高等几何教案

第五章射影坐标系和射影变换
第六章二次曲线的射影性质
第五章射影坐标系和射影变换
1、将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβλαδγβγδ
+=
-≠+以齐次坐标表达。

解 设一维笛氏坐标系中，一点的坐标为x ，则齐次坐标为（x 1，x 2），且x ＝12
x x ， 一点的射影坐标为λ，齐次坐标为（λ1,λ2）且λ=12
λλ，将λ和x 代入关系式（1） 有112122
x x x x αβλλγδ+=+，化简得：121212
1(0)x x x x λλραβγδρ==≠++令 ∴1122120x x x x αβρλαβρλγδγδ=+⎧≠⎨=+⎩且为齐次变换式。

2、在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E ，(i)求此直线上任
一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？
解：笛氏坐标 0 ． 2． 3． x ． 射影坐标： A 2 A 1 E λ
（i ）由定义 λ=（A 1A 2，EP ）=（2 0，3x ）=(32)(0)(2)(30)36
x x x x --=--- 10603636
x x λ=
=≠-故：，且 (ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有36x x x =
-，即3x 2－7x=0， ∴当x=0及x=
73
时两种坐标相等。

3、在二维射影坐标系下，求直线A 1E ，A 2E ，A 3E 的方程和坐标。

解：坐标三角形顶点A 1（1，0，0）,A 2（0，1，0）,A 3（0，0，1）和单位点E （1，1，
1） 设P （x 1，x 2，x 3）为直线A 1E 上任一点，其方程为：123
1000111
x x x =
即x 2－x 3=0，线坐标为（0，1, －1）
直线A 2E 的方程为：1
2
301
00111
x x x =，即x 1－x 3=0，线坐标为（1，0，－1）；
直线A 3E 的方程为：1
23
0101
1
1
x x x =，即x 2－x 1=0，线坐标为（－1，1，0）
4、写出分别通过坐标三角形的顶点A 1，A 2，A 3 的直线方程。

解：设平面上任意直线方程为
u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0，过点A 1(1，0，0)时u 1=0，即为u 2x 2+u 3x 3=0 ， 过点A 2(0，1，0)时u 2=0，即为u 1x 1+u 3x 3=0 ，
过点A 3(0，0，1)时u 3=0，即为u 1x 1+u 2x 2=0 。

5、取笛氏坐标系下三直线x －y=0，x+y －1=0，x －2=0分别作为
坐标三角形的边A 2A 3，A 3A 1，A 1A 2，取E （31
,22
）为单位点， 求一点的射影坐标（x 1，x 2，x 3）与笛氏坐标（x ，y ，t ）的关系。

解：E （31,22），∴e 1
e 2
，e 3=12-。

（图18）
任意一点M （x ，y ）到三边的距离为： ρ1
ρ2
= ，ρ3= 21x -
∴射影坐标（x 1，x 2，x 3）与笛氏坐标的关系为： ρx 1=
11e ρ=x －y ，ρx 2=22e ρ
=x+y －t ，ρx 3=33
e ρ=－2x+4t 即： 123110,,1116024204
x x y x x y t x x t ρρρ-=-⎧⎪=+--=≠⎨⎪=-+⎩-且
6、从变换式 112321233
123,,(1)x x x x x x x x x x x x ρρρ'=-++⎧⎪'=-+⎨⎪'=+-⎩求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程。

解： △A 1'A 2'A 3'三边，A 1'A 2'：x'3=0；A 1'A 3'：x'2=0；A 2'A 3'：x'1=0。

从变换式（1）可求得△A 1'A 2'A 3'的三边在坐标系△A 1A 2A 3下的方程：
A 1'A 2'的方程为：x'3=0，即x 1+x 2－x 3=0；
A 1'A 3'的方程为：x'2=0，即x 1－x 2+x 3=0。

