为八面体应变 八面体线应变

1 1 8 ( x y z ) ( 1 2 3 ) m 3 3
变形位移：变形体内不同点的位移分量不同
2.小应变

Δ ry
Y
Hale Waihona Puke Baidu
正应变(线应变): 线元尺寸长度上的变化
X轴分量的线应变
r r1=r+Δr
ry
r r
x x
x
rX
Δ rX
X
y轴分量的线应变
r r r r r
1 r
相对应变
r r
Y Y
Y
线元伸长时为正缩短为负

切应变: 线元方位上的改变
等效应变
2 2 2
在与应变主方向成±45°角的方向上，存在三对各面相互垂直 的线元。它们的剪应变有极值。叫做主剪应变。
1 12 2 ( 1 2 ) 1 23 ( 2 3 ) 2 1 ( 3 1 ) 31 2
如 1 2 3
max
1 ( 1 3 ) 2
讨论：

变形体内一点的主应力图与主应变图结合构成变形力学图。它形 象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有 9种可 能，主应变有 3种可能，二者组合，则有 27种可能的变形力学图 。但单拉、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际 变形力学图应该只有23种组合方式。
思考
变形协调方程的物理意义是什么？ 如何判断应变场是否存在？

2 2 a ( x y ) 例 设 x
y axy xy 2byz
其中a，b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？ 解： 2 2 x 2 y xy 2 a 0 2b 2 2 y x xy 2 2 2 xy 1 x y ( 2 ) 2 2 y xy x 1 (2a 0) 2b 2 a 2b
x y z
u ; x v ; y w ; z
yz zx xy
1 v w zy ( ) 2 z y 1 w u xz ( ) 2 x z 1 u v yx ( ) 2 y x
什么叫变形连续方程或协调方程。 六个应变分量有（取决于三个位移分量对 x 、 y 、 z 的偏导） 有一定的关系，才能保证物体中的所有单元体在变形之后 仍然可以连续地组合起来。
2 xy 1 2 x 2 y ( 2 ) 2 x xy 2 y 2 2 y 2 z 1 yz ( 2 ) 2 y yz 2 z 2 2 2 x 1 zx z ( 2 ) 2 zx 2 x z
正应变或线应变 伸长为正，缩短为负； 剪应变或切应变 夹角减小为正，增大为负。
思考
物体变形单元体发生哪些位移？ 工程剪应变、理论剪应变区别？ 应变张量下标意义？与应力张量下标意义 有何不同？

§3-3 位移分量和小变形几何方程
物体内任意一点的位移矢量为u，在三个坐标轴方向的位移分 量u、v、w。
塑性力学图
§3-7 应变偏张量和球张量，八面体应变和等效应变 球应变张量与偏差应变张量

平均线应变
m
x y z
3
x xy xz m 0 0 x m xy xz ij yx y yz 0 0 m y m yz yx zx zy z zy z m 0 0 m zx ij m ij
rz
r r
x x
rX
Δ rX
ry
x
r r
y y
y
r r
z z
z
yz
xy
xz
x、xy
等九个分量可构成一个张量，叫做
相对位移张量 eij
xy xz x eij yx y yz zx zy z 在一般情况下， xy yx , yz zy , zx xz
'
球应变张量 m 0
应变偏张量
应变偏张量表示形状变化，球应变张量表示体积变化，塑性 变形时，体积不变，即 应变偏张量即是应变张量
例 .试求平面应变情况下的应变分量的不变量及主应变表达 式。 0 平面应变＝ 0 0 0 0 解: I 1 x y
第2章 变形几何理论
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
点的应变状态 应变与位移关系方程 应变增量 应变速度张量 主应变图与变形程度表示
2.1
点的应变状态
基本概念
应变张量
点的应变状态
主应变、应变不变量、体积应变 球应变张量与偏差应变张量 八面体应变 应变分量与位移分量微分关系
v1 v0 x y z 0(忽略弹性变形 ) v0
当塑性变形时，变形物体变形前后的 体积保持不变，即 x y z 0
§3-6 主应变、应变张量的不变量，主剪应变和最 大剪应变
通过一点，存在三个相互垂直的应变主方向（主轴），在主方 向上的线元没有角度偏转，只有正应变。如果取正应变主轴为 坐标轴，则应变张量就简化为：
Δ rr
y
ΦXY
ry
π/2- ΦXY
r tan r
y
x
r
工程剪应变
角度减小Φ取正号，增大时取负号。
y
γYX
π/2- ΦXY
γXY= γYX= ΦXY/2
x
角标意义？
xy yx
1 xy 2
剪应变(理论剪应变)
在实际变形中，线元PA及PC的偏转角度不一定 相同，现设其实际的偏转角度为 xy 和 yx
1 ij 0 0
0
2
0
0 0 3
主应变图 应变张量的特征方程：
3 I1 2 I 2 I 3 0
应变张量的第一不变量：
I1 x y z 1 2 3 0
应变张量的第二不变量：
上式表示了在每个坐标平面内应变分量的关系。
同理得：
zx xy yz 2 x ) ( z x yz x y 2 y xy yz zx ) ( x y zx y z 2 yz z xy ( zx ) y z xy z x
u j u 1 i 简记为： ( ) ij 2 x j xi
上式叫做小应变几何方程，坐标的连续函数，确定应变张量场。如物体中 的位移场为已知，则可由几何方程求得小应变分量 ij 。

小应变分量也是坐标的连续函数，它可以确定物体中的应变张量场。
§3-4 变形连续方程或协调方程。
即
eij e ji
（非对称张量）。
将它分解：
x eij yx zx
xy y zy
xz 0 yz z z y
z 0
x
y x 0
xy xy yx
y
αYX
αXY
x
3. 质点的应变状态
dr 正应变 r 应变 ry 剪应变 tg （工程剪应变） ry 首先，来看一个极小的单元体经小变形后变成了一个偏斜的平行 六面体。
可以设想为单元体先平移，再进行正应变和剪应变
Δ rz Δ ry
后一项是反对称张量，表示刚体转动，叫做刚体转动张量；前 一项是对称张量，表示纯变形，应变张量一般用
ij
表示，即：
应变张量
x ij yx zx
xy y zy
xz yz z
便于记忆，下标可以理解为：第一个下标表示通过P点单元 体的棱边（线元）的方向，第二个下标表示该线元的变形方 向。
v xy x v y y v zy z
w xz x w yz y w z z
( i j )剪应变(理论剪应变)
1 1 可知： rij rji ij ( ij ji ) 2 2
得到小应变分量和位移分量的关系：
当时，a=-2b，上式成立，应变场成立。
§3-5 塑性变形时的体积不变条件 设单元体初始边长为dx、dy、dz，则变形前的体 积为
V0 dxdydz
变形后的体积为
v1 (1 x )dx(1 y )dy(1 z )dz (1 x y z )dxdydz