第十八章 含参量积分

第十八章 含参量积分
第一节 含参量正常积分
从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有
()()[].,,,⎰=d
c
b a x dy y x f x I （1）
一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的
x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值
的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()()
[].,,, b a x dy y x f x d x
c ∈=⎰ （2）
图18-1
用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.
下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性.
定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数 ()()dy y x f d
c
⎰=,x I
在[]b a ,上连续.
证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>∆x 或0<∆x ），于是 ()()()[]⎰-∆+=
-∆+d
c
dy y x f y x x f x I x x I .,,)( （3）
由于()y x f ,在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个整数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要
,||,||2121δδ<-<-y y x x
就有
()().|,|2211ε<--y x f y x f （4） 所以由(3),(4)可推得；当.||ε<∆x
()()()()()⎰⎰-=<-∆+≤-∆+d
c
d c
c d dx dy y x f y x x f x I x x I .|,,|||εε
这就证得()x I 在[]b a ,上连续.
同理可证：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则含参量y 的积分
()()dy y x f y J b
a
⎰=, （5）
在()d c ,上连续.
对于定理18-1的结论也可以写成如下的形式：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则对任何[]b a x ,0∈，都有
()()⎰
⎰→→=d
c
d
c x x x x dy y x f dy y x f |,lim ,lim
这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 定理18-2（连续性） 设二元函数()y x f ,在区域
(){()()}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,
上连续，其中()x c ，()x d 为[]b a ,上连续函数，则函数
()()()
()
dy y x f x F x d x c ⎰
=, （6）
在[]b a ,上连续
证 对积分（6）用换元积分法，令
()()()().x c x d t x c y -+=
当y 在()x c 与()x d 取值时，t 在[]1,0上取值，且
()(()).dt x c x d dy -=
所以从（6）式可得
()()()
()
dy y x f x F x d x c ⎰
=,
=
()()()()()()()()dt x c x d x c x d t x c x f --+⎰10
,.
由于被积函数
()()()()()()
x c x d x c x d t x c x f --+])(,[
在矩形区域[][]1,0,⨯b a 上连续，由定理18-1得积分（6）所确定的函数()x F 在[]b a ,上连续.
下面讨论含参量积分的求导与积分运算的可交换性. 定理18-3（可微性） 若函数()y x f ,与其偏导数()y x f x
,∂∂
都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则
()()dy y x f x I d
c
⎰=,
在[]b a ,上可微，且
()()dy y x f x dy y x f dx d d c d
c
⎰⎰∂∂=,,. 证 对于[]b a ,内任意一点x ，设[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点，则讨论单侧导数），则
()()()()dy x
y x f y x x f x x I x x I d c ⎰∆-∆+=∆-∆+,,
由微分学的拉格朗日中值定理及()y x f ,在有界闭域R 上连续（从而一致连续），对任给正数
ε，存在正数δ，只要当δ<∆x 时，就有
ε
θ<-∆+=),(),(y x f y x x f x x ),()
,(),(y x f x
y x f y x x f x -∆-∆+
其中)1,0(∈θ.因此
dy
y x f x
y x f y x x f dy y x f f x I
x d c
x d c ),()
,(),(),(-∆-∆+≤-∆∆⎰
⎰
).(c d -<ε
这就证得对一切[]b a x ,∈，有
.),()(dy y x f x x I d d
d c x
⎰∂∂=
定理18-4（可微性）设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,⨯=上连续，)(),(x d x c 为定义在
[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数
⎰
=)()
(),()(x d x c dy y x f x F
在[]b a ,上可微，且
).())(,()())(,(),()()
()
(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰
（7）
证 把)(x F 看作复合函数：
).
(),(,
),(),,()(x d d x c c dy y x f d c x H x F d
c
====⎰
由复合函数求导法则及活动上限积分的求导法则，有
).())(,()())(,(),()()()
(x c x c x f x d x d x f dy y x f dx dd d H dx dc c H x H x F dx d x d x c x '-'+=∂∂+∂∂+∂∂=⎰
关于函数)(x I 和)(x F 的可积性，可由定理18-1与定理18-2推得：
定理18-5（可积性） 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则)(x I 和)(y J 分别在[]b a ,和[]d c ,可积.
这就是说：在),(y x f 连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：
dx dy y x f b
a d c ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(与dy dx y x f d c
b a ⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡),(. 为书写简便起见，今后将上述两个积分写作
dy y x f dx b
a
d c
⎰
⎰),(和dx y x f dy d c b
a ⎰⎰),(
前者表示),(y x f 先对y 求积然后对x 求积，后者则求积顺序相反，它们统称为累次积分，或更确切地称为二次积分.
下面的定理指出，在),(y x f 连续性假设下，累次积分与求积顺序无关. 定理18-6 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则 dy y x f dx b
a
d c
⎰
⎰),(=dx y x f dy d c b
a ⎰⎰),(. (8)
证 记
⎰
⎰=u
a d
c
dy y x f dx u I ,),()(1
⎰
⎰=
d
c
u
a
dx y x f dy u I ,),()(2
其中[]b a u ,∈，现在分别求)(1u I 与)(2u I 的导数。