A 2'A 3'的方程为：x'1=0，即－x 1+x 2＋x 3=0。

由（1）可求出逆变换式为：12
3213312
,,(2)x x x x x x x x x μμμ''=+⎧⎪''=+⎨⎪''=+⎩ △A 1A 2A 3的三边，A 1A 2：x 3=0；A 1A 3：x 2=0；A 2A 3：x 1=0。

从变换式（2）可求得△A 1A 2A 3的三边在坐标系△A 1'A 2'A 3'下的方程：
18
图
x'1+x'2=0，即A 1A 2的方程。

x'1+x'3=0，即A 1A 3的方程。

x'2+x'3=0，即A 2A 3的方程。

7、若有两个坐标系，同以△A 1A 2A 3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的
转换式为何？
解：设变换式为： 111112213322112222333
311322333,,0ij x a x a x a x x a x a x a x a x a x a x a x ρρρ'=++⎧⎪'=++≠⎨⎪'=++⎩
已知（1,0,0）→（1,0,0）,（0,1,0）→（0,1,0）,（0,0,1）→（0,0,1）分别代入变换式
得
ρ1=a 11，a 21=0，a 31=0； ρ2=a 22，a 12=0，a 32=0；ρ3=a 33，a 13=0，a 23=0
故有 111122221122333333,,0ij x a x x a x a a a a x a x ρρρ'=⎧⎪'==≠⎨⎪'=⎩ 又（1,1,1）→（a,b,c ） ∴112233
,
,a a b a c a ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩即a ：b ：c = a 11：a 22：a 33
故变换式为：112233,,0ij x ax x bx a abc x cx ρρρ'=⎧⎪'==≠⎨⎪'=⎩
8、在拓广欧氏平面上求平移 ,
x x a y y b '=+⎧⎨'=+⎩
的二重元素。

解：设x=13x x ，y=23
x x ，则有1
132233
3,,x x ax x x bx x x ρρρ'=+⎧⎪'=+⎨⎪'=⎩ （1）求二重点：()3
1001010001a
b μμμμ
--=-=-由得，即μ=1为三重根。

将μ=1代入方程组：13233(1)0
(1)0
(1)0
x ax x bx x μμμ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得：30x =
所以在有限欧氏平面上，在平移变换下无二重元素，
在拓广欧氏平面上，1∞上的所有点（ x 1，x 2，0）皆为二重点。

（2）求二重直线： λ=1为三重根。

将λ=1代入方程组：12123(1)0(1)0(1)0
u u au bu u λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪++-=⎩得u 1，u 2可取任意数，且au 1+bu 2+0u 3=0
所以二重直线是通过点（a ，b ，0）的一切直线，即以
b
a
为斜率的平行线束及无穷远
线，这平行线束即平移方向的直线集合。

9、求射影变换11223
3,,(1)x x x x x x ρρρ'=-⎧⎪'=⎨⎪'=⎩的二重元素。

解：（i ）求二重点：二重点（x 1，x 2，x 3）应满足123(1)0
(1)0(2)(1)0
x x x μμμ--=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩
()()2
100
01001100
01μμμμμ
---=---=-由得，∴μ1=1为二重根，μ2=－1为单
根。

将μ1=1代入（2）式得x 1=0，x 2，x 3为任意数，所以二重点为（0，x 2，x 3），
但x 2，x 3不同时为零，此为坐标三角形的边x 1=0上的一切点；
将μ2=－1代入（2）式得二重点（x 1，0，0），此为坐标三角形的顶点A 1（1，0，
0）。

（ii ）求二重直线： λ1=1及λ2=－1，
将λ1=1代入123(1)0
(1)0(3)(1)0
u u u λλλ--=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩得二重直线u 1=0，即过A 1（1，0，0）的一切直
线；
将λ=－1代入（3）得二重直线x 1=0，为坐标三角形的边A 2A 3。

