第002章_受迫振动教材

激励 F0 sin t
稳态响应 x2 | X | sin( t ) 全解 x Ae t sin(dt ) | X | sin( t )
(2.13)
或 x e t (B sin dt C cosdt) | X | sin( t )
激励 F0 cos t 稳态响应 x2 | X | cos( t ) 全解 x Ae t sin(dt ) | X | cos( t ) 或 x e t (B sin dt C cosdt) | X | cos( t )
02 X 0
X0
02 (1 2 / 02 )2 (20)2 / 04 (1 s2 )2 (2 s)2
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
tan 1
k
c m2
tan
1
20 02 2
tan
1
2 s
1 s2
其中
X0
F0 k
为系统的静态位移，s
0
为频率比。
定义振幅放大因子
b
为
b
(s)
|X| |t )
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
非齐次特解用试凑法，设特解为 x2 Xei t ，代入
（2.1），得
X H ( )F0 ,
H
( )
k
1
m 2
ic
(2.2)
H()是激励频率 的复变函数，称为系统的频率响应函数， 简称频响函数。 H()写成指数形式为
(2.14)
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动 上式中各个参数重写如下：
0 , d 0 1 2 ,
X
X0
,
(1 s2 )2 (2 s)2
而X 0
F0 k
tan 1
2 s
1 s2
其中 A、 或 B、C由初始条件确定.
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
2. 受迫振动的过渡过程
系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称
s2
s1
2 1 0
0
2
因此 Q 0
(2.12)
1 2
图2.3
称为系统的带宽。
(2.11)、(2.12)式表明， 品质因素Q同时表征 了共振峰曲线的高度 和陡削程度，即Q越 大，则共振峰越高、 越陡削。
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1） 的解为
(2.5)
上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持
续振动，称为稳态响应。待定常数 A、 由初始条件确定。
响应与激励频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频
率相同，振幅| X |和相位差 是激励频率的函数，由
（2.3）、（2.4）式，将它们写成无量纲参数形式
|X |
F0
k
F0
(k m2 )2 (c)2 m k (02 2 )2 (20)2
，则可得
幅频特性
b (s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(2.6)
相频特性
tan
1
2s
1 s2
(2.7)
幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
放大率b
图2.2 幅频特性曲线和
s
相频特性曲线
相角
s
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s = 1附近， 放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激 励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共
Qb 1 s1 2
(2.10)
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
显然，对小阻尼系统，可得
b
Q bm,
(2.11)
Q
Q/ 2
参见图2.3, 当b Q / 2 1 时， 2 2
由(2.6)式解出对应的频率比为
s1 1 2 2 2 1 2 1
s2 1 2 2 2 1 2 1
所以
H () | H () | ei
tan 1
k
c m2
1
ei
(k m2 )2 (c)2
(2.3)
于是特解为 x2 | X | ei(t )
F0
ei(t )
(k m2 )2 (c)2
(2.4)
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方程（2.1）的全解为
x(t) Ae t sin(d t ) | X | ei( t )
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
第二章 受迫振动
§2.1 线性系统的受迫振动 §2.2 几个简化的实际例子 §2.3 任意周期激励的响应 §2.4 非线性系统的受迫振动 §2.5 线性系统的瞬态响应
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
第二章 受迫振动
系统在外界激励下产生的振动称为 受迫振动，系统的受迫振动状态称为 响应。激励既可以是外界提供的直接 的力、力偶，也可能是间接作用因素， 如温度、电磁场、位移等变化。按激 励随时间的变化形式，可分为周期、 瞬态和随机激励，本章学习周期和瞬 态激励下，系统响应的求解方法和规 律。
为过渡过程。研究过渡过程有实际意义，如机器的通过
共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过渡过程。
在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为
x
(B sin0t
C
cos0t)
X0 1 s2
sin
t
(2.15)
代入初始条件 t 0 : x(0) x0, x(0) x0 ，得
x
x0
0
sin 0t
x0
振频率的准确值由db /ds = 0 导出
m 0 1 2 2
(2.8)
当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受
迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的
高度为
bm 2
1
1 2
(2.9)
当＝ 2 / 2, bm 1 b (0);因此当b 2 / 2时，幅频曲线
已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯 一确定，定量关系由系统品质因数Q 描述：
cos0t
1
X
0
s2
sin
t
sX0 1 s2
sin 0
t
自由振动项
稳态振动项
激励引起的自由振动
(2.16)
上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三 项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振 动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
§2.1 线性系统的受迫振动
F(t)
1. 简谐激励的受迫振动
简谐激励力写成复数形式为
F (t) F0ei t 阻尼系统受迫振动方程为
mx cx kx F0ei t
图2.1 (2.1)
这是一个线性常系数非齐次常微分方程，激励项显含时间
变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加 法，即方程的全解＝齐次通解＋非齐次特解。齐次通解上