浅论插值法及其应用_瞿威
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b
对于积分I=蘩af（x）dx，若 被 积 函 数 不 清 楚 或 其 原 函 数 不 易 求 ，通 常 根 据f（x）在 积 分 区 间 ［a，b］上 的 数 据 表 ，构 造 插 值 多 项 式 P（x）代 替 f（x），再 导 出 积 分 值 。
（3）数 据 拟 合 这仍然是通过给定的一组测定的离散数据求自变量与因 变量的近似表达式。 鉴于插值法其近似标准是在插值点处的 误差为零，考虑到在实际应用中，有时不要求具体某些点的误 差为零，从而考虑整体的误差限制，因此不要求所求函数通过 所有的节点， 而是要求所求近似函数反映原函数整体的变化 趋势，为达到此目的，我们可用数据拟合的方法。 插值法由于其计算的难度不高，容易通过计算机实现，现 在其在工程计算、算法理论等方面有非常重要的应用。
一、注意对给定条件中表达式范围的显性转化
2
2
2
2
例1：若2sin x+sin y=3sinx，求sin x+sin y的取值范围。
2
2
2
解析：利用已知三角方程中的sin y=3sinx-2sin x，代入sin x+
2
2
2
2
2
2
sin y， 即有sin x+sin y=sin x+3sinx-2sin x=-sin x+3sinx， 此处
述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立
微积分的社会背景。
牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，给
出了数列极限的描述性定义 ：“如果当n无限增大时 ，an无限地
接近于常数A，那么就说an以A为极限。 ”
之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建
立的ε-N语言，给微积分提供了严格的理论基础。 所谓an以A为
有限与无限常常表现为不可调和性。 例如，把有限情形的 法则原封不动地扩展到无限的情形常常会发生矛盾。 但这并 不意味着在极限的观念里有限与无限是格格不入的， 相反极 限思想是有限与无限的对立统一。
近似与精确是对立统一关系， 两者在一定条件下也可相 互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。 数学中 的 “部 分 和 ”、“平 均 速 度 ”、“圆 内 接 正 多 边 形 面 积 ”，分 别 是 相 应 的 “无 穷 级 数 和 ”、“瞬 时 速 度 ”、“圆 面 积 ”的 近 似 值 ，取 极 限 后就可得到相应的精确值。 这都是借助于极限的思想方法，从 近似来认识精确的。 这反映了极限思想是近似与精确的对立 统一。
Пn
其 中li（x）= j=0
j≠i
x-xj 为 插 值 基 函 数 ，拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 在 理 xi-xy
论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推
导和形象的描述算法。 但是它也有一些缺点： 当插值节点增
加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，
这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。 此时我们通常采用
求和最早的例子。
到 了16世 纪 以 后 ， 欧 洲 处 于 资 本 主 义 的 萌 芽 时 期 ， 生 产 力
得到极大发展。 生产和科学技术中发生了大量的变量问题，如
曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等，
初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、
新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描
2
2
sinx的范围并非是-1≤sinx≤1， 而是在sin y=3sinx-2sin x中隐
2
2
含的条件为：sin y∈［0，1］， 从而3sinx-2sin x∈［-1，1］， 所 以
sinx在 本 题 中 的 真 正 范 围 是 0≤sinx≤
1
或sinx=1。
2
所以sin x+
2
2
sin y取值范围是［0，
个局部范围内受到影响。
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的值。
解 析 ： 由 tan （α-β）= 1 ，tanβ=- 1 可 得 tan ［（α-β）+β］=
2
7
1-1
1+1
2 7 = 1 =tanα，tan（2α-β）=tan［（α-β）+α］= 2 3 =1。
1- 1·（- 1 ） 3
1- 1
27
6
如果我们简单地认为由于α、β∈（0，π）， 因此有2α-β∈（-π，2π），
4.极 限 中 的 辩 证 思 想
极限思想是一种重要的数学思想， 它蕴涵着丰富的辩证
思想， 反映了数学发展的辩证规律， 即极限思想是过程与结
果、有限与无限、近似与精确、对立统一。
极限思想充分体现了结果与过程的对立统一。 比如，当n
趋于无穷大时，数列{ 1 }的极限为0。 一方面，数列{ 1 }中任何
微积分思想源自古希腊人的穷竭法。 古希腊最接近积分的是
阿 基 米 德 于 公 元 前 225年 求 抛 物 线 弓 形 面 积 的 工 作 ， 他 在 抛 物
线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新
的三角形， 这三角形与剩余空间同底同高， 这样无限进行下
去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数
任意分布的，但是在实际应用中出现了很多等距节点的情形，
这时的插值公式可以进一步简化， 在牛顿均差插值多项式中
各阶均差用相应的差分代替， 就得到了各种形式的等距节点
插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。