⎰=='u
a u I dx x I du d u I ).()()(1
对于)(2u I ，令⎰
==
u
a
dx y x f y u H ),(),(，则有
⎰=d
c dy y u H u I ),()(2 .
因为),(y u H 与),(),(y u f y u H u =都在R 上连续，由定理18-3，
⎰⎰⎰===='d c
d c u d
c u I dy y u f dy y u H dy y u H du
d u I ).
(),(),(),()(2
故得)()(21
u I u I '='，因此对一切[]b a u ,∈，有 k u I u I +=)()(21（k 为常数）
当a u =时，0)()(21==a I a I ，于是0=k ，即得 []b a u u I u I ,),()(21∈=. 取b u =，就得到所要证明的（8）式。

例1 计算⎰+→1
020cos 1lim
x
x dx
αα
分析：两种运算是否可换序：含参量积分的连续性定理。

解 记x
x x f ααcos 11),(2
+=
，则])21
,21[]1,0([),(-⨯∈C x f α， 因而：[]2/1,2/1cos 1)(102-∈+=⎰C x
x dx
I αα，故，
4
1)0()(lim 1020π
αα=
+==⎰→x dx I I 。

注：这类题目通常要求确定参量的活动区间，技巧是，在极限点附近取充分小的区间，满足
定理要求的条件即可。

例2 计算⎰++=
1
021)1ln(dx x x I
分析：此类题目较难：难在其一：看似是一个正常的定积分，但利用定积分的计算技术（常规）无法解决；其二：由于其一，必须引入新的计算方法：含参量积分法，但问题是：如何引入参量，参量的位置如何确定？一旦选择了合适的参量位置，具体的计算过程就很简单了。

通过例子具体说明。

解 考虑含参量积分：⎰++=
1
021)
1ln()(dx x x I αα，则I I =)1(.
因此，只须计算)(αI ：)(αI 与I 相比，虽然积分结构相同，但由于含有参量，因而处理的方法更多，比如求导： ⎰++=
'1
02)1)(1()(dx x x x
I αα （转化为有理式的积分）
⎰--+++=
1
022]11[11dx x x x αα
αα )]1ln(2ln 21
4
[112ααπα+-++=，
两边积分，则 )1(2ln 8
2
2ln 8)()0()1(1
I d I I I -+=
'=
-⎰
π
αα。

由于(0)0I =，故(1)ln 28
I π
=。

注：处理思路：分析被积函数结构，在较难处理的因子中引入参量，通过求导法将其简
化，便于计算。

还有一类积分的计算，须利用含参量积分的换序定理，通过换序达到简化计算的目的。

例3 计算1
(0).ln b a
x x I dx b a x
-=
>>⎰
解 解法一：积分法，即利用积分换序定理计算。

由于
x
x x dy x a
b b
a
y
ln -=⎰
，故，利用含参量积分的换序定理，
a
b dy y dx x dy dy x dx I b
a b a
y
b
a
y
++=+===⎰
⎰⎰⎰⎰11ln 111
10。

