泛函分析与小波变换

泛函分析与小波变换-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
南京理工大学
作者:** 学
号：******
学院(系):********
专业:光学工程
题目:泛函分析与小波变换
任课老师：焦蕾
2012年11月
评分：
1 泛函分析简介
泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。

所谓的泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。

也就是说，它是从函数空间到数域的映射。

泛函分析理论是为克服黎曼积分理论的缺陷而创立的新积分理论，其基础是集合与测度理论，所以也可以称为测度与积分理论。

泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

泛函分析综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

主要内容有拓扑线性空间等。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

2 泛函分析中的空间
泛函分析这门课程主要讲述了各种空间和算子的概念以及它们的性质，下面对泛函分析里学习过的空间进行简要的介绍。

度量空间
定义1：设X 施一个非空集合，X 叫做距离空间或度量空间，是指在X 上定义一个双变量的实值函数，满足下面三个条件：
(x,y)0(x,y)=0x =y (x,y)=(y,x)(x,y)(x,z)+(z,y)
(1)非负性,且当且仅当;(2)对称性;
(3)三角不等式ρρρρρρρ≥≤
成ρ为X 上的一个距离，以ρ为距离的空间X 记为(X, ρ)。

对于度量空间应当注意度量空间实际上是在定义了距离的基础上才定义它的.如果去掉了“(x,y)0ρ≥”这个条件，则称ρ为(X, ρ)的拟即离。

只有在度量空间的基础上，可以定义完备度量空间。

度量空间称为完备的当且仅当它的每一个Cauchy 序列收敛于X 中某一点).明显地说
线性空间
定义2：设X 是任一非空集合，若K 是一个数域（R 或C ）如果X 对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且?x,y ?X ，??K ，满足：
1x +y =y +x λλ(x +y)=λx +λy
();
(2)∀∈K,
则称X 为线性空间。

内积空间
定义3：设X 是数域K 上的线性空间，若对所有的x,y X ∈，都存在K 中唯一确定的数与之对应，记为x,y 〈〉，若,:X X K 满足：〈〉⨯→
(1)x,y 0x,y 00;
(2)αx βy,z αx,z βy,z ;(3)x,y y,x ;
，且=当且仅当x 〈〉≥〈〉=〈+〉=〈〉+〈〉〈〉=〈〉 则称x,y 〈〉是x 与y 的内积，定义了内积的线性空间X 称为内积空间。

由内积空间的定义可以推出：
(4)x,αy βz αx,y βx,z ;(5)x,0y,00;
〈+〉=〈〉+〈〉〈〉=〈〉=
当K 取实数域时，X 称为实内积空间，此时
(3')x,y y,x ;
(4')x,αy βz αx,y βx,z ;
〈〉=〈〉〈+〉=〈〉+〈〉
当K 取复数域时，称X 是复内积空间。

Hilbert 空间
在讨论Hilbert 空间前先要定义范数。

定义4：设X 是内积空间，对任意的x X,x x,x ∈〈〉称为向量x 的模或x
的范数，:X R →称为由内积导出的范数。

对于有内积导出的范数，有以下
的性质：
(1)x x 0(2)ααx αx (3)x y x y ;(4)x y x y ;
非负性0，且当且仅当x=0：对任意的K,x X,；≥=∈∈=+≤+-≤-
设X 是内积空间，对于任意的x,y K ∈，定义度量
ρ(x,y)x y =-=
则(X,ρ)是度量空间，并称ρ是由内积导出的度量。

定义5：设X 是内积空间，若X 是按内积导出的度量空间是完备的（简称内积完备），则称X 是Hilbert 空间。

赋范线性空间
定义5：设X 是线性空间，
是X 上的实值函数，满足
(1)x X,x x 0(2)ααx αx (3)()x y x y ;
0，且当且仅当x=0：K,x X,；三角不等式∀∈≥=∀∈∈=+≤+
则称
为X 上的范数，（X ，
）称为赋范线性空间。

