第一章 有限元基础知识2PPT课件

2.1有限元法的基本概念
✓ 有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个 单元来描述。
2.1.1有限元法：把求解区域划分成由许多小的在节点 处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本 方程的分片（子域）近似解的一种数值计算方法。由 于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的 尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的 材料特性和复杂的边界条件。
2.2有限单元法的特点
① 把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点 （节点）作为离散点；
② 不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 ③ 理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平
上建立起对该法的理解。 ④ 具有灵活性和适用性，适应性强。 ⑤ 在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
2.3有限元法的发展概况
2.1.2 自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
对象
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
载荷 载荷
2.1.3 节点和单元
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
第二节 有限元法及其发展
引言
实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维 和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一 组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在 连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多 的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种 偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采 用近似方法来处理。
2.3.2有限元法涉及的内容
有限元法在数学和力学领域所依据的理论； 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、
引言
其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限 个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由 度。 在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本 方程和边界条件还是比较容易的，但是由于其几何形 状、材料特性和外部载荷的不规则性，求得解析解却 是很困难的。
因此，寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探 索，近似算法有许多种，但常用的数值分析方法就是 差分法和有限元法。
2.1.4单元形函数(续)
DOF值二次分布
.
.
二次曲线的线性近似 (不理想结果)
真实的二次曲线..来自1节点单元
2
节点
单元
线性近似 (更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
3
节点
单元
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
.
4
节点
单元
2.1.5 有限元模型
有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些 简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受 一定载荷。
2.3.1有限元法的由来 1956年Turner,Clough,Martin和Topp等人确定单元特性的
直接刚度法。 1960年Clough进一步处理了平面弹性问题之后，由结构力
学工作者用来解决复杂的强度分析问题的。采用此方法进行 飞机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元法”，简 称“有限元法”。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。 70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随 之迅速的发展起来。
J
一维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ I
L
K
二维或轴对称实体单元
UX, UY
I P
M L
I
J
O 三维实体结构单元
N
UX, UY, UZ
K
J
J 一维梁单元 UX, UY, UZ,
I
L
K
I
P M
L I
三维四边形壳单元 J UX, UY, UZ,
ROTX, ROTY, ROTZ
O
三维实体热单元
N
TEMP
2.1.3 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
1 node
...
A
B
.. .
A
B
...
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
2.1.3 节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
有限元模型由一些简单形状的单元组成 ，单元之间通过节点连接，并承受一定 载荷。
2.1.3 节点和单元 (续)
每个单元的特性是通过一些线性方程式来 描述的。作为一个整体，单元形成了整体结 构的数学模型。
尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即 “自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS 分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25 ，000，000个刚度系数。
差分法
✓ 差分法：它把微分dx，dy，dz变成差分Δx，Δy，
Δz，把微分方程变成代数方程组。如果是一般规 则的曲面，对方程和边界条件的表达都要增加很 多困难，差分法计算模型可给出其基本方程的逐 点近似值（差分网格上的点）。但是对于不规则 的几何形状和不规则的特殊边界条件差分法就难 于应用了。因此这种方法的适用性有限制，特别 对有不同构件组合成的结构，很难使用差分方法。
实际系统
有限元模型
2.1.6 有限元分析
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何 和载荷工况）进行模拟,并利用简单而又相互作用的元素即单 元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系 统,是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计 响应的方法。
它是用被称之为“单元”的离散的块体来模拟设计。1）每一 个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；2）模型 中所有单元响应的“和”给出了设计的总体响应；3）单元中 未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元”。
K
J
2.1.4 单元形函数
➢单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到 单元内所有点处DOF值的计算方法,因此，单元形函 数提供一种描述单元内部结果的“形状”，是给定 单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特 性吻合好坏程度直接影响求解精度。
2.1.4单元形函数（续）
遵循原则: 当选择了某种单元类型时，即确定地 选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。 同时，在选定单元类型并随之确定了形函数的情 况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点 来精确描述所要求解的问题。