解法二：求导法，即利用含参量积分的求导定理计算。

记1
() ln y a
x x I y dx x
-=
⎰
，[,]y a b ∈。

定义 , 01,(,)ln 0, 0,y a
x x x a y b f x y x x a y b ⎧-<≤≤≤⎪
=⎨⎪=≤≤⎩
则，(,)f x y 、(,)y f x y 在[0,1][,]a b ⨯上连续，故
1
01() =
1y
I y x dx y
'=+⎰ 因而，()ln(1)I y y c =++，注意到()0I a =，故ln(1)c a =-+，所以， 1()ln
1b
I I b a
+==+。

注：用含参量积分的积分换序定理计算定积分，需要对被积函数仔细分析，将其转化为对另一个变量的积分，这是较困难的一步。

总之：利用含参量积分换序定理计算定积分是一种高级的计算方法，难度较高，须通过多练才能掌握。

第二节 参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法
设函数()y x f ,定义在无界区域(){}∞+<≤≤≤=y c b x a y x R ,|,上，若对每个固定的
[]b a x ,∈，反常积分
()dy y x f c
⎰
+∞
, （1）
都收敛，则它的值是x 在[]b a ,上取值的函数，当记这个函数为()x I 时，则有 ()()[]b a x dy y x f x I c
,,,∈=
⎰
+∞
， （2）
称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论
证方法上也极为相似.
首先引如含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则.
定义18-1 若含参量反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总从在某一实数c N >，使得当N M >时，对一切[]b a x ,∈，都有
()(),|,|ε<-⎰
x I dy y x f M
c
即
(),|,|
ε<⎰
+∞
dy y x f M
则称含参量反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛于()x I ，或简单地说含参量积分（1）在[]b a ,上一致收敛.
定理18-7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有
().|,|1
2
ε<⎰dy y x f A A (3)
定理18-8 含参量反积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数
()()∑∑⎰
∞
=∞
==+1
1
1
,n n n A A x u dy y x f n n
（4）
在[]b a ,上一致收敛.
证 [必要性]由（1）在[]b a ,上一致收敛，故对任给0>ε，必存在c M >,使当
M A A >'>''时，对一切[]b a x ,∈，总有
|
ε<⎰
'
''
A A dy y x f ),( . (5)
又由()∞→∞→n A n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当N n m >>时，就有
M A A N m >>.由（5）对一切[]b a x ,∈，就有
()()()()⎰
⎰
++++=++1
1
|,,|
||n n
m m
A A A A m n dy y x f dy y x f x u x u
= ()ε<⎰
+1
|,|
n m
A A dy y x f .
这就证明了级数（4）在[]b a ,上一致收敛.
[充分性] 用反证法.假若（1）在[]b a ,上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数c M >，存在相应的M A A >'>''和[]b a x ,∈'，使得
0),(ε≥'⎰
'
''
A A dy y x f .
现取{
}c M ,1m ax 1=，则存在112M A A >>及[]b a x ,∈，使得 .),(0
1
2
1
ε≥⎰A A dy y x f
一般地，取{})2(,max )
2(2≥=-n A
n M n n
，则有N n n
M A A >>-122及[]b a x n ,∈使得
021
2),(ε≥⎰
-n
n A A n dy y x f . (6)
由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且.lim +∞=∞
→n n A 现在考察级数
()().,1
1
1
dy y x f x u n A A n n n n
∑⎰
∑∞
=∞
=+=
由（6）式知存在正数,0ε对任何正数N ,只要N n >，就有某个[],,b a x n ∈使得
()().,||021
2ε≥=
⎰
+dy y x f x u n n
A A n n n
这与级数（4）在[]b a ,上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛. 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.由于它们的证明与函数项级数相应的判别
法相仿，故从略.
维尔斯特拉斯M 判别法 设有函数(),y g 使得
()().,,|,|+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f
若
()dy y g c
⎰
+∞
收敛，则()dy y x f c
⎰
+∞
,在[]b a ,上一致收敛.
狄利克雷判别法 设 (i) 对一切实数c N >，含参量反常积分
()dy y x f N
c
⎰,
对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切c N >及一切[],,b a x ∈都有
();,M dy y x f N
c
≤⎰
（ii ）对每一个[],,b a x ∈函数()y x g ,关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量x ，
()y x g ,一致地收敛于0，
则含参量反常积分
()()dy y x g y x f c
,,⎰
+∞
在[]b a ,上一致收敛. 阿贝尔判别法 设 （i ）
()dy y x f c
⎰
+∞
,在[]b a ,上一致收敛；
（ii ）对每一个[],,b a x ∈函数()y x g ,为y 的单调函数，且对参量x ，()y x g ,在[]b a ,上一致有界，
则含参量反常积分
()()dy y x g y x f c
,,⎰
+∞
在[]b a ,上一致收敛.
二、一致收敛性判别举例
根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行：首先考虑能否用维尔斯特拉斯判别法，其次，考虑用阿贝尔和狄利克雷判别法，再次，考虑用狄利克雷判别法，最后，考虑非一致收敛性。

