第07章_模糊规则_WM算法

A' ( x) e
(
x1 x1 '
1
)2
(
xn xn '
n
)2
采用高斯隶属函数或三角形隶属函数进行描述的模糊规则，可以大大 简化模糊推理过程中的计算。并且高斯隶属度函数和三角形隶属度函 数可以一定程度上克服样本中的噪声，而单值隶属度函数则不能。
模糊化和解模糊化
解模糊化即将模糊集B’（即模糊规则的输出）向精确值y’的映射过程。 解模糊化的目标就是确定一个最能代表模糊集B’的精确点。 目前主要有下列三种解模糊化方法：






WM算法框架
WM算法的数学基础
假设有一个拥有N对n输入单输出数据对的样本


T {( x( p) ; y( p) )}, p 1, 2,..., N WM算法的任务就是从样本数据集中提取模糊规则，设计一个符 合要求的模糊系统。首先将输入变量的区间划分为ci个模糊子集， 输出变量的值域划分了cy0 个模糊子集，采用高斯函数作为隶属度 y ( ) 函数： y [ yc , yc ] e

A1l 和Bl 分别是模糊系统的输入和输出变量。设模糊规则库中包含N条规则， 其中： 则l=1, 2,…, N。
在模糊推理中，规则库中的每一条规则都确定一个输出模糊集合，而 模糊系统中的模糊推理机则将这些输出集合组成起来作为整个系统的 输出。模糊推理主要分为以下两类：组合推理和独立推理。 模糊推理的主要步骤如下：
其中x=(x1,…, xn)∈Rn，y(p)∈R
c 2
( y; yc , )

0
other
l Supp( Rl ) Al ( x1l )... Al ( xn ) l ( yl )
1 n B

根据隶属度函数将样本数据模糊化，使用下式计算模糊化后的每 条样本数据的支持度： 根据计算出的支持度，对样本中的冲突规则进行处理，获得模糊 规则库。最终生成的模糊规则库中规则的数量受到样本集包含的 不重复样本数和输入变量的模糊子区间所有可能组合的数量两个 因素影响。由于样本集中可能有多条样本对就同一条模糊规则， 而部分模糊规则没有样本与其对应，所以WM算法提取的模糊规 则库可能是不完备的。
模糊规则提取的研究背景
模糊系统为知识库转换为非线性映射提供系统的方法，其在建立复杂 工业模型具有一定优势，而创建模糊系统最关键的步骤是模糊规则库 的获取。在实际应用中，使用IF…THEN规则形式的模糊规则进行 描述的模糊系统具有良好的可解释性。 通常模糊规则的产生有一下三种方法：

A {( x, A ( x)) | x U }
μA(x)即隶属度函数。一般使用模糊集合表示的对象是模糊的，但是 隶属度函数本身是精确的数学函数。可以使用不同的隶属函数来表示 相同的对象，也可以用多个隶属函数来表示同一个对象。
模糊推理
模糊规则库由一定数量的模糊IF-THEN规则构成，它是模糊系统的 最重要的组成部分。模糊系统通过一定的方式来执行规则库里的规则。 下式即一条典型的IF-THEN规则的示例： l IF x1 A1l and...and xn An ，THEN y Bl
模糊控制系统
模糊控制系统理论于20世纪60年代产生由Zadeh提出。它是一种基 于规则或者知识的系统，用以描述现实世界。模糊系统通常用于对模 糊的对象进行描述，但其理论本身却是精确的。 使用模糊系统理论可以对复杂工业系统进行精确定义，在不了解对象 运行机制的情况下对其进行数学建模，创建适合实际应用需求的模糊 控制系统。 目前较常见的模糊系统主要有以下三类：
f ( x)