注意赋范线性空间
未必是内积空间。

Banach 空间
令
ρ(x,y)x y x,y X ，=-∀∈
则为X 上的度量。

若X 按此度量完备（简称按范数完备），则称X 为Banach 空间。

此类空间是泛函分析的一类重要空间，Hibert 空间必为Banach 空间。

3 泛函分析中的算子
泛函分析中另外一个重要的概念就是算子，下面对算子进行简要的介绍。

线性算子
定义1：设X，Y是同一个数域K上的内积空间，这里K为实数或负数域，满足：
T(αxβy)αTxβTy,α,βx,y X
+=+∀∈∀∈
K,
则称T是线性算子，若T在X上连续，则称T是X到Y上的连续线性算子。

特别的当Y=K时，线性算子T:X→K称为X上线性泛函，而连续线性算子T:X→K称为连续线性泛函，因此连续线性泛函是连续性算子的一种特殊情况。

有界线性算子
在线性算子的基础上可以定义有界线性算子，定义如下：
定义2：设X，Y是内积空间，T:X Y
→是线性算子，若存在C>0，对任意的x X
∈，使得
Tx C x
≤，
则称T是X上的有界线性算子，并用B(X,Y)表示X到Y上有界线性算子的全
体；若T是有界线性算子，则
x0
x X Tx
T sup
x
≠
∈
=满足范数公理，称为算子T的范数，特别的当Y=K时数域时，且存在C>0使得
Tx C x,x X
≤∀∈，
则称T是X上有界线性泛函，并用X*表示X上有界线性泛函的全体。

对于有界线性算子一个重要的概念就是它的收敛性，在无穷维空间范数意义下，许多经典分析的结论不一定成立，为此对于算子的收敛性有如下重新的定义：
定义3：设{Tn}是B(H) （B(H)表示从H 到H 上有界线性算子的全体）上的算子列，T B(H)∈
n n n n n n n n n n n n n n (1)lim T T 0T T lim T T;
(2)lim T x Tx 0T T lim T T;
(3)T x,z Tx,z T T lim T T 若，则称按范数收敛于，记为若对任意的x H ，，则称强收敛于，记为s-若对每个x H ，对任意的z H ，，则称弱收敛于,记为w-。

→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
-==∈-==∈∈〈〉→〈〉=
对于算子的收敛性，若T n 按范数收敛于T ，则T n 强收敛于T ，若T n 强收敛于T ，则T n 弱收敛于T 。

共轭算子
定义4：设H 1，H 2是Hilbert 空间，12T B(H ,H )∈，称满足条件：
21*H H 12Tx,y x,T y ,x H ,y H 〈〉=〈〉∀∈∈
的映射*21T :H H →为T 的共轭算子或伴随算子。

共轭算子具有以下简单的性质：
***12*******122311221*11*122
**(1)T,S B(H ,H ),(T S)T S ;(2)(αT)aT ;(3)(T )T;
(4)(TS)T S ,S B(H ,H ),T B(H ,H );(5)S B(H ,H )T B(H ,H )(T )(T )B(H ,H );
(6)T T TT T 若且，则
==。

---∈+=+===∀∈∈∈∈=∈ 自伴算子
定义5：设H 是Hilbert 空间，12T B(H ,H )∈，若*T T =，即对任意的
x,y H ∈，
Tx,y x,Ty 〈〉=〈〉，
则称T 是H 上的自伴算子。

对于自伴算子有以下的性质：
（1） 若T 是复Hilbert 空间上的自伴算子，则
T =sup{Tx,x |x =1}〈〉
（2）设{T n }是自伴算子列，且n T T 0(n )-→→∞，则T 是自伴算子。

投影算子
定义6：设L 是Hilbert 空间的闭子空间，则H L L ⊥=⊕，即对任意的
x H ∈，有唯一直交分解定义121L x x x x L,x L .P :H L ,⊥=+∈∈→如下：
L 1P x x ,x H =∈，
则称P L 算子为H 到L 的直交投影算子，简称投影算子。

4 个人见解
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。

比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。

它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

由于这些特点使泛函听起来感觉十分难懂，上课的时候感觉如同听天书一样，有的时候能听懂八九成，有时一半也听不懂，完全是云里雾里那种感觉，这其中有自身数学基础的原因，还有就是泛函分析本身就是很难懂。