（3）分 段 插 值
在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的
次 数 必 然 增 高 ，而 高 次 插 值 会 产 生Runge现 象 ，不 能 有 效 地 逼
近被插函数， 有学者提出用分段的低次多项式分段近似被插
函数，这就是分段插值法。 构造分段插值多项式的方法仍然是
基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，
再对基函数作线性组合。 它的优点在于只要节点间距充分小，
总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是
它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某
周刊 2009年第42期（下卷） ○ 数学教学与研究
浅论插值法及其应用
瞿威
（无锡广播电视大学，江苏 无锡 214011）
摘 要： 本文通过讨论插值法的地位和作用，比较各种 插值法的优缺点，以及简单说明相互间的联系。
关键词： 插值法 插值多项式 应用
1.问 题 的 提 出 在 科 学 研 究 和 生 产 实 践 中 遇 到 的 函 数 y=f（x）， 虽 然 从 原 则 上 说 它 在 某 个 区 间 ［a，b］ 上 存 在 ， 但 是 通 过 实 验 通 常 只 知 道 在 区 间 ［a，b］ 上 的 一 系 列 点 的 函 数 值 ， 也 就 是 说 我 们 只 知 道 函 数 的一张表。 这对于研究物质的运动规律很不方便，更不能计算 出未给出点的函数值。 这就需要建立函数的某种近似表达，而 插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 例如，某集团公司 试图分析该公司的产量与生成费用之间的关系， 从所属企业 中随机抽选了5个样本，得到了如下数据：
2.数 学 表 达 表1
根 据 函 数 的 已 知 数 据 表 1 求 函 数 f （x） 的 近 似 解 析 表 达 式 φ（x）的方法。 插值法的必要条件是误差函数或余项R（x）=f（x） -φ（x）满足关系式R（xI）=0，I=1，2，3，… ，n，由 于 代 数 多 项 式 是 简单而又便于计算的函数， 因此经常采用多项式作为插值函 数，称为多项式插值。 多项式插值法有拉格朗日插值法、牛顿 插值法、分段插值法和样条插值法等，其基本思想都是用高次 代 数 多 项 式 或 分 段 的 低 次 多 项 式 作 为 被 插 值 函 数 f （x） 的 近 似 解析表达式。
n
n
一项无论n多大都不是0，体现了过程与结果的对立性。 另一方
面 ，随 着n无 限 增 大 ，其 项 越 来 越 靠 近 0， 经 过 极 限 可 转 化 为 0，
体现了过程与结果的统一性。 所以极限思想是过程与结果的
对立统一。
如果希望由这些数据合理的估计出它在其他产量时的生 成费用，这就是一个典型的插值问题。
得到2α-β的值为：- 3 π、 1 π、 5 π，那就错了。 事实上，因为α， 444
β∈（0，π），tanβ=-
1
来自百度文库
∈（-
%
姨
3
，0），所以（ 5π ，π），又因为tanα= 1
7
3
6
3
∈（0，
%
姨
3
），所以α∈（0， π ），因此-π＜2α-β＜- π ，故2α-β=- 3π 。
3
6
2
4
三、注意定义域中的隐含条件的显性转化
例3：求函数f（x）= sinxcosx 的递增区间。 1+sinx+cosx
（4）Hermite插 值 分段线性插值的算法简单、计算量小，然而从整体上看， 逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等， 若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函 数值， 而且要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同 的 若 干 阶 导 数 值 ，这 类 问 题 称 为 Hermite插 值 。 4.应 用 插值法除用于求函数值外，还有多种用法。 （1）数 值 微 分 方 法 数值微分法就是利用等距节点上的插值多项式求函数的 导数值的方法。 常用的两点公式和三点公式就是用分段线性 插值和分段抛物插值法导出的。 值得注意的是这两种公式只 适合节点处的导数值。 在区间内的其他点处求导数最好用样 条插值函数。 （2）数 值 积 分 法
牛顿插值多项式算法。
（2）牛 顿 插 值 多 项 式
由数表1构造的牛顿插值多项式为：
n-1
П N（x）=f（x0）+f（x0，x1）（x-x0）+…+f（x0，x1，x2，…，xn） （x-xi）。 i=0
用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一
阶差商的逐次计算。 一般情况讨论的插值多项式的节点都是
5
］∪{2}。
4
二、注意对角的范围的显性转化
例2：已知tan（α-β）= 1 ，tanβ=- 1 且α、β∈（0，π），求2α-β
2
7
3.常 用 多 项 式 插 值 公 式 构 造
（1）拉 格 朗 日 插 值 多 项 式
n
∑ 由数表1构造的n次拉格朗日插值多项式Pn（x）= yklk（x）， k=0
周刊
例谈三角问题中隐性问题的显性转化
周永春
（南通市冠今中学，江苏 海门 226100）
在三角函数的有关问题中，学生往往忽略题目所给的隐
含条件，在解给值求值或给值求角的问题中常常出现漏解、增
解、错解，或者经常会在某个地方卡住而解不下去，题目相对
就变成了难题， 其根本原因是学生对题设条件中的隐含条件
的挖掘不够。 笔者试举下面四例，以供大家参考。
又如曲线形与直线形有着本质的差异， 但在一定条件下 也可相互转化， 正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于 等同起来了。 ”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的 重要手段之一。