但是，上述只是解决此类问题的一般规律。

事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。

特别，当所给题目是讨论同一积分在不同参数区间上的一致收敛性时，通常在小区间上是一致收敛，在大区间上非一致收敛。

例1 讨论
⎰
+∞
-0
sin xdx e x α在 i)00[,)(0)ααα∈+∞> ii) ()+∞,0内一致收敛性。

解 i)当0[,)αα∈+∞时，由于 x x
e x e 0sin αα--≤，故，利用维尔斯特拉斯判别法可
得 ，
⎰
+∞
-0
sin xdx e x α关于0[,)αα∈+∞一致收敛。

ii)当(0,)α∈+∞时，可以考虑非一致收敛性。

事实上：取2,4
n A n π
π=+
1,2
n
n n n A A A π
α'=+=
'，则，],[,2
2
sin n n A A x x '∈≥
，因而
1
sin ()224
n
n n n n A A A x
x n n
A A e
xdx e dx e A A e ααα'''----'≥≥-=⎰
⎰ 故，
⎰
+∞
-0
sin xdx e x α关于(0,)α∈+∞非一致收敛。

例2 证明
⎰
+∞
-0
sin dx x
x
e x
α在[)+∞,0上一致收敛。

证明 典型的阿贝尔判别法所处理对象.由于
⎰
+∞
sin dx x x 收敛（广义积分的狄利克雷判别法：即2sin ,01
≤→⎰'A A xdx x
），因此，
关于α一致收敛.又x
e α-是关于x 的单调函数且一致有界，故由阿贝尔判别法可知该积分关
于[0,)α∈+∞一致收敛.
例3 证明：
⎰
+∞
sin dx x
xy
关于y 在],[b a 上一致收敛，（+∞<<<b a 0），但在()+∞,0上非一致收敛。

证明 首先注意到，这只是一个无穷限广义积分，0=x 不是奇点。

当y ∈],[b a 时，由于对任意的A >0,
()0
1cos 22
sin A
Ay xydx y y a
-=
≤≤⎰
，
且1
x 单调且一致有界（1>x 时），由狄利克雷判别法，⎰+∞0sin dx x
xy 一致收敛。

y ∈()+∞,0时，此时，0
sin A
xydx ⎰
不再一致有界，可能造成非一致收敛。

事实上，取n
y n A n A n n
n 1
,23,=='=ππ， π
π
ππ
π
πππ32sin 32sin sin 23
2
3
23=>=⎰
⎰⎰n n n n n n n dx n x n dx x n x dx x xy
故，⎰
+∞
sin dx x
xy
关于y ∈()+∞,0非一致收敛。

