第二章 质点组力学

2.1 质点组 质点组：许多相互联系着的质点所组成的系统； 质点组：许多相互联系着的质点所组成的系统； 内力：质点组中质点间相互作用的力， 内力：质点组中质点间相互作用的力，质点组中诸内力的总和 必等于零； 必等于零； 外力：质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力； 外力：质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力； 孤立系或闭合系：质点组不受任何外力作用； 孤立系或闭合系：质点组不受任何外力作用； 质心：在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定。 质心：在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定。 如果以这个特殊点作为参照点，又常能使问题简化， 如果以这个特殊点作为参照点，又常能使问题简化，这个特殊 点叫做质点组的质量中心； 点叫做质点组的质量中心；
n d 2 ri mi 2 = ∑ Fi ( e ) ∑ dt i=1 i =1 n
上式左端
dri d 2r d n d n dP ∑ mi dt 2 = dt ∑ (mi dt ) = dt ∑ mi vi = dt i =1 i =1 i =1
n
n dP = ∑ Fi ( e ) 所以有 dt i =1 即质点组的动量对时间的微商， 即质点组的动量对时间的微商，等于质点组中诸外力之矢量
n n d n ' ' ' (e) ɺ (ri × mi ri ) = ∑ (ri × Fi ) + ɺɺ × ∑ mi ri ' rC ∑ dt i =1 i =1 i =1
'
' 为质心， 上式最终简化为： 因C为质心，故 ∑ mi ri = 0 ，上式最终简化为： 为质心 i =1
和，这就是质点组的动量定理。 这就是质点组的动量定理。
质心运动定理
n n
rc = OC =
→
∑m r
i =1 n
n
i i
可得： mi ri = rc ∑ mi = mrc 可得： ∑
i =1 i =1
∑m
i =1
i
上式两端对时间微分 ∑ mi vi = mv c i =1 n 于是有 m dv c = Fi ( e ) ∑ dt i =1 上式表明：质点组质心的运动，就好像一个质点的运动一样， 上式表明：质点组质心的运动，就好像一个质点的运动一样， 此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力， 此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力， 等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和， 等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质心运动定 理。故质点组受已知外力作用时，每一质点如何运动虽然无法 故质点组受已知外力作用时， 知道，但此质点组质心的运动却可完全确定。 知道，但此质点组质心的运动却可完全确定。
第二章 质点组力学
质点组力学问题比起质点力学的一些问题要复杂得 它不仅要了解质点组整体的运动特征， 多 ， 它不仅要了解质点组整体的运动特征，有时还要了 解质点组内部各质点相对运动的特征。解决质点组问题 解质点组内部各质点相对运动的特征。 所依赖的基本理论仍然是动力学三大定理及与之相对应 的三个守恒定律。 的三个守恒定律。
2.3.2 动量矩守恒定律 如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点O的合力矩 如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点 的合力矩 为零，由动量矩定理可得： 为零，由动量矩定理可得：
J ＝恒矢量
质点组不受外力作用时，或虽受外力作用， 质点组不受外力作用时，或虽受外力作用，但这些力对某 固定点的力矩的矢量和为零，则对此定点而言， 固定点的力矩的矢量和为零，则对此定点而言，质点组的 动量矩为一恒矢量， 动量矩为一恒矢量 ，这个关系称作质点组动量矩守恒定律 。
表示，等于诸外力对同一定点O的力矩的矢量和 等式右端用 M 表示，等于诸外力对同一定点 的力矩的矢量和 。 这样上式可简写为： 这样上式可简写为：