10、求射影变换112223
3,,(1)x x x x x x x ρρρ'=+⎧⎪'=⎨⎪'=⎩的二重元素。

解：（i ）求二重点：（x 1，x 2，x 3）满足1223(1)0
(1)0
(2)(1)0
x x x x μμμ-+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ()3
110
0100100
1μμμμ
--=-=-由得，有三重根μ=1，
将μ=1代入（2）式得二重点为x 2=0, 即坐标三角形的边A 1A 3上所有的点。

（ii ）求二重直线：λ=1为三重根，
将λ=1代入1123(1)0
(1)0(3)(1)0u u u u μμμ-=⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩得u 1=0, u 2, u 3为任意数，
即二重直线为以A 1(1,0,0)为中心的线束。

11、求射影变换1122123
1234,63,(1)x x x x x x x x x x ρρρ'=-⎧⎪'=-⎨⎪'=--⎩的二重元素。

解 （i ）求二重点：二重点（x 1，x 2，x 3）满足1212123(4)0
6(3)0
(2)(1)0
x x x x x x x μμμ--=⎧⎪+--=⎨⎪-+--=⎩ 410
6300111μμμ
----=---由，得(μ+1) (μ+2) (－μ+3) = 0，所以特征根μ=-1，-2，3。

取μ=－1代入（2）得二重点为（0，0，x 3）即（0,0,1），
取μ=－2代入（2）得二重点为（1，6，5），
取μ=3 代入（2）得二重点为（1，1，0）。

（ii ）求二重直线：特征根λ=－1，－2，3。

取λ=－1代入1231233(4)60
(3)0(3)(1)0u u u u u u u λλλ--+=⎧⎪-+---=⎨⎪--=⎩ 得二重直线为（1，－1，－1）
取λ=－2代入（3）得二重直线为（1，－1，0）
取λ=3 代入（3）得二重直线为（－6，1，0）。

12、证明射影变换1122233
3,,(1)x ax x x ax x x ax ρρρ'=+⎧⎪'=+⎨⎪'=⎩ 只有一个二重点及通过该点的一条二重直线。

证：若有二重点（x 1，x 2，x 3）则满足12233()0
()0(2)()0
a x x a x x a x μμμ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩
310010)00
a a a a μμμμ
--=-=-由，得(，即μ = a 为三重根，
将μ = a 代入（2）得二重点为（1，0，0）。

若有二重直线（u 1，u 2，u 3），得λ=a 为三重根，
将λ=a 代入11223()0
()0()0a u u a u u a u μμμ-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，得二重直线为（0，0，u 3）即x 3=0，
所以二重直线A 1A 2通过二重点A 1（1，0，0）。

13、（i ）求变换：x'=
21x x -，y'=21
y
x -的二重点。

（ii ）设O 为原点，P 为直线x=1上任一点，m'为直线OP 上一点M 的对应点， 求交比（OP ，MM'）；
（iii ）从这个交比得出什么结论？解出逆变换式以验证这结论。

解（i ）求二重点：
由题设有x=
21
x
x -，解出x=0, 1。

y=
21
y
x -，化简为：y(2x －2)=0，所以x=1时，y 为任何值都行， 故二重点为（0，0）及直线x=1上的任意点。

（ii ）交比（OP ，MM'）=（01，xx'）=（0 1，x 21
x
x -）=－1. (iii) 从原变换求其逆变换： x' =
21
x
x -→ x=21x x ''-；
y' =21
y
x -→ y=21y x ''-
所以在每条直线OP 上有一个对合对应，对合的两个二重点是原点及P 点。

14、求证1
111()
RST T S R ----=这里的R ，S ，T 表示变换。

证：设A'=T （A ），A"=S （A'），A"'=R （A"）， ∴ A'''=(RST)（A ），则（RST ）-1（A"'）=A 。

而R -1（A"'）=A"，S -1（A"）=A'，T -1（A'）=A ∴1
111()RST T S R ----=
15、证明直线上非奇异射影变换11121111122
2
2112222122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+⎧=≠⎨'=+⎩构成群。