三、 含参量反常积分的性质
定理18-9（连续性） 设()y x f ,在[][]+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分 ()()dy y x f x I c
⎰
+∞
=
, （7）
在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上连续.
证 由定理18-8，对任一递增且趋于∞+的数列{}()c A A n =1，函数项级数 ()()()x u dy y x f x I n n n A A n n
∑∑⎰
∞
=∞
===
+1
1
1
, （8）
在[]b a ,上一致收敛，又由于()y x f ,在[][]+∞⨯,,c b a 上连续，故每个()x u n 都在[]b a ,上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数()x I 在[]b a ,上连续.
这个定理也表明，在一致收敛的条件下，极限运算和积分运算可以交换：
()()().,lim ,,lim
00dy y x f dy y x f dy y x f c
x x c
c
x x ⎰⎰
⎰
+∞
→+∞
+∞
→== （9）
定理18-10（可微性）设()y x f ,与()y x f x ,在区域[][]+∞⨯,,c b a 上连续.若
()()dy y x f x I c
⎰
+∞
=,在[]b a ,上收敛，()dy y x f c
x ⎰
+∞
,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上
可微，且
()().,dy y x f x I c
x ⎰
+∞
=' （10）
证 对任一递增且趋于∞+的数列{}()c A A n =1，令 ()().,1
dy y x f x u n n
A A n ⎰
+=
由定理18-3推得
()().,1
dy y x f x u n n
A A n ⎰+='
由
()dy y x f c
x ⎰
+∞
,在[]b a ,上一致收敛及定理18-8，可得函数项级数
()()∑∑⎰
∞
=∞
=+='
1
1
1
,n n A A x n dy y x f x u n n
在[]b a ,上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得
()()()()∑∑⎰
⎰
∞
=∞
=∞
+=='
='+1
1
,,,1
n n c
x A A x n dy y x f dy y x f x u x I n n
或写作
()().,,⎰⎰+∞+∞
∂∂=c x c
dy y x f x dy y x f dx d
最后结果表明在定理条件下，求导运算和积分运算可以交换. 定理18-11(可积性) 设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若()()⎰+∞=c
dy y x f x I ,在[]b a ,上
一致收敛，则()x I 在[]b a ,上可积，且
()().,,dx y x f dy dy y x f dx c
b
a
b a
c
⎰⎰⎰⎰
+∞+∞
= （11）
证 由定理18-9知道()x I 在[]b a ,上连续，从而()x I 在[]b a ,上可积.
又由定理18-9的证明可以看到，函数项级数（8）在()x I 在[]b a ,上一致收敛，各项()x u n 在[]b a ,上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有
()()()∑⎰∑⎰⎰
⎰∞
=∞
=+==11
1
,n b
a
n b
a
A A n
b
a
n n
dy y x f dx dx x u dx x
()∑⎰
⎰∞
=+=1
1
,,n A A b
a
n n
dx y x f dy （12）
这里最后一步是根据定理18-6关于积分顺序的可交换性.（12）式又可写作
()().,dx y x f dy dx x I b
a
b
a
c
⎰⎰
⎰+∞=
这就是（11）式.
当定理18-11中x 的取值范围为无限区间[)+∞,a 时，则有如下定理： 定理18-12 设()y x f ,在[][)+∞⨯+∞,,c a 上连续.若 （i ）
()dx y x f a
⎰
+∞
,关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，()dy y x f c
⎰
+∞
,关于x 在任何
闭区间[]b a ,上一致收敛； （ii ）积分
()⎰
⎰
+∞
+∞
a
c
dy y x f dx |,|与
()⎰
⎰+∞
+∞
c
a
dx y x f dy |,| （13）
中有一个收敛，
则（13）中另一个积分也收敛，且
()()⎰⎰
⎰
⎰
+∞+∞
+∞+∞
=c
a
a
c
dx y x f dy dy y x f dx .,, （14）
证 不妨设设（13）中第一个积分收敛，由此推断得
()⎰
⎰
+∞
+∞
a
c
dy y x f dx ,
也收敛.当c d >时，
()()⎰⎰
⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
-=
a
c
d
c
a
d dy
y x f dx dx y x f dy I ,,()()()⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰
+∞
+∞+∞
+∞
--=
a
d
a
d c
d
c
a
dy y x f dx dy y x f dx dx y x f dy .,,, .
根据条件（i ）及定理18-11，可推得
()⎰
⎰
+∞
+∞
=
a
d
d dy y x f dx I ,
()()⎰⎰⎰
⎰
+∞+∞+∞
+≤
A
d
A
a
d
dy y x f dx dy y x f dx .|,|, (15)
有条件（ii ），对于任给的0>ε，有a G >，使当G A >时，有
()2
|,|ε
<
⎰⎰
+∞
+∞
dy y x f dx d
A
选定A 后,由
()dy y x f c
⎰
+∞
,的一致收敛性，存在c M >，使得当M d >时有
()()
.2,a A dy y x f c
-<
⎰
+∞
ε
把这两个结果应用到（15）式，得到
,2
2
εε
ε
=+
<
d I
即,0lim =+∞
→d d I 这就证明了（14）式.
例1 计算)0(,2cos )(0
2
2>=⎰
+∞
-a yxdy e y I x
a
解 记yx e f x
a 2cos 2
2-=，则[)],[,0d c C f ⨯+∞'∈，yx xe f x
a
y 2sin 22
2--=，
且2
2x a y xe
f -≤，而
⎰+∞-a
x a dx xe 2
2收敛，故dx f a
y ⎰
+∞
一致收敛，由可微性定理，
()y I y f dx +∞
'=
⎰
⎰+∞-∞+--=02022cos 2|2sin 12222yxdx e a y yx e a x a x a )(22y I a
y
-=
解之，22
/()y a I y ce
-=。