5.极 限 思 想 在 微 积 分 中 的 作 用 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。 可以说数 学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。 例如微积分中许 多 概 念 都 把 极 限 作 为 描 述 不 同 特 性 的 重 要 工 具 ，例 如 函 数 f（x） 在x0点 连 续 的 定 义 、函 数f（x）在x0点 导 数 的 定 义 、函 数 f（x）在 ［a，b］上 的 定 积 分 的 定 义 、数 项 级 数 的 敛 散 性 、广 义 积 分 的 敛 散性等，都是用极限来定义的，可以说这些概念确定了微积分 学的框架。 6.结 语 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的 一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。 数 学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题 （例如求 瞬 时 速 度 、曲 线 弧 长 、曲 边 形 面 积 、曲 面 体 体 积 等 问 题 ），正 是 由于它采用了极限的思想方法。
极 限 ，就 是 指 ：“如 果 对 任 何ε>0，总 存 在 自 然 数N，使 得 当n>N
时，不等式|an-A<ε|恒成立。 ”
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具
体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。 因此，这样的定义是
严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中
使用。
参考文献： ［1］吴振英.论极限的思想方法 ［J］.广州大学 学 报(自 然 科 学 版 )，2003，10. ［2］梁宗巨.世界数学史简编 ［M］.沈阳：辽宁人民出版社 ， 1980. ［3］郭 书 春 .中 国 古 代 数 学 ［M］.商 务 印 书 馆 ，2004.
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○ 数学教学与研究 2009年第42期（下卷）
对于积分I=蘩af（x）dx，若 被 积 函 数 不 清 楚 或 其 原 函 数 不 易 求 ，通 常 根 据f（x）在 积 分 区 间 ［a，b］上 的 数 据 表 ，构 造 插 值 多 项 式 P（x）代 替 f（x），再 导 出 积 分 值 。
（3）数 据 拟 合 这仍然是通过给定的一组测定的离散数据求自变量与因 变量的近似表达式。 鉴于插值法其近似标准是在插值点处的 误差为零，考虑到在实际应用中，有时不要求具体某些点的误 差为零，从而考虑整体的误差限制，因此不要求所求函数通过 所有的节点， 而是要求所求近似函数反映原函数整体的变化 趋势，为达到此目的，我们可用数据拟合的方法。 插值法由于其计算的难度不高，容易通过计算机实现，现 在其在工程计算、算法理论等方面有非常重要的应用。
一、注意对给定条件中表达式范围的显性转化
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例1：若2sin x+sin y=3sinx，求sin x+sin y的取值范围。
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解析：利用已知三角方程中的sin y=3sinx-2sin x，代入sin x+
2
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sin y， 即有sin x+sin y=sin x+3sinx-2sin x=-sin x+3sinx， 此处
述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立
微积分的社会背景。
牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，给
出了数列极限的描述性定义 ：“如果当n无限增大时 ，an无限地
接近于常数A，那么就说an以A为极限。 ”
之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建
立的ε-N语言，给微积分提供了严格的理论基础。 所谓an以A为
有限与无限常常表现为不可调和性。 例如，把有限情形的 法则原封不动地扩展到无限的情形常常会发生矛盾。 但这并 不意味着在极限的观念里有限与无限是格格不入的， 相反极 限思想是有限与无限的对立统一。
近似与精确是对立统一关系， 两者在一定条件下也可相 互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。 数学中 的 “部 分 和 ”、“平 均 速 度 ”、“圆 内 接 正 多 边 形 面 积 ”，分 别 是 相 应 的 “无 穷 级 数 和 ”、“瞬 时 速 度 ”、“圆 面 积 ”的 近 似 值 ，取 极 限 后就可得到相应的精确值。 这都是借助于极限的思想方法，从 近似来认识精确的。 这反映了极限思想是近似与精确的对立 统一。
Пn
其 中li（x）= j=0
j≠i
x-xj 为 插 值 基 函 数 ，拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 在 理 xi-xy
论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推
导和形象的描述算法。 但是它也有一些缺点： 当插值节点增
加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，
这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。 此时我们通常采用
求和最早的例子。
到 了16世 纪 以 后 ， 欧 洲 处 于 资 本 主 义 的 萌 芽 时 期 ， 生 产 力
得到极大发展。 生产和科学技术中发生了大量的变量问题，如
曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等，
初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、
新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描
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sinx的范围并非是-1≤sinx≤1， 而是在sin y=3sinx-2sin x中隐
2
2
含的条件为：sin y∈［0，1］， 从而3sinx-2sin x∈［-1，1］， 所 以
sinx在 本 题 中 的 真 正 范 围 是 0≤sinx≤
1
或sinx=1。
2
所以sin x+
2
2
sin y取值范围是［0，
个局部范围内受到影响。
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的值。
解 析 ： 由 tan （α-β）= 1 ，tanβ=- 1 可 得 tan ［（α-β）+β］=
2
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1-1
1+1
2 7 = 1 =tanα，tan（2α-β）=tan［（α-β）+α］= 2 3 =1。
1- 1·（- 1 ） 3
1- 1
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如果我们简单地认为由于α、β∈（0，π）， 因此有2α-β∈（-π，2π），
4.极 限 中 的 辩 证 思 想
极限思想是一种重要的数学思想， 它蕴涵着丰富的辩证
思想， 反映了数学发展的辩证规律， 即极限思想是过程与结
果、有限与无限、近似与精确、对立统一。
极限思想充分体现了结果与过程的对立统一。 比如，当n
趋于无穷大时，数列{ 1 }的极限为0。 一方面，数列{ 1 }中任何
微积分思想源自古希腊人的穷竭法。 古希腊最接近积分的是
阿 基 米 德 于 公 元 前 225年 求 抛 物 线 弓 形 面 积 的 工 作 ， 他 在 抛 物
线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新
的三角形， 这三角形与剩余空间同底同高， 这样无限进行下
去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数
任意分布的，但是在实际应用中出现了很多等距节点的情形，
这时的插值公式可以进一步简化， 在牛顿均差插值多项式中
各阶均差用相应的差分代替， 就得到了各种形式的等距节点
插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。
（3）分 段 插 值
在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的
次 数 必 然 增 高 ，而 高 次 插 值 会 产 生Runge现 象 ，不 能 有 效 地 逼
近被插函数， 有学者提出用分段的低次多项式分段近似被插
函数，这就是分段插值法。 构造分段插值多项式的方法仍然是
基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，
再对基函数作线性组合。 它的优点在于只要节点间距充分小，
总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是
它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某
周刊 2009年第42期（下卷） ○ 数学教学与研究
浅论插值法及其应用
瞿威
（无锡广播电视大学，江苏 无锡 214011）
摘 要： 本文通过讨论插值法的地位和作用，比较各种 插值法的优缺点，以及简单说明相互间的联系。
关键词： 插值法 插值多项式 应用
1.问 题 的 提 出 在 科 学 研 究 和 生 产 实 践 中 遇 到 的 函 数 y=f（x）， 虽 然 从 原 则 上 说 它 在 某 个 区 间 ［a，b］ 上 存 在 ， 但 是 通 过 实 验 通 常 只 知 道 在 区 间 ［a，b］ 上 的 一 系 列 点 的 函 数 值 ， 也 就 是 说 我 们 只 知 道 函 数 的一张表。 这对于研究物质的运动规律很不方便，更不能计算 出未给出点的函数值。 这就需要建立函数的某种近似表达，而 插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 例如，某集团公司 试图分析该公司的产量与生成费用之间的关系， 从所属企业 中随机抽选了5个样本，得到了如下数据：
2.数 学 表 达 表1
根 据 函 数 的 已 知 数 据 表 1 求 函 数 f （x） 的 近 似 解 析 表 达 式 φ（x）的方法。 插值法的必要条件是误差函数或余项R（x）=f（x） -φ（x）满足关系式R（xI）=0，I=1，2，3，… ，n，由 于 代 数 多 项 式 是 简单而又便于计算的函数， 因此经常采用多项式作为插值函 数，称为多项式插值。 多项式插值法有拉格朗日插值法、牛顿 插值法、分段插值法和样条插值法等，其基本思想都是用高次 代 数 多 项 式 或 分 段 的 低 次 多 项 式 作 为 被 插 值 函 数 f （x） 的 近 似 解析表达式。
n
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一项无论n多大都不是0，体现了过程与结果的对立性。 另一方
面 ，随 着n无 限 增 大 ，其 项 越 来 越 靠 近 0， 经 过 极 限 可 转 化 为 0，
体现了过程与结果的统一性。 所以极限思想是过程与结果的
对立统一。
如果希望由这些数据合理的估计出它在其他产量时的生 成费用，这就是一个典型的插值问题。
得到2α-β的值为：- 3 π、 1 π、 5 π，那就错了。 事实上，因为α， 444
β∈（0，π），tanβ=-