证：设T ：11121111122
2
2112222122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+⎧=≠⎨'=+⎩，
S ：11121111
1222
2112222122,0b b x b x b x A x b x b x b b ρρ'''''=+⎧'=≠⎨
'''''=+⎩，
所以S·T ：1112111211121111122
2
211222212221222122,0c c a a b b x c x c x D x c x c x c c a a b b ρρ''''=+⎧==⋅≠⎨
''''=+⎩
故直线上非奇异射影变换之积仍为直线上非奇异射影变换；
又因为 T -1
：2
111211
12
1111212
2121222
2122
2122
,0A A a a x A x A x D x A x A x A A a a σσ''=+⎧==
≠⎨''
=+⎩
故直线上非奇异射影变换之逆仍为直线上非奇异射影变换，
所以直线上非奇异射影变换构成群。

16、证明直线上非奇异射影变换11121111122
2
2112222122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+⎧=>⎨'=+⎩ 构成群。

证：设T ：11121111122
2211222
2122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+⎧=>⎨'=+⎩，
S ：11121111
1222
2112222122,0b b x b x b x A x b x b x b b ρρ'''''=+⎧'=>⎨
'''''=+⎩，
所以S·T ：1112111211121111122
2
211222212221222122,0c c a a b b x c x c x D x c x c x c c a a b b ρρ''''=+⎧==⋅>⎨
''''=+⎩
故直线上非奇异射影变换之积仍为直线上非奇异射影变换；
又因为 T -1：2
111211*********
212122*********
,0A A a a x A x A x D x A x A x A A a a σσ''=+⎧==>⎨''
=+⎩ 故直线上非奇异射影变换之逆仍为直线上非奇异射影变换，
所以直线上非奇异射影变换构成群。

17、证明直线上非奇异射影变换11121111122
2
2112222122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+⎧=<⎨'=+⎩不构成群。

证：设T ：11121111122
2
2112222122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+⎧=<⎨'=+⎩，
S ：11121111122
2211222
2122,0b b x b x b x A x b x b x b b ρρ'''''=+⎧'=<⎨
'''''=+⎩，
所以S·T ：1112111211121111122
2
211222212221222122,0c c a a b b x c x c x D x c x c x c c a a b b ρρ''''=+⎧==⋅>⎨
''''=+⎩
即直线上行列式<0的非奇异射影变换之积不再是直线上行列式<0的非奇异射影 变换，故不构成群。

18、证明绕原点的全体旋转变换构成群。

证：设T ：{cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-'=+ ，且A=
cos sin sin cos θθ
θ
θ
-=1
S ：{
cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''''''
=-''''''=+， 且cos sin 1sin cos A θθθθ''-'==''
所以S·T ：
{
cos()sin()
sin()cos()x x y y x y θθθθθθθθ''''=+-+''''=+++，且cos()sin()1sin()cos()
D θθθθθθθθ''+-+==''++
故旋转变换之积仍为旋转变换；
又因为 T -1：{{
cos()sin()cos sin sin()cos()sin cos x x y x x y y x y y x y θθθθθθθθ
''''=---=+⇒
''''=-+-=-+
且 A -1=
cos sin 1sin cos θθθ
θ
=-，故旋转变换之逆仍为旋转变换，
所以绕原点的旋转变换构成群。

第六章 二次曲线的射影性质
1、 试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x 1－λx 3=0与x 2－λ'x 3=0
（1
2
λλλ-'=
+）所决定的。

解：∵ 1
2
λλλ-'=+ （1）
由x 1－λx 3=013
(2)x x λ⇒=
； x 2－λ'x 3=023
(3)x x λ'⇒=
将(2)(3)代入(1)得：1
31322133131313
3
1(2)()022x x x x x x x x x x x x x x x x --==⇒+--=++ 故所求二阶曲线的方程为：2122313320x x x x x x x +-+=
2、 在平面上给定四点A ，B ，C ，D ，其中无三点共线，求满足条件P(AB ，CD)=定值
k 的点P 的轨迹。

