第002章_受迫振动教材

H () | H () | ei
tan 1
k
c m2
1
ei
(k m2 )2 (c)2
(2.3)
于是特解为 x2 | X | ei(t )
F0
ei(t )
(k m2 )2 (c)2
(2.4)
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
方程（2.1）的全解为
x(t) Ae t sin(d t ) | X | ei( t )
(2.5)
上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持
续振动，称为稳态响应。待定常数 A、 由初始条件确定。
响应与激励频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频
率相同，振幅| X |和相位差 是激励频率的函数，由
（2.3）、（2.4）式，将它们写成无量纲参数形式
|X |
F0
k
F0
(k m2 )2 (c)2 m k (02 2 )2 (20)2
振频率的准确值由db /ds = 0 导出
m 0 1 2 2
(2.8)
当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受
迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的
高度为
bm 2
1
1 2
(2.9)
当＝ 2 / 2, bm 1 b (0);因此当b 2 / 2时，幅频曲线
已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯 一确定，定量关系由系统品质因数Q 描述：
一章已求出，为
x1 Ae t sin(d t )
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
非齐次特解用试凑法，设特解为 x2 Xei t ，代入
（2.1），得
X H ( )F0 ,
H
( )
k
1
m 2
ic
(2.2)
H()是激励频率 的复变函数，称为系统的频率响应函数， 简称频响函数。 H()写成指数形式为
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
§2.1 线性系统的受迫振动
F(t)
1. 简谐激励的受迫振动
简谐激励力写成复数形式为
F (t) F0ei t 阻尼系统受迫振动方程为
mx cx kx F0ei t
图2.1 (2.1)
这是一个线性常系数非齐次常微分方程，激励项显含时间
变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加 法，即方程的全解＝齐次通解＋非齐次特解。齐次通解上
(2.14)
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动 上式中各个参数重写如下：
0 , d 0 1 2 ,
X
X0
,
(1 s2 )2 (2 s)2
而X 0
F0 k
tan 1
2 s
1 s2
其中 A、 或 B、C由初始条件确定.
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
2. 受迫振动的过渡过程
系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称
激励 F0 sin t
稳态响应 x2 | X | sin( t ) 全解 x Ae t sin(dt ) | X | sin( t )
(2.13)
或 x e t (B sin dt C cosdt) | X | sin( t )
激励 F0 cos t 稳态响应 x2 | X | cos( t ) 全解 x Ae t sin(dt ) | X | cos( t ) 或 x e t (B sin dt C cosdt) | X | cos( t )
Qb 1 s1 2
(2.10)
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
显然，对小阻尼系统，可得
b
Q bm,
(2.11)
Q
Q/ 2
参见图2.3, 当b Q / 2 1 时， 2 2
由(2.6)式解出对应的频率比为
s1 1 2 2 2 1 2 1
s2 1 2 2 2 1 2 1
所以
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
第二章 受迫振动
§2.1 线性系统的受迫振动 §2.2 几个简化的实际例子 §2.3 任意周期激励的响应 §2.4 非线性系统的受迫振动 §2.5 线性系统的瞬态响应
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
第二章 受迫振动
系统在外界激励下产生的振动称为 受迫振动，系统的受迫振动状态称为 响应。激励既可以是外界提供的直接 的力、力偶，也可能是间接作用因素， 如温度、电磁场、位移等变化。按激 励随时间的变化形式，可分为周期、 瞬态和随机激励，本章学习周期和瞬 态激励下，系统响应的求解方法和规 律。
，则可得
幅频特性
b (s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(2.6)
相频特性
tan
1
2s
1 s2
(2.7)
幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
放大率b
图2.2 幅频特性曲线和
s
相频特性曲线
相角
s
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s = 1附近， 放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激 励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共
s2
s1
2 1 0
0
2
因此 Q 0
(2.12)
1 2
图2.3
称为系统的带宽。
(2.11)、(2.12)式表明， 品质因素Q同时表征 了共振峰曲线的高度 和陡削程度，即Q越 大，则共振峰越高、 越陡削。
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1） 的解为
cos0t
1
X
0
s2
sin
t
sX0 1 s2
sin 0
t
自由振动项
稳态振动项
激励引起的自由振动
(2.16)
上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三 项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振 动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。
02 X 0
X0
02 (1 2 / 02 )2 (20)2 / 04 (1 s2 )2 (2 s)2
《振动力学》讲义 第2章 受迫振动
tan 1
k
c m2
tan
1
20 02 2
tan
1
பைடு நூலகம்
2 s
1 s2
其中
X0
F0 k
为系统的静态位移，s
0
为频率比。
定义振幅放大因子
b
为
b
(s)
|X| | X0 |
为过渡过程。研究过渡过程有实际意义，如机器的通过
共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过渡过程。
在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为
x
(B sin0t
C
cos0t)
X0 1 s2
sin
t
(2.15)
代入初始条件 t 0 : x(0) x0, x(0) x0 ，得
x
x0
0
sin 0t
x0