其中a
dx e
I c x a 2)0(0
2
2π
=
=
=⎰
∞
+-。

第三节 欧拉积分
在微分方程、概率论等应用领域经常遇到如下的含参量积分：
(),0,01>=Γ-+∞
-⎰s dx e x s x s （1）
()()0,0,1,1
1
1>>-=--⎰q p dx x x p q B q p （2）
在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，其中前者又称为格马函数（或许写作Γ函数），后者称为贝塔函数（或写作B 函数）.下面我们分别讨论这两个函数的性质.
一 、 Γ函数
Γ函数可写成如下两个积分之和：
()()(),0
11
1s J s I dx e x dx e x s x s x s +=+=Γ-+∞
---⎰⎰
其中()s I 当1≥s 时是正常积分，当10<<s 时是收敛的无界函数反常积分（可用柯西判别法推得）；()s J 当0>s 时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得），所以含参量
积分（1）在0>s 时收敛，即Γ函数的定义域为0>s . 1. ()s Γ在定义域0>s 内连续且可导
在任何闭区间[]b a ,()0>a 上，对于函数()s I ，当10≤≤x 时有x a x
s e x e
x
----≤11，由于
dx e x x a --⎰
1
1收敛，从而()s I 在[]b a ,上一致收敛；对于()s J ，当+∞<≤x 1时，有
x
b x
s e x e
x ----≤11，由于dx e x x b -+∞
-⎰11收敛，从而()s J 在[]b a ,上也一致收敛，于是()s Γ在
0>s 上连续.
用上述相同的方法考察积分
()
⎰⎰
+∞----+∞
=∂∂0110
.ln xdx e x dx e x s
x s x
s
它在任何闭区间[]b a ,()0>a 上一致收敛.于是由定理18-10得到()s Γ在[]b a ,上可导，由
b a ,的任意性，()s Γ在0>s 上可导，且
()⎰+∞
-->=Γ'0
1.0,ln s xdx e x s x s
仿照上面的办法，还可推得()s Γ在0>s 上存在任意阶导数：
()
()⎰+∞
-->=Γ
1.0,)(ln s dx x e x s n x s n
2. 递推公式()()s s s Γ=+Γ1 对下述积分应用分部积分法，有
⎰⎰
----+-=A
x s A
x s A
x s dx e x s e x dx e x 0
100
|
⎰---+-=A
x s A
s dx e x s e
A 0
1
让+∞→A 就得到这个函数的递推公式：
()()s s s Γ=+Γ1 （3）
设,1+≤<n s n 即,10≤-<n s 应用递推公式（3）n 次可得到
()()()() =-Γ-=Γ=+Γ111s s s s s s ()()().1n s n s s s -Γ--= （4）
公式（3）还指出，如果已知()s Γ在10≤<s 上的值，那么在其他范围内的函数值可又它计算出来.
若s 为正数1+n ，则（4）式可写成
()()()⎰+∞
-==Γ⋅-=+Γ0
!!11211n dx e n n n n x . (5)
3. Γ函数图像的讨论
对一切0>s ，()s Γ和()s Γ''恒大于0，因此()s Γ的图像位于x 轴上方，且是向下凸的.因为()()121=Γ=Γ，所以()s Γ在0>s 上存在唯一的极小点0x 且().2,10∈x 又()s Γ在
()0,0x 内严格减；在()+∞,0x 内严格增.
由于()()()()01>+Γ=
Γ=Γs s
s s
s s s 及()()111lim 0=Γ=+Γ+
→s s ，故有 ()().1lim lim 0