y ( Al ( xi ))
l l 1 N
(
l 1 i 1
i 1 n
i
Ail
( xi ))
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OutLines
1
2 3
模糊规则
WM算法简介
问题描述
4
实验仿真
Wang-Mendel模糊规则提取算法简介
基于专家经验和知识产生规则； 从样本数据中自动产生规则； 样本数据结合专家知识产生混合规则。
当模糊系统较为简单时，采用专家经验获得模糊规则较为简单；一旦 模糊系统涉及的变量增多或者变量的模糊子集较多时，获取专家经验 比较困难，并且专家经验可能存在不够客观的问题，通常仅能得到一 些数字信息。 而使用样本数据进行模糊规则提取则不会受到上述问题的制约。因此， 如何从数字信息中提取有用的规则并快速创建完备且可靠的模糊规则 库，是一个比较有研究价值的问题。
第七章 从样本中提取模糊规则的方法 Wang_Mendel Method
目录
1
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模糊规则
WM 算法简介
问题描述
4
实验仿真
研究背景
在工业上，有一些较复杂的系统难以通过传统机理建模方法获得 精确的数学模型，这类系统使用的输入参数及得到的输出结果通 常包含大量可用于描述系统特征的信息。经典的控制系统通常应 用于对象可以量化且参数较为集中的线性动态系统中。这种动态 系统要求各控制参数间的关系可以用微分方程或差分方程进行描 述。 复杂工业过程常常具有强非线性、不确定性、多变量、强耦合以 及工况变化频繁等特点，动态特性难以用精确的数学模型描述。 故需要一种与传统控制完全不同的数学，这种数学不依靠概率论 来描述不确定性。于是，模糊控制系统理论随着需求不断加强应 运而生。
纯模糊系统； TSK（Takagi-Sugeno-Kang）模糊系统； 具备模糊器（Fuzzifier）和解模糊器（Defuzzifier）的模糊系统。






模糊系统的核心是由IF-THEN模糊规则构成的模糊规则库。模糊规 则库里的每条模糊规则都是对现实生活中的一条准则进行描述。构建 模糊系统的首要任务是获取一组来自该领域的专家知识，然后将这些 专家知识转化为模糊IF-THEN规则并以一定方式整合到同一个模型。 目前较流行的模糊规则主要有以下两种：Mamdani模糊规则和 Takagi-Sugeno模糊规则。
单值隶属度函数。单值隶属度函数将一个实值x’映射成U上的模糊集A’，A’在x’点上 的隶属度为1，其它点为0，即： 0 x x' A ( x) 1 x x' 高斯隶属度函数。高斯隶属度函数将一个实值x’映射成U上的模糊集A’，即：






*...* e 三角形隶属度函数。三角形隶属度函数将一个实值x’映射成U上的模糊集A’，即： | x x '| | x x '| (1 1 1 )*...*(1 n n ) | xi xi ' | i (i 1, 2,..., n) 1 n A ' ( x) 0 other
WM算法框架
WM算法使用预先得到的输入输出样本数据对进行规则提取，算法包 含一个模糊器和一个解模糊器，通过单值模糊、乘运算以及加权平均 等一系列操作得到模糊系统的输出。给定一个N输入-单输出系统， WM模糊规则提取的主要步骤如下：
步骤一：将给定的数值样本数据表示的输入输出空间进行模糊划分。为每个变量划分 模糊子区间，并对每个模糊子区间定义相应的隶属函数。 步骤二：将样本数据集进行模糊化。对于每条样本数据，选择每个变量具有最大隶属 度的模糊子区间。遍历整个样本数据集后，可得到模糊化后的模糊样本集。 步骤三：给每条模糊化的样本数据赋予一个支持度以便解决规则冲突。由于样本集的 规模通常较大，每条样本提取出一条模糊规则，因此提取出的规则量较大，故很可能 出现有冲突的规则。此时，可以为步骤2）模糊化后得到的每条模糊规则设置一个支 持度，从而通过支持度的大小来进行后续的冲突消除。 步骤四：基于模糊化的样本数据集和专家知识创建模糊规则库。WM算法中，模糊规 则库由以下三个集合构成：a）步骤2）中获得的不冲突规则的集合；b）一个冲突规 则群体中具有最大支持度的规则，其中冲突规则群体指的是具有相同 IF部分的规则集； c）来自专家的语言规则。该步骤主要是处理模糊化后的样本集中的冗余数据和冲突数 据。其中，留下支持度最高的数据。 步骤五：创建模糊系统。WM算法采用的是中心平均解模糊方法（Center Average Defuzzifier）来创建模糊系统，该方法相对于计算要求较低且效果较好。


