中考数学教学指导：求解线段最值问题的常用方法

求解线段最值问题的常用方法

求线段的最值问题经常出现在各地中考试卷中．解决这类问题的关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题转化为相应的数学模型．如，函数增减性、线段公理、垂线段定理、三角形三边关系等进行分析与突破．现对这类问题作一个归类整理．

一、利用“将军饮马”数学模型，求线段和的最小值或差的最大值

“将军饮马”模型为：在一条定直线上求一点，使得该点到这条直线同侧的两个定点的距离之和最小．其实质是根据“两点之间线段最短”求最短距离的一个数学模型．“将军饮马”问题可变化为以下几种情形：

情形一如图1，A、B为直线MN同侧的两点，在直线MN上求作一点P，使P A+PB

-最大(图1 (2))．

最小(图1 (1))，或使PA PB

情形二如图2，A、B为直线MN异侧的两点，在直线MN上求作一点P，使P A+PB

-最大(图2 (2))．

最小(图2 (1))，或使PA PB

情形三如图3，点P是∠MON内一点，分别在边OM、ON上求点A、B，使P AB的周长最小．

情形四如图4，点P、Q是∠MON内两点，分别在边OM、ON上求点A、B，使四边形P ABQ的周长最小；

上述几种情形都利用了轴对称的性质，不妨把情形一、二简称为“两点一线”，情形三为“一点两线”，情形四为“两点两线”．

例1如图5，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴正半轴上．顶点B的坐

标为(3，3)，点C的坐标为(1

2

，0．)，点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC

的最小值为．

例2如图6，已知A (1

2

，y1)，B (2，y2) 为反比例函数y=

1

x

图像上的两点，动点P在

x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是．例3如图7，在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)，B (4，0)，C (2，－3)，P (3，－2)，当P、C同时向左平移t个单位时得到的对应点分别为P1，C1，则当四边形AB P1C1

的周长最小时t的值为．

简析例1是“两点一线”(定点A、C和直线OB) 模型，P A+PC的最小值为31

2

．

例2延长线段AB交x轴可得P (2．5，0)．

例3实际为“两点(点A、B) 一线(过点P平行x轴的直线l ) 一平移(平移距离和方向均为PC)”模型．如图7，过点A作AA1∥PC，AA1=PC，作点A1关于直线l的对称点A2，连结A2B，交直线l于点P1，作P1C1∥PC，P1C1=PC，四边形ABP1C1的周长即为最小，求得t =PP1=0．6．或过点B用类似作法一样可求，此时“一线”应是过点C平行x轴的直线．

二、构造三角形求不定线段的最大值

若P A、PB是两条定长线段，AB是一条不定的线段，由三角形三边关系PA PB

≤AB ≤P A+PB (等号当且仅当P、A、B三点一直线时成立)，求得不定线段AB的最大值或最小值．例4如图8，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB 边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C．则A'C长度的最小值是

简析因为A'M=AM，所以A'M、MC为定长线段，当A'、M、C三点共线时，最小值A'C72．

例5如图9，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴

上．当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点的最大和最小距离．

简析取AC中点D，连结BD、OD，则BD、OD为定长线段．当点B在第一象限，且B、O、D三点共线时，最大值BO=3柜+3；当点j5}在第三象限，j!}、D、D三点共线时，最小值BO = 32－3．

例6如图10，在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A1BC1．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

简析EB为定长线段，当点P1在A1C1上运动时，BP1的最长距离为BC1= 4，最短距离为垂线段长2．当按E、B、C1顺序并且三点共线时，最长EP1=4 + 1．5 = 5．5；类似地，最短EP1=2－1．5 = 0．5．

在上述三个问题中，找到定长的两条线段很重要，需要根据题意，结合图形特征，熟悉图形性质．例如，定圆的半径为定值，斜边一定的直角三角形斜边中线为定值，两平行线间的距离为定值等．要仔细分析，有时需要添加适当的辅助线．

三、利用“垂线段最短”求线段的最值

“两点之间线段最短”，最短距离为“点点距”，指的是点到点的距离；“垂线段最短”，

最短距离为“点线距“，指的是直线外一点到直线的距离．利用“垂线段最短“求线段最值，需要运用动态的观点，结合图形性质，多数情况下要构造直角三角形，利用直角三角形性质 解决问题．

例7 如图11，在Rt △AOB 中，OA=OB=32，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点．过点P 作⊙O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则切线PQ 的最小值为 ．

简析 由切线性质得PQ =22OP OQ ，OQ 为定值．当OP 最小，即OP 为AB 边上的垂线段时，PQ 最小，最小值PQ =22．

例8 如图12，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值是 ．

简析 ∠C 是直角，则PQ 为直径．连结CD ，当C D ⊥AB 且CD 成为直径时，最小值PQ=CD =4．8．

四、建立函数模型求线段最值

一些动态问题的两个变量之间存在着某种函数关系，建立函数关系式，在自变量取值范围内利用函数性质求线段最值．数形结合，把几何问题代数化，以达到快捷解决最值问题的目的．