+∞=+Γ=Γ+
+→→s
s s s s
由（5）式及()s Γ在()+∞,0x 上严格增可推得
().lim +∞=Γ+∞
→s s
综上所述，Γ函数图像如图19-2.
图18-2
4. 延拓()s Γ 改写递推公式（3）为
()().1s
s s +Γ=
Γ （6） 当01<<-s 时，（6）式右端有意义，于是可应用（6）式来定义左端函数()s Γ在()0,1-内
的值，并且可推得这时().0<Γs 用同样的方法，利用()s Γ已在()0,1-内有定义这一事实，由（6）时又可定义()s Γ在()1,2--内的值，而且这是().0>Γs 依次下去把()s Γ延拓到整个数轴（除了 ,2,1,0--=s 以外），如图18-2所示. 5. ()s Γ的其他形式
在应用上，()s Γ也常以如下形式出现.如令2y x =，则有
()⎰
⎰+∞
---+∞->==Γ0
120
1).0(22
s dy e y dx e x s y s x s
令py x =，就有
()⎰
⎰+∞
---+∞->>==Γ0
10
1).0,0(p s dy e y p dx e x s py s s x s （7）
二、 B 函数
B 函数（2）当1<p 时，是以0=x 为瑕点的无界函数反常积分；当1<q 时，是以1=x 为瑕点的无界函数反常积分.应用柯西判别法可证得当0,0>>q p 时这两个无界函数反常积分都收敛，所以函数()q p B ,的定义为0,0>>q p . 1．()q p B ,在定义域.0,0>>q p 内连续 由于对任何0,000>>q p 成立不等式
()
(),,,11001
11
100q q p p x x x x q p q p ≥≥-≤-----
而积分
()
dx x x
q p ⎰
+∞
---0
1
01
01收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法知()q p B ,在
+∞<≤+∞<≤q q p p 00,上一致收敛.因而推得()q p B ,在 0,0>>q p 内连续.
2. 对称性：()()p q B q p B ,,= 作变换y x -=1，得
()()
dx x x
q p B q p ⎰---=1
1
1
1,
().,)
1(1
1
1
p q B dy y y q p =-=⎰--
3. 递推公式
()()(),1,01,1
1
,>>--+-=
q p q p B q p q q p B （8）
()()(),0,1,11
1
,>>--+-=
q p q p B q p p q p B （9）
()()()()()
()1,12111,---+-+--=
q p B q p q p q p q p B ()1,1>>q p 证 下面只证公式（8），公式（9）可由对称性及公式（8）推得，而最后一个公式则可由公式（8），（9）推得. 当1,0>>q p 时，有
()()dx x x q p B q p ⎰---=1
1
11,
()
()dx x x p
q p
x x
q p
q p ⎰---+
-=
--101
11
2111 [
()]()dx x x x x p q q p p ⎰------=-10
1
21111
()()⎰⎰---------=
10
1011
211111dx x x p q dx x x p q q p q p
()(),,1
1,1q p B p
q q p B p q ----=
依项并整理就得（8）. 4. ()q p B ,的其他形式
在应用中B 函数也常以如下形式出现.如令,cos 2
ϕ=x 则有
().cos sin 2,1220
12ϕϕϕπ
d q p B p q --⎰= （10）
令()
,1,111,12
y dy dx y x y y x +=+=-+=