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来自百度文库
∈（-
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，0），所以（ 5π ，π），又因为tanα= 1
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），所以α∈（0， π ），因此-π＜2α-β＜- π ，故2α-β=- 3π 。
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三、注意定义域中的隐含条件的显性转化
例3：求函数f（x）= sinxcosx 的递增区间。 1+sinx+cosx
（4）Hermite插 值 分段线性插值的算法简单、计算量小，然而从整体上看， 逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等， 若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函 数值， 而且要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同 的 若 干 阶 导 数 值 ，这 类 问 题 称 为 Hermite插 值 。 4.应 用 插值法除用于求函数值外，还有多种用法。 （1）数 值 微 分 方 法 数值微分法就是利用等距节点上的插值多项式求函数的 导数值的方法。 常用的两点公式和三点公式就是用分段线性 插值和分段抛物插值法导出的。 值得注意的是这两种公式只 适合节点处的导数值。 在区间内的其他点处求导数最好用样 条插值函数。 （2）数 值 积 分 法
牛顿插值多项式算法。
（2）牛 顿 插 值 多 项 式
由数表1构造的牛顿插值多项式为：
n-1
П N（x）=f（x0）+f（x0，x1）（x-x0）+…+f（x0，x1，x2，…，xn） （x-xi）。 i=0
用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一
阶差商的逐次计算。 一般情况讨论的插值多项式的节点都是
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］∪{2}。
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二、注意对角的范围的显性转化
例2：已知tan（α-β）= 1 ，tanβ=- 1 且α、β∈（0，π），求2α-β
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3.常 用 多 项 式 插 值 公 式 构 造
（1）拉 格 朗 日 插 值 多 项 式
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∑ 由数表1构造的n次拉格朗日插值多项式Pn（x）= yklk（x）， k=0
周刊
例谈三角问题中隐性问题的显性转化
周永春
（南通市冠今中学，江苏 海门 226100）
在三角函数的有关问题中，学生往往忽略题目所给的隐
含条件，在解给值求值或给值求角的问题中常常出现漏解、增
解、错解，或者经常会在某个地方卡住而解不下去，题目相对
就变成了难题， 其根本原因是学生对题设条件中的隐含条件
的挖掘不够。 笔者试举下面四例，以供大家参考。
又如曲线形与直线形有着本质的差异， 但在一定条件下 也可相互转化， 正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于 等同起来了。 ”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的 重要手段之一。
5.极 限 思 想 在 微 积 分 中 的 作 用 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。 可以说数 学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。 例如微积分中许 多 概 念 都 把 极 限 作 为 描 述 不 同 特 性 的 重 要 工 具 ，例 如 函 数 f（x） 在x0点 连 续 的 定 义 、函 数f（x）在x0点 导 数 的 定 义 、函 数 f（x）在 ［a，b］上 的 定 积 分 的 定 义 、数 项 级 数 的 敛 散 性 、广 义 积 分 的 敛 散性等，都是用极限来定义的，可以说这些概念确定了微积分 学的框架。 6.结 语 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的 一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。 数 学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题 （例如求 瞬 时 速 度 、曲 线 弧 长 、曲 边 形 面 积 、曲 面 体 体 积 等 问 题 ），正 是 由于它采用了极限的思想方法。
极 限 ，就 是 指 ：“如 果 对 任 何ε>0，总 存 在 自 然 数N，使 得 当n>N
时，不等式|an-A<ε|恒成立。 ”
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具
体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。 因此，这样的定义是
严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中
使用。
参考文献： ［1］吴振英.论极限的思想方法 ［J］.广州大学 学 报(自 然 科 学 版 )，2003，10. ［2］梁宗巨.世界数学史简编 ［M］.沈阳：辽宁人民出版社 ， 1980. ［3］郭 书 春 .中 国 古 代 数 学 ［M］.商 务 印 书 馆 ，2004.
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○ 数学教学与研究 2009年第42期（下卷）