解：由本章6.1定理3给定无三点共线的任意五
点，可决定唯一的二阶曲线，由定理4，二阶曲线上四点与其上任意第五点所联直线的交比为常数。

因此，此题关键是作出一点E ，使E(AB ，CD)=k 。

则满足条件P(AB ，CD)=k 。

假设E 点已作出，过无三点共线的五点A ，B ，C ，D ，E 可唯一决定一条二阶曲线。

作法：过A 任作一
直线1与直线CD 交于A'，再在CD 上作B'使(A'B'，CD)=k ，然后连接B'B 交1于E ，则二阶曲线唯一确定之后，在其上任取一点P 都有P(AB ，CD)=E(AB ，CD)=E(A'B'，CD)=k （图18）
3、 建立一个透视对应使以A 1(1，0，0)为中心的线束对应于以A 2（0，1，0）为中心的
线束；并求这两透视线束所产生的变态二阶曲线的方程。

解：因为230
0x x =⎧⎨
=⎩的交点为A 1，过A 1的线束方程为：x 2－λx 3=0 （1） 又1300
x x =⎧⎨=⎩的交点A 2，过A 2的线束方程为：x 1－μx 3=0 （2）
若线束A 1∧线束A 2，则,0αβ
αμβλγδ
γμδ+=
≠+ （3）
将(1)(2代入(3)得：x 2 (γ x 1+δ x 3 ) - x 3 (a x 1+β x 3 ) = 0 （4） 若线束A 1∧线束A 2，则x 3=0为自对应直线（即x 3=0，变为x 3=0），
18
图
即（3）式中μ=∞时对应于λ=∞，∴γ=0 13233
,
00x x x x x αβ
αβδ
δ+⇒
=≠ ， 化简为x 3（－α x 1+δ x 2－β x 3）=0, 且αδ≠0 （5） 若A 3（0，0，1）在（5）式所表示曲线Γ上，则有β = 0， 再E （1，1，1）在（5）式所表示曲线Γ上，则有－α + δ=0， 这时（5）式变为：x 3(－ax 1+ax 2)=0，a≠0,
二透视线束产生的变态二阶曲线的方程为：x 3（x 1 －x 2）=0
4、给定二次曲线上五点，求作曲线上另外一些点。

解：（图19 ）已知二次曲线上五点1，2，3，4，5。

根据巴斯卜逆定理可作出二次曲线上其余的点。

作法： 12×45=A ，过A 任作一直线P 作为巴斯卡线， 34×P=C ，23×P=B ，所以1C×5B=6，即为二次曲线上的 另一点，因为1，2，3，4，5五点决定唯一的二次曲线Γ，
由巴斯卡定理及作图知，点6在Γ上，当直线P 变动时，得到不同位置的点6。

5、给定一二次曲线上五点，利用巴斯卡定理作曲线在此五点之一的切线。

解：（图20）已知二次曲线Γ上五点1，2，3，4，P （令P≡5≡6），
则（12×45）≡A ，（16×34）≡C ，（AC×23）≡B ， 则PB 即为所求的以P 为切点的切线。

由巴斯卡定理得证。

6、设六角形的对边互相平行，求证这六角形内接于一二次曲线。

解：（图21） 由巴斯卡定理：因为（12×45）= I ∞，（23×56）=Ⅱ∞，
（34×61）= Ⅲ∞，因为平面上只有一条无穷远直线l ∞，
所以六边形对边交点共线（共无穷远直线）， 则此六边形必内接于一二次曲线。