泛函分析在本专业的一个重要的应用就是在
小波变换中的应用。

泛函分析在这方面的应用，经过查找资料，找到伴随算子、依范数收敛与弱收敛在小波理论中的应用。

伴随算子、依范数收敛与弱收敛在小波理论中的应用
对于小波变换，介绍小波变换的书籍和资料很多，下面只简要介绍伴随算子、依范数收敛与弱收敛在小波理论中的应用。

不足之处请老师指教。

伴随算子、依范数收敛与弱收敛的定义在第三章中已经阐述了它们的定义，这里不再多说。

空间L 2(R)中一系列闭子空间{V j }j ∈Z ，如果满足下列条件称为L 2(R)上一个多分辨率分析（MRA ）：
（1）单调性：j j-1V V j Z ,∈∀∈。

（2）逼近性：2j j j Z
j Z
V ={0},V =L (R)∈∈⋂⋂。

（3）伸缩性：j j-1u(x)V u(2x)V ∈⇔∈。

（4）平移不变性：j j u(x)V u(x -k)V ∈⇒∈。

（5）Reisz 基：V {t -n)|n Z V 00,使得（}构成的正交基。

ϕϕ∃∈∈
V j 称为尺度为j 的尺度空间，函数（x)ϕ
称为尺度函数。

有多分辨率分析
的第二个条件可知，j j v v j j lim f P f 0,lim P f 0→∞
→∞
-==，这就是依范数收敛。

小波框架是小波理论的一个重要内容,在小波框架研究中,算子弱收敛起着重要的作用.我们说是j j Z {φ}∈一个框架是指:存在A>0，B>0,使得对任意的f ∈H,都有，2
2
2
j j Z
A f
f ,φB f ,∈<〈〉≤∑其中A,B 为框架界。

若A=B ，则称改框架为紧框架，即2
2
j j Z
f ,φA f ,f H ∈〈〉=∀∈∑。

由等式2222
1f ,g [f g f g i f ig i f ig ]4
〈〉=+--++--，知紧框架蕴含
j j j Z
A f,g f,φφ,g ∈〈〉=〈〉〈〉∑，也就是在弱收敛的意义下有1j j j Z
f A f,φφ-∈=〈〉∑。

对于一般的框架,需要引进框架算子，j j F :(Ff )f ,φ=〈〉,F 是H 到l 2(H)的线性算子。

F 的伴随算子计算为,*j j j j j Z
j Z
F c,f c,Ff c f,φc φ,f ∈∈〈〉=〈〉=〈〉=〈〉∑∑。

因此,至少在弱收敛的意义下,有*j j j Z
F c c φ∈=∑。

可以证明，上面的收敛也是依范数收敛的。

因为*F F =，故
1*
*2
F c B F ≤由F 的定义,有2
2
*j j j Z
c f ,φFf
F Ff ,f ∈〈〉==〈〉∑，因此框架条件可改
写为AI≤F*F≤BI，其中I 是恒等算子.将(F *F)-1作用于j φ可得到一个新的向量族,记为j φ,即*1j j φ(F F)φ-=。

j j Z {φ}∈也构成一个框架,框架界为B -1,A -1,即：
2
2
2
11j j Z
B f
f ,φA f ,--∈<〈〉≤∑
可以证明**F F I F F ==,写具体点就是j j j j j j Z
j Z
c f,φφf φf,φ∈∈〈〉==〈〉∑∑。

这
就得到一个由j f ,φ〈〉或j f,φ〈〉重构f 的公式,同时也得到了把f 写为j j φφ或的叠加方法。

5 总结
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。

比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。

它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

由于这些特点使泛函听起来感觉十分难懂，上课的时候感觉如同听天书一样，有的时候能听懂八九成，有时一半也听不懂，完全是云里雾里那种感觉，这其中有自身数学基础的原因，还有就是泛函分析本身就是很难懂。

但是泛函分析是一门很值得认真学习的课程，毕竟数学是理工类的一个最根本的基础。

参考文献
[1] 黄振友、杨建新、华踏红、刘景麟.泛函分析 [M]北京：科学出版社，2003；[2] 石智、王军秋.结合小波理论讲授泛函分析课程 [J].大学教学，2008,08；
[3] Stephane Mallet 着 杨力华、道清、黄文良、湛秋辉译.小号处理的小波导引 [M].北京：机械工业出版社，2002
9。