一类量子码的组合构造

收稿 日期 ：２０１７－１０—０２ 基金 项 目 ： 国家 自然 科 学 基 金 （１１４７１０１１）；陕 西 省 自然 科 学 基 金 （２０１７ＪＱ１０３２） 作者 简 介 ：郭 冠 敏 （１９９３一 ），男 ，甘 肃 平凉 人 ，硕 士 生 ，主 要 从 事 代 数 编码 研 究 ．Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｒａｇｕｏ ｘｊｔｕｋｇｄ＠ ｙｅａｈ．ｎｅｔ
第 １９卷 第 ２期 ２０１８年 ４月
空 军 工 程 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＡＩＲ ＦＯＲＣＥ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥ ＥＤＩＴＩＯＮ）
Ｖｏ１．１９ Ｎ Ｏ．２ Ａ ｐｒ．２０１８
一 类 量 子 码 的 组 合 构 造
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｗｏ ｑ ａｒｙ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｄｅｓ ｔｏ ｓａｔｉｓｆｙ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｎｅｓｔｅｄ ｒｅｌａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ａ ｃｏｍｂｉｎａ— ｔｏｒｉａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｓｅｌｆ—ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｃｏｄｅｓ，ａｎｄ ｄｅｔｅｒｍ ｉｎｅｓ ｔｈｅ ｄｉｍ ｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｗ— ｅｒ ｂｏｕｎｄ ｏｆ ｄｕａｌ ｄｉｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｃｏｄｅｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｅａｃｈ ｃｏｄｅ．Ｂｙ ｍ ｅａｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｑ ｃｙｃｌｏｔｏｍｉｃ ｃｏｓｅｔ，ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ＢＣＨ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ｌｅｎｇｔｈ 一 ｑ ＋ １ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｆｕｒｔｈｅｒ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉ— ｎｉｎｇ ｓｅｔｓ，ｄｅｓｉｇｎ ｄｉｓｔａｎｃｅｓ，ｐａｒａｍ ｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗ ｏ ｑ 一ａｒｙ ｃｏｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ＢＣＨ ｃｏｄｅｓ ａｒｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ ａｓ ａ ｃｅｒ— ｔａｉｎ ｎｅｓｔｅｄ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ．Ｕ ｓｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ＢＣＨ ｃｏｄｅｓ，ｍａｎｙ ｑ２＿ａｒｙ Ｈ ｅｒｍ ｉｔｉａｎ ｓｅｌｆ—ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ｌｅｎｇｔｈ ２ ｎ ａｎｄ ｎｅｗ ｑ－ａｒｙ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ＞ ｑ＋ １ ａｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｋｎｏｗｎ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｔｈｅ ｍ ｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｍ ａｙ ｂｅ ｅｍ ｐｌｏｙｅｄ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ｂｅｔｔｅｒ ｐａｒａｍ— ｅｔｅｒ ａｎｄ ｇｉｖｅ ｏｕｔ ｔｈｅ １ｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ ｓｏｍ ｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｏｄｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： Ｈ ｅｒｍ ｉｔｉａｎ ｓｅｌｆ—ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｃｏｄｅ；ｃｏｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ；ｑ２＿ｃｙｃｌｏｔｏｍｉｃ ｃｏｓｅｔ；ｑｕａｎｔｕｍ ｃｏｄｅｓ
Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｃｏｄｅｓ
ＧＵＯ Ｇｕａｎｍｉｎ， ＬＩ Ｒｕｉｈｕ， ＧＵＯ Ｌｕｏｂｉｎ， Ｗ ＡＮＧ Ｊ ｕｎｌｉ （Ｂａｓｉｃ Ｄｅｐａｒｔｍ ｅｎｔ，Ａｉｒ Ｆｏｒｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００５１，Ｃｈｉｎａ）
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引 用 格 式 ：郭 冠 敏 ，李瑞 虎 ，郭 罗 斌 ，等 ．一类 量 子 码 的 组合 构 造 ［Ｊ］．空 军Ｉ 程 大 学 学 报 （自然 科 学 版），２０１８．１９（２） １０６—１１０．ＧＵＯ Ｇｕａｎ— ｒ ａｉｎ，ＬＩＲｕｉｈｕ，ＧＵＯ Ｌｕｏｂｉｎ，ｅｔ ａ１．ＣｏｒｎｂｉｎａｔｏｒｉａｌＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆＱｕａｎｔｕｍ Ｃｏｄｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＡｉｒＦｏｒｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
量 子 纠错码 是 量 子计 算 、量 子 通 信 等 量 子信 息 处理 可靠运 行 的保 障 ，构 造具 有 良好 参数 的量 子 纠 错 码则 是量 子 纠错码 中最 重要 的研究 内容 。文献 ［１ － ７］先后 建立 了 ｑ一元 （二元 和非 二元 ）加性 量子 纠错
码 与 自正交 （或对 偶 包 含 ）经 典 线性 码 的联 系 ，创 造 出量子 码 的 ３种构造 方法 ：ＣＳＳ构 造法 ，Ｓｔｅａｎｅ构造 法 和 Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ构 造 法 。Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ构 造 法 则 是 其 中最有 效 、使用 最多 的构造 方法 。
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郭冠 敏 ，李 瑞 虎 ，郭 罗斌 ，王君 力
（空 军 工 程 大 学 基 础 部 ，西 安 ，７１００５１）
摘要 利 用满 足 一定 嵌 套关 系的 ２个 ｑ 一元 线性码 ，给 出一种构 造 自正 交 码 的组合 方 法 ，并 由各 成分 码 的参 数 确定 出所构 造 的新 自正交码 的维数和 对偶 距 离下界 。进 一步用 ｑ２一分 圆陪集理 论讨论 码 长 Ｔｔ—ｑ ＋１的常 循 环 ＢＣＨ 码 。刻 画满足 所 需嵌套 关 系 的 ２个 ｑ 一元 常循 环 ＢＣＨ 码 的定 义集 合 、设 计 距离和 参 数 ，从 而 由常 循 环 ＢＣＨ 码构 造 出码长 ２ 的 ｑ 一元 自正 交码 和 ｑ一元 量 子码 。这 一 方 法可 得 到许 多距 离 ＞ ｑ＋ １的 量 子 码 ，而这样 参数 的量 子码是 用 已知 的构 造方 法不 能获 得 的。 方 法和结 果 对 于构造 更 多参 数 良好 的量子 码 以 及 给 出最优 量子 码 的距 离下界都 具有 借鉴 作用 。 关 键词 Ｈｅｒｒｎｉｔｉａｎ 自正交码 ；常循 环码 ；ｑ２＿分 圆陪集 ；量子 码 ＤＯＩ １０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９—３５１６．２０１８．０２．０１８ 中图分 类 号 Ｏ１５７．４ 文 献标 志码 Ａ 文章 编号 １００９—３５１６（２０１８）０２—０１０６—０５