7、 内接于圆的两个三角形ABC 与A'B'C'中，设交点P=AB×A'B'，
Q=BC×B'C'，X=CA'×C'A ，证这三点共线。

解：（图22）两三角形的顶点看成圆内接六边形ABCA'B'C'，
由巴斯卡定理：令A≡1，B≡2，C≡3，A'≡4，B'≡5，C'≡6， 则有P=AB×A'B'=12×45，Q=BC×B'C'=23×56， X=CA'×C'A=34×16，所以P ，Q ，X 共线。

8、从一点y 向二次曲线
0ij i
j
a x x
=∑引两条切线，
证明这两条切线的方程可写作：
19
图20
图21
图22
图
2()()()0ij i j ij i j ij i j a y y a x x a y x -=∑∑∑
证：设点y （y 1，y 2，y 3）是平面上的已知点，
设x （x 1，x 2，x 3）为平面上任一点，
这两点的联线上任一点W 可表为W=x+λy ，W 在二次曲线上的充要条件是：
0ij
i
j
a w w
=∑2()()20ij i i j j ij i j ij i j ij i j a x y x y a x x a y x a y y λλλλ++=++=∑∑∑∑即：
又点x 在由点y 引向二次曲线的切线上的充要条件是：确定联线与二次由线的交点 的这个二次方程有等根（从而交点重合），
即：2()()()0ij i j ij i j ij i j a y y a x x a y x -=∑∑∑
9、证明以 x 1x 3－x 22=0为点坐标方程的二次曲线，它的线坐标方程为 4u 1u 2－u 22=0。

证：二次曲线 x 1x 3－x 22
=0， 1
2
101004
1
002ij
a =-=≠ ，故为常态二次曲线，
其对应的二级曲线方程为：1
231231
002
0100,1
002
u u u u u u -=
展开行列式并化简便得线坐标方程为：4u 1u 2－u 22=0
10、证明以u 1u 3－u 22=0为线坐标方程的二次曲线，它的点坐标方程为4x 1x 3－x 22
=0 。

证：u 1u 3－u 22
=0，1
2
101004
1
002
ij
A =-=≠，故为常态二级曲线，
其对应的二阶曲线的方程为：1
231231
002
0100,1
002
x x x x x x -=
展开行列式并化简便得点坐标方程为：4x 1x 3－x 22
=0 。

11、证明以4u 1u 3－u 22=0 为线坐标方程的二次曲线，它的点坐标方程为：x 1x 3－x 22=0。

证：已知二级曲线4u 1u 3－u 22
=0，002
010402
00
ij A ⇒=-=≠，故为常态二级曲线。

其对应的二阶曲线的方程为：
1
2
3
123
002
010
0, 200
x
x
x
x x x
-
=
展开行列式并化简便得点坐标方程为：x1x3－x22=0 。

12、求下列二次曲线的秩，如果是变态的，试求其奇异点。

（i）2x12－x22+5x32－4x2x3+7x1x3－x1x2=0
（ii）2x12+3x22－x23+2x2x3－x3x1+ x1x2=0
（iii）x21+4x22+4x23－8x2x3+4x3x1－4x1x2=0
解：（i）
17
2
22
1
120
2
7
25
2
ij
D a
-
==---=
-
，但
1
2
20
1
1
2
-
≠
--
，所以二次曲线的秩为2.
2x12－x22+5x32－4x2x3+7x1x3－x1x2=0
可化为（x1－x2+x3）(2x1+x2+5x3)=0表两直线, 其交点(-2,-1,1)为奇异点。

(ii)
11
2
22
1
31360
2
1
11
2
ij
D a
-
===-≠
--
∴秩为3，二次曲线为常态的，无奇异点。

（iii）
122
2440
244
ij
D a
-
==--=
-
且任一二阶行列式皆为0，所以秩为1。

原方程x21+4x22+4x23－8x2x3+4x3x1－4x1x2=0，进行因式分解可化为
（x1-2x2+2x3）2=0，即x1-2x2+2x3=0为两条重合直线，此直线上每点都是奇异点。