第十八章 含参量积分

第十八章 含参量积分

第一节 含参量正常积分

从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有

()()[].,,,⎰=d

c

b a x dy y x f x I （1）

一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的

x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值

的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()()

[].,,, b a x dy y x f x d x

c ∈=⎰ （2）

图18-1

用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.

下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性.

定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数 ()()dy y x f d

c

⎰=,x I

在[]b a ,上连续.

证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>∆x 或0<∆x ），于是 ()()()[]⎰-∆+=

-∆+d

c

dy y x f y x x f x I x x I .,,)( （3）

由于()y x f ,在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个整数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要

,||,||2121δδ<-<-y y x x

就有

()().|,|2211ε<--y x f y x f （4） 所以由(3),(4)可推得；当.||ε<∆x

()()()()()⎰⎰-=<-∆+≤-∆+d

c

d c

c d dx dy y x f y x x f x I x x I .|,,|||εε

这就证得()x I 在[]b a ,上连续.

同理可证：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则含参量y 的积分

()()dy y x f y J b

a

⎰=, （5）

在()d c ,上连续.

对于定理18-1的结论也可以写成如下的形式：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则对任何[]b a x ,0∈，都有

()()⎰

⎰→→=d

c

d

c x x x x dy y x f dy y x f |,lim ,lim

这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 定理18-2（连续性） 设二元函数()y x f ,在区域

(){()()}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,

上连续，其中()x c ，()x d 为[]b a ,上连续函数，则函数

()()()

()

dy y x f x F x d x c ⎰

=, （6）

在[]b a ,上连续

证 对积分（6）用换元积分法，令

()()()().x c x d t x c y -+=

当y 在()x c 与()x d 取值时，t 在[]1,0上取值，且

()(()).dt x c x d dy -=

所以从（6）式可得

()()()

()

dy y x f x F x d x c ⎰

=,

=

()()()()()()()()dt x c x d x c x d t x c x f --+⎰10

,.

由于被积函数

()()()()()()

x c x d x c x d t x c x f --+])(,[

在矩形区域[][]1,0,⨯b a 上连续，由定理18-1得积分（6）所确定的函数()x F 在[]b a ,上连续.

下面讨论含参量积分的求导与积分运算的可交换性. 定理18-3（可微性） 若函数()y x f ,与其偏导数()y x f x

,∂∂

都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则

()()dy y x f x I d

c

⎰=,

在[]b a ,上可微，且

()()dy y x f x dy y x f dx d d c d

c

⎰⎰∂∂=,,. 证 对于[]b a ,内任意一点x ，设[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点，则讨论单侧导数），则

()()()()dy x

y x f y x x f x x I x x I d c ⎰∆-∆+=∆-∆+,,

由微分学的拉格朗日中值定理及()y x f ,在有界闭域R 上连续（从而一致连续），对任给正数

ε，存在正数δ，只要当δ<∆x 时，就有