如何从实际数据信息中获取模糊规则并进一步创建合适的数学模型是 模糊控制中的核心问题。在许多文献中对该问题进行深入研究，提出 一系列算法，如：将遗传算法应用到模糊规则提取中的方法，使用模 糊聚类进行模糊规则提取，基于神经网络的模糊规则提取算法等。在 专家经验较难获取，变量较多及变量的模糊子集划分过多时，这些算 法都可以从样本数据中自动产生模糊规则库。但是，这些算法的原理 较为复杂，并且要求较大次数的迭代、学习，导致实际应用中难以实 现。 WM算法是一种从样本数据中直接提取模糊规则的方法。该算法首先 对全体变量进行模糊划分；接着从每条样本数据中提取一条模糊规则 并进行冲突获得模糊规则库。由该方法产生的模糊规则库可以表示成 一个可以查询的表格，而WM算法提取合适的规则并将其置入这个表 格，因此这种算法也称为：查表法。WM算法从每个样本数据中提取 出一条模糊规则，并对冲突规则进行消除，并最终生成模糊规则库， 基于生成的模糊规则库创建符合需求的模糊系统。
重心解模糊化，即：
y ( y)dy y' ,V U ( y ) dy
V B' V B'




中心平均解模糊化，即：
y'
l
y l
l l 1 N
N

l 1
l

其中： 为第 y 1个模糊集的中心， 为该条规则的支持度。 l 最大值解模糊化，即： hgt ( B ') { y V | B ' ( y) sup B ' ( y)}
yV

其中：hgt(B’)为V上所有μB’(y)取得最大值的点的集合；定义y’为hgt(B’)中的任 意一点，即：
y ' x, x hgt ( B ')
模糊化和解模糊化
由于中心平均模糊化具有言之有据、计算简便及连续性等特点，因此 较常采用其作为解模糊的工具。综合上述内容，可以建立符合需要的 模糊系统。 n N
模糊规则提取研究现状
当模糊系统中存在较多变量或模糊子集划较多时仅领先专家经验产生 规则比较困难，因此，近年来如何通过样本数据提取模糊规则受到较 多关注。一系列研究分别提出使用梯度下降法、最小二乘法、遗传算 法、模糊聚类、神经网络等方法从样本数据中获取模糊规则的相关理 论。 但是，这些理论都存在各种不足，如：效率低，实现较繁琐，学习机 理比较复杂，提起的规则不易理解等。 Wang-Mendel算法是最早提出从数据中直接提取模糊规则而与先 验知识无关的一种从样本数据中提取规则的算法，由Wang和 Mendel两人提出。该方法简单易用且无需了解对象内在机制，目前 已成为模糊规则提取领域被广为应用的经典算法。

1. 对于规则库中的每一条规则，确定其隶属度； 2. 计算规则库中的每一条规则的支持度； 3. 对于给定的输入A’，使用下式获得其输出B’：
xU
B ' ( y ) sup t[ A ' ( x), l ( x, y )]
模糊化和解模糊化
模糊化即：将一个实值x’∈U向U上的模糊集A’进行映射的过程。在 点x’处，模糊集A’必须具有比其它模糊集大的隶属度。 对于模糊化操作，最关键的步骤是隶属度函数的选择，目前主要采用 以下三种隶属度函数：
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模糊规则提取相关理论基础
模糊规则提取是创建模糊系统的重要步骤，一个较好的模糊规则提取 算法可以获得完备且规则可信度较高的模糊规则库，基于该规则库可 以创建出对于原模型逼近性能较好的模糊系统。其主要涉及模糊系统 领域的四部分知识：模糊集、模糊推理、模糊化以及解模糊化。 1.模糊集 模糊集是模糊理论的基本概念。设U为全集，集合A为U的子集。 定理1：全集U上的模糊集合可以使用隶属度函数μA(x)来表示， μA(x)的取值范围为[0, 1]。 模糊集合是传统集合的发展。其隶属度函数是一个连续函数，而非经 典集合取0和1离散值。根据定理1，U上的模糊集合A可以表示为元 素和隶属度有序组合的集合，即