则有
()()
⎰
∞
++-+=0
1
.1,dy y y q p B q
p p 考察
()
⎰
∞
++-+1
1
.1dy y y q
p p 令t y 1=，则有 ()()
⎰
⎰∞
++-+-+-=+1
011
1.11dt t t dy y y q p q q p p 所以
()()
⎰
+--++=1
1
1.1,dy y y y q p B q
p q p 三 、 Γ函数与B 函数之间的关系
当n m ,为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得
()()1,1
1
,--+-=n m B n m n n m B
().1,1
1
2211m B m n m n n m n +-+--+-=
又由于()⎰
=
=
-1
1,1
1,m
dx x m B m 所以 ()()()!
1!
11112211,--⋅+-+--+-=
m m m m n m n n m n n m B
()()(),!
1!1!1-+--=
n m m n 即
()()()()
.,m n m n n m B +ΓΓΓ=
（11） 对于任何正实数q p ,也有相同的关系：
()()()()
().0,0,>>+ΓΓΓ=
q p q p q p q p B （12）
习题十八 1.求下列极限
(1)
⎰-→+1
1
2
20lim dx x αα (2) ⎰→2
20cos lim xdx x αα
2.设dy e
x F x x xy
⎰-=2
2
)(,求)('x F . 3.求下列极限
(1) (2)⎰+→10211lim
xy dy x
4.设函数)(xy f 在],[],[d c b a D ⨯=上连续，证明：对于
D x ∈∀),(μ,dy y x f x I c
⎰=μ
μ),(),(存在，并且),(u x I 在D 上连续.
5.从等式
x
e e dy e
bx
ax b
a xy
----=
⎰出发，计算积分)0(0>>-⎰+∞--a b dx x
e e bx
ax
6.求下列积分
(1)
)2
:(0
2
2
2
22
2π
=
-⎰⎰
+∞-+∞
--ax e dx x e e x x b x a
可利用公式提示
(2)
dt t
xt
e t
sin 0
⎰+∞
- (3)
dx x
xy
e x
2
cos 1-⎰+∞
- 7.求下列函数的导数
dy
y
xy
x F x
b x a ⎰
++=sin )()1(； dsdt s t f x F x x
x
t
⎰
⎰=2
sin ),()()2(；
dy
y
x x x F ⎰
+=1
2
2
)()3(；
dy xy e x F x xy ⎰-=0
cos )()4(. 8.利用)10(1cos 2-1-121
2022<<=+⎰γθγθγγπ
πd 求定积分θθπd r r r I ⎰+-20
2)cos 21ln()(。

9.设函数dy y
xy x f ⎰+∞
+=121cos )(试求)(lim 0x f x →和)(lim x f x +∞→ 10.求无穷积分.cos 1)(1
2dx x x x f ⎰+∞-= 11.求含参变量无穷积分.)cos(0dy xy e y ⎰+∞-
12.计算)25(Γ,)25(-Γ,)2
1(n +Γ,)-21
(n Γ.
13.计算.sin ,sin 20
122
02du u du u n n ⎰⎰+ππ 14.证明下列各式： (1)dx x a a 1
10)1(ln )(-⎰=Γ,0>a . (2)2
2104π=+⎰+∞
x dx 15.证明公式)1,(),1(),(+++=q p B q p B q p B
16.求函数dx x
x a a F ⎰+∞
-=0
2)1sin()(的不连续点，并作函数)(a F 的图像.。