dJ =M dt
质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商， 质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于诸外力对同 一点的力矩的矢量和，这种关系叫做质点组的动量矩定理。 一点的力矩的矢量和，这种关系叫做质点组的动量矩定理。
d 2 ri dri d 又 ri × 2 = (ri × ) dt dt dt
故上式可写成： 故上式可写成：
n d n dri ( ri × mi ) = ∑ ( ri × Fi ( e ) ) ∑ dt i =1 dt i =1
等式左端用J 和。
表示，等于诸质点的动量对定点O动量矩的矢量 表示，等于诸质点的动量对定点 动量矩的矢量
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例一： 例一：2.1 求均匀扇形薄片的质心， 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为 a ，所对的圆心 角为
2θ
。并证半圆片的质心离圆心的距离为 4 a 。
3π
2.2动量定理与动量守恒定律 动量定理与动量守恒定律 2.2.1动量定理 动量定理 假定由n个质点组成的质点组 ， 各质点的质量是m 假定由 个质点组成的质点组，各质点的质量是 1 ， m2 ， 个质点组成的质点组 …mn ， 位于 1 ， P2…Pn ， 这些点对于某一指定的参照点 位于P 这些点对于某一指定的参照点O 作用在质点P 的位矢是 r1 , r2 … rn ，作用在质点 i上诸力的合力为 Fi ，其中
2.4 动能定理与机械能守恒律 质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外 力及内力所作元功之和， 力及内力所作元功之和， 即
1 ɺ2 (e) (i ) d ( mi ri ) = dTi = Fi ⋅ dri + Fi ⋅ dri 2
对整个质点组而言： 对整个质点组而言：
n n 1 ɺ2 (e) (i ) d ∑ ( mi ri ) = dT = ∑ Fi dri + ∑ Fi dri i =1 i =1 i =1 2 n
rC
。选取一原点在质心上随质心平动的动坐 质点组中任一点的动力学方
标系。 则由非惯性动力学， 标系。 则由非惯性动力学，
d 2 ri ' 程为： 程为： mi = Fi ( e ) + Fi (i ) + (−mi ɺɺ ) rC 2 dt
等式右端最后一项为惯性力，应当作外力看待。 等式右端最后一项为惯性力，应当作外力看待。 将等式两端左面矢乘 ri ，并对i求和，则内力矩仍互相抵消， 并对 求和，则内力矩仍互相抵消， 求和 可得： 可得：
假 定 由 n 个 质 点 组 成 的 质 点 组 ， 各 质 点 的 质 量 是 m1 ， m2 ， …mn ， 位于 1 ， P2…Pn ， 这些点对于某一指定的参照 位于P 则质心C对此同一点的位矢 点O的位矢是 r1 , r2 … rn，则质心 对此同一点的位矢 的位矢是 满足以下关系： 满足以下关系：
∫ ydm ∫ dm
zc =
∫ xdm ∫ dm
yc =
∫ zd m ∫ dm
=0
如果质心恰好在坐标原点， 如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为
rc =
∑ m r ∑ m
i i
i
= 0 ⇒
∑
m i ri
质心和重心的区别
从定义上
质心： 质心： 质点组的全部质量可认为集中在某一点上 ， 这一点我们就叫做质点组的质心。 这一点我们就叫做质点组的质心。 重心： 作用于质点系是重力的合力的作用点。 重心： 作用于质点系是重力的合力的作用点。 二者不是同一点。 二者不是同一点。 在地球表面附近， 特殊地，在地球表面附近，认为重力加速度是 常矢量时，物体的质心和重心相互重合。 常矢量时，物体的质心和重心相互重合。
例一： 例一：p151-2.7 的光滑半球， 质量为 M，半径为 a 的光滑半球，其底面放在光滑的水平面 上。有一质量 m 为的质点沿此半球面滑下。设质点的初位置 为的质点沿此半球面滑下。 与球心的联线和竖直向上的直线间所成的角为 α ，并且起始 时此系统是静止的， 时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的联线和竖直向 上直线间所成之角为θ 时θɺ 之值。 之值。
