正弦(余弦)函数的性质(定义、值域)
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正弦函数、余弦函数的性质
——定义域与值域
目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
过程：
一、复习：正弦和余弦函数图象的作法
二、研究性质：
1．定义域Baidu Nhomakorabeay=sinx, y=cosx的定义域为R
2．值域：
1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1（有界性）
∴定义域为：[2k- , 2k+ ] (kZ)
2
∴定义域为：
3∵cos(sinx)≥0∴2k- ≤x≤2k+ (kZ)
∵-1≤sinx≤1∴xR ≤y≤1
四、小结：
正弦、余弦函数的定义域、值域
五、作业：P57-58习题4．8 2、9
再看正弦函数线（图象）验证上述结论
∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1]
2对于y=sinx当且仅当x=2k+ kZ时ymax=1
当且仅当时x=2k- kZ时ymin=-1
对于y=cosx当且仅当x=2kkZ时ymax=1
当且仅当x=2k+kZ时ymin=-1
3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当2k<x<(2k+1)(kZ)时y=sinx>0
当(2k-1)<x< 2k(kZ)时y=sinx<0
当2k- <x<2k+ (kZ)时y=cosx>0
当2k+ <x<2k+ (kZ)时y=cosx<0
三、例题：
1)直接写出下列函数的定义域、值域：
1y= 2y=
解：1当x2k- kZ时函数有意义，值域:[ +∞]
2x[2k+ , 2k+ ] (kZ)时有意义,值域[0, ]
2)求下列函数的最值：
1y=sin(3x+ )-1 2y=sin2x-4sinx+5 3y=
解：1当3x+ =2k+ 即x= (kZ)时ymax=0
当3x+ =2k- 即x= (kZ)时ymin=-2
2y=(sinx-2)2+1∴当x=2k- kZ时ymax=10
当x=2k- kZ时ymin= 2
3y=-1+ 当x=2k+kZ时ymax=2
当x=2kkZ时ymin=
3、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值。
解：当k>0时
当k<0时 （矛盾舍去）
∴k=3 b=-1
4、求下列函数的定义域：
1y= 2y=lg(2sinx+1)+ 3y=
解：1∵3cosx-1-2cos2x≥0∴ ≤cosx≤1
——定义域与值域
目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
过程：
一、复习：正弦和余弦函数图象的作法
二、研究性质：
1．定义域Baidu Nhomakorabeay=sinx, y=cosx的定义域为R
2．值域：
1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1（有界性）
∴定义域为：[2k- , 2k+ ] (kZ)
2
∴定义域为：
3∵cos(sinx)≥0∴2k- ≤x≤2k+ (kZ)
∵-1≤sinx≤1∴xR ≤y≤1
四、小结：
正弦、余弦函数的定义域、值域
五、作业：P57-58习题4．8 2、9
再看正弦函数线（图象）验证上述结论
∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1]
2对于y=sinx当且仅当x=2k+ kZ时ymax=1
当且仅当时x=2k- kZ时ymin=-1
对于y=cosx当且仅当x=2kkZ时ymax=1
当且仅当x=2k+kZ时ymin=-1
3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当2k<x<(2k+1)(kZ)时y=sinx>0
当(2k-1)<x< 2k(kZ)时y=sinx<0
当2k- <x<2k+ (kZ)时y=cosx>0
当2k+ <x<2k+ (kZ)时y=cosx<0
三、例题：
1)直接写出下列函数的定义域、值域：
1y= 2y=
解：1当x2k- kZ时函数有意义，值域:[ +∞]
2x[2k+ , 2k+ ] (kZ)时有意义,值域[0, ]
2)求下列函数的最值：
1y=sin(3x+ )-1 2y=sin2x-4sinx+5 3y=
解：1当3x+ =2k+ 即x= (kZ)时ymax=0
当3x+ =2k- 即x= (kZ)时ymin=-2
2y=(sinx-2)2+1∴当x=2k- kZ时ymax=10
当x=2k- kZ时ymin= 2
3y=-1+ 当x=2k+kZ时ymax=2
当x=2kkZ时ymin=
3、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值。
解：当k>0时
当k<0时 （矛盾舍去）
∴k=3 b=-1
4、求下列函数的定义域：
1y= 2y=lg(2sinx+1)+ 3y=
解：1∵3cosx-1-2cos2x≥0∴ ≤cosx≤1