) 表示， 表示，由牛顿第二定律， 内力以 Fi (i )表示，外力以 Fi (e表示，由牛顿第二定律，质点
Pi的运动微分方程为： 的运动微分方程为：
d 2 ri mi 2 = Fi ( e ) + Fi (i ) dt
(i = 1,2,3… n)
对质点组中每一质点写出这样的微分方程，共得到 个微 对质点组中每一质点写出这样的微分方程，共得到n个微 分方程。 个方程相加， 分方程。将n个方程相加，得： 个方程相加 n n n d 2 ri (e) mi = ∑ Fi + ∑ Fi ( i ) ∑ dt 2 i =1 i =1 i =1 由牛顿第三定律，内力总和为零。上式变为： 由牛顿第三定律，内力总和为零。上式变为：
2.3.3 对质心的动量矩定理 假定由n个质点组成的质点组 ， 各质点的质量是m 假定由 个质点组成的质点组， 各质点的质量是 1 ， m2 ， 个质点组成的质点组 …mn ， 位于 1 ， P2…Pn 诸点 ， 这些点对于某一指定的参照 位于P 诸点， 对质心C的位矢为 ' 而质心C对 点O的位矢是 r1 , r2 … rn ，对质心 的位矢为 ri ，而质心 对 的位矢是 O的位矢则为 的位矢则为
n
2.2.2 动量守恒定律 如质点组不受外力或外力矢量和为零，则： 如质点组不受外力或外力矢量和为零， 恒矢量， 因此 P = mv c＝恒矢量，即 vc ＝恒矢量
dP =0 dt
外力为零时，质点组的动量是一恒矢量， 外力为零时，质点组的动量是一恒矢量，它的质心作惯性运 动，这个关系，叫做质点组的动量守恒定律。 这个关系，叫做质点组的动量守恒定律。
(ri ' × Fi ( e ) ) 用 M ' 表示，代表所有外力对质心的动量矩之 表示， 将∑
n
和。
i =1
dJ ' 则上式简化为： 则上式简化为： =M' dt
即质点组对质心的动量矩对时间的微商等于所有外力对质心 的力矩之和，这就是质点组对质心的动量矩定理。 的力矩之和，这就是质点组对质心的动量矩定理。 可见，在质心坐标系中，内力矩与惯性力矩互相抵消。 可见，在质心坐标系中，内力矩与惯性力矩互相抵消。 跟对 固定点的动量矩定理形式相同，只多一撇号。 固定点的动量矩定理形式相同，只多一撇号。
rc
rc = OC =
在直角坐标系
∑mr
i =1 n
n
i i
∑m
i =1
i
xc =
∑
n
i =1 n
m i xi mi
∑
yc =
∑
n
i =1 n
m i yi
∑
zc =
mi
∑m
i =1 n i =1
n
i
zi
i
i =1
i =1
∑m
质量连续分布的体系: 质量连续分布的体系
r
在直角坐标系
xc =
c
=
∫ rdm ∫ dm
vM
α
u
θ
2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.3.1 动量矩定理
n n d 2 ri (e) (i ) 由质点组动力学方程出发 ∑ mi 2 = ∑ Fi + ∑ Fi dt i =1 i =1 i =1 n
对等式两端左面矢乘 ri n n n d 2 ri 得到： 得到： (r × m ) = ∑ (ri × Fi (i ) ) + ∑ (ri × Fi ( e ) ) ∑ i i dt 2 i=1 i =1 i =1 诸内力成对出现，量值相等，方向相反，并在同一直线上， 诸内力成对出现，量值相等，方向相反，并在同一直线上，所以对 定点O的力矩之和为零。 定点 的力矩之和为零。 的力矩之和为零
例一、在可绕固定水平轴转动的滑轮上悬一轻绳， 例一、在可绕固定水平轴转动的滑轮上悬一轻绳，绳 的下端到滑轮轴的竖直距离分别为l及 。 的下端到滑轮轴的竖直距离分别为 及l’。两个质量分 别为m及 的人抓着绳子的两端同时开始向上爬 的人抓着绳子的两端同时开始向上爬， 别为 及m’的人抓着绳子的两端同时开始向上爬，且 同时到达滑轮。假定滑轮的质量可略去不计， 同时到达滑轮。假定滑轮的质量可略去不计，且所有 阻力均不考虑，试求二人上爬所需的时间T。 阻力均不考虑，试求二人上爬所需的时间 。
n
n d n ' ' ɺ (ri × mi ri ) = ∑ (ri ' × Fi ( e ) ) ∑ dt i =1 i =1
n ' ɺi ' ) 用 J ' 表示，代表质点组对质心的动量矩。 表示，代表质点组对质心的动量矩。 将 ∑ (